完全平方公式变形的应用练习题_2(转摘)

1、乘法公式的拓展及常见题型整理一.公式拓展:拓展一：a2b2= (ab)22ab2112a= (a)-2aa拓展二：(a b)2 -(a -b)2 =4ab22(a b) =(a -b) 4aba2 b2 = (a -b)2 2ab211 2a -2 - (a -)2aa,2.222a b j，i：a -b = 2a 2b22(a - b) = (a b) - 4ab拓展三：a2 b2 c2 =(a b c)2 -2ab-2ac-2bc拓展四：杨辉三角形(a b)3 = a3 3a2b 3ab2 b3(a b)4 = a4 4a3b 6a2b2 4ab3 b4拓展五：立方和与立方差a3 b3 =

2、 (a b)(a2 -ab b2)a3 -b3 = (a - b)(a2 ab b2)二.常见题型：（一）公式倍比.rn. .a2 , b2,例题：已知a +b =4,求+ ab 。2如果 ab=3,ac=1，那么(a - b f +(b - cf +(c-af 的值是1c 1c x + y = 1 ,贝 U x + xy + y = 222 +2已知 x(x-1) -(x2 -y) = -2,则-y- -xy =2(二)公式组合例题：已知(a+b) 2=7,(a-b) 2=3, 求值：(1)a 2+b2 (2)ab若(ab)2=7, (a+b)2 =13,则a2 +b2=, ab =设(5a

3、+3b) 2= (5a3b) 2+A,贝U A=若(x y)2 =(x +y)2 +a ,则 a为如果(x y)2+M =(x+y)2,那么M等于已知(a+b) 2=m (a b) 2=n,则 ab 等于 22若(2a-3b) =(2a+3b) +N ,则n的代数式是已知(a+b)2 =7,(ab)2 =3,求 a2 +b2 +ab的值为。已知实数 a,b,c,d 满足 ac+bd=3, ad bc =5 ,求(a2+b2)(c2+d2)(三)整体代入例 1： x2y2=24, x + y=6,求代数式 5x+3y 的值。例 2：已知 a= 工x+20, b= - x + 19, c= - x

4、 + 21,求 a2+b2+c2abbc ac的值 202020若 x 3y =7, x2 -9y2 =49 ,则 x + 3y =若a +b =2 ,则 a2 -b2 +4b= 若a +5b =6 ,则 a2 +5ab+30b=, c ca b .已知a+b =6ab且a>b>0,求 的值为a -b已知 a =2 0 0x5+2 0 0 4 b = 2005x + 2006 , c = 2005x + 2008 ,则代数式 a2 +b2 +c2 -ab - bc -ca 的值是.（四）步步为营 例题：3 (2 2 +1) (2 4+1) (2 8+1) ( 216 +1)6 (7

5、 1) (7 2+1) (7 4 +1) (7 8+1)+1a - ba b2 a 2 b 4 a 4 b 8 a 8 b(2 1) (22 1) (24 1) (28 1) (216 1) (232 1) 120122 -20112 +20102 -20092 +22-12 i； 1 '； H j':i； 1 、22324220102（五）分类配方例题：已知 m2+n26m+10n+34 = 0 ,求 m + n的值。已知：x2+y2+z2-2x+4y-6z+14=0 ,贝U x+y+z 的值为。11已知x2+y2-6x-2y+10=0 ,贝U 1 +的值为。x y已知x2+

6、y2-2x+2y+2=0,求代数式x2003 +y2°°4的俏为若x2 +y2 +4x6y+130 , x, y均为有理数，求 xy的值为。已知 a2+b2+6a-4b+13=0,求（a+b）2的值为说理：试说明不论x,y取什么有理数，多项式x2+y2-2x+2y+3的值总是正数.（六）首尾互倒1例1：已知x 7.2,求9111(1 a 2 ； a 4 ；(3) a aaa例 2:已知 a2-7a+1 = 0.a."的值;a.o 1o 1已知 x2 -3x-1 =0,求 x2 + = x2_-2 =xx2.19q x4 1 A右x2 x+1=0,求 的值为2x如果

7、a 1 =2,那么a2 +4=2aa121x - = 5 x 1、已知 x ,那么 x =1c 21x -=3 x 2已知 x ,则 x的值是.1一1右a + - = 2 且0<a<1,求a 一的值是aa211 一一 1已知a 一 3a+ 1=0.求a + 和a和a +2的值为a a a,11,1已知x + =3 ,求x +2 =x +4 =xxx2 o1 o 111 '已知 a7a+1 = 0.求 a+ 、a +2和 a - I 的值； a a I a J(七)知二求一例题：已知a +b =5,ab =3,2233 aab+b a+b22.22求：a +bab a -b已

8、知 m+n=2, mn=2,则(1_m)(1_n)=若 a2+2a=1 贝U(a+1) 2=2.22,2右 a b =7, a+b=5,贝 ab= 右 a b =7, ab =5,贝 a+b=22222右 x+y =12,xy=4,则(x-y) =.a b _7, a-b=5,贝U ab=.2.2右 a b =3, ab =-4 ,则 a-b=已知:a+b=7,ab=-12,求 a2+b2= a2-ab+b2= (a-b) 2=已知 a+ b=3, a3+b3=9,贝U ab=, a2+b2=, a- b=乘法公式应用与拓展【基础知识概述】一、基本公式：平方差公式：(a+b)(a-b)=a 2

9、 b2完全平方公式：(a+b) 2 =a2 +2ab+b2(a-b) 2 =a2 -2ab+b2c c2变形公式：(1) a +b =(a+b ) -2ab222 _(2) a +b =(a -b ) + 2ab，一2222(3) (a+b ) +(a-b ) =2a +2b22(4) (a +b ) -(a - b ) = 4ab二、思想方法：a、b可以是数，可以是某个式子； 要有整体观念，即把某一个式子看成a或b,再用公式。注意公式的逆用。 a2 >0o用公式的变形形式。三、典型问题分析：1、顺用公式：例1、计算下列各题：224488 a-b a b a2b2a4b4a8b8 3(2

10、 2 +1)(2 4 +1)(2 8+1)( 216 +1)+12、逆用公式：例 2. 19492-1950 2+19512-1952 2+20112-20122:20102 1.23452+0.76552+2.469X0.7655【变式练习】填空题：a2+6a += 4x2 1 +6. x2+ax+121是一个完全平方式，则 2为（）A. 22 B. 22 C. ±22 D. 0 3、配方法：例 3.已知：x2+y2+4x-2y+5=0,求 x+y 的值。【变式练习】11 .已知 x2+y2-6x-2y+10=0 ,求十的值。x y已知：x2+y2+z2-2x+4y-6z+14=0

11、 ,求：x+y+z 的值。当x=时，代数式x2取得最小值，这个最小值是 当x=时，代数式x2十4取得最小值，这个最小值是 , 2当x=时，代数式(x-3)+4取得最小值，这个最小值是 当x=时，代数式x2 -4x-3取得最小值，这个最小值是 对于2x 4x3呢？4、变形用公式：例5.若(x z 2 -4(x -y X y -z )=0 ,试探求x +z与y的关系。例 6.化简：(a +b +c +d 2 +(a +b -c -d 2例7.如果3(a2 +b2 +c2) =(a +b +c)2,请你猜想：a、b、c之间的关系，并说明你的猜想。完全平方公式变形的应用练习题1、已知 m2+n2-6m

12、+10n+34=0 ,求 m+n 的值2、已知x2+y2+4x-6y+13 = 0, x、y都是有理数，求xy的值。a2 b23.已知（a+b） =16,ab=4,求 与（a-b）的值。 3二：1 .已知（ab）=5,ab =3 求（a + b）2 与 3（a2 + b2）的值。2 .已知 a+b=6,a b = 4求 ab与 a2+b2的值。3、已知 a +b =4,a2 +b2 = 4 求 a2b2 与（a-b）2 的值。4、已知（a+b）2=60, （a-b） 2=80,求 a2+b2及 ab 的值5.已知 a+b =6,ab =4 ,求 a2b+3a2b2+ab2 的值。126 .已知

13、 x +y 2x4y+5 = 0,求 &（x-1） xy 的值。7 .已知x-1 =6 ,求x2+4的值。 xx一 一.o 1“18、x2+3x+1=0,求（1） x2+=（2） x4 + xx9、试说明不论x,y取何值，代数式x2+y2+6x-4y+15的值总是正数。10、已知三角形ABC的三边长分别为a,b,c 且 a,b,c 满足等式3 a2 + b2 + c2)= (a+ b + ,c请说明该三角形是什么三角形？B卷：提高题一、七彩题1 .(多题思路题)计算：(1) (2+1) (22+1 ) (24+1 )(22n+1) +1 (n 是正整数)；34016(2) (3+1)

14、(32+1 ) (34+1 )(32008+1 )22.(一题多变题)利用平方差公式计算: 22009 >2007-2008 .(1) 一变：利用平方差公式计算:200720072 - 2008 2006200722008 2006 1+ (2x+1 ) (2x1) =5 (x2+3).(2)二变：利用平方差公式计算：二、知识交叉题3 .(科内交叉题)解方程：x (x+2)三、实际应用题4 .广场内有一块边长为 2a米的正方形草坪，经统一规划后，南北方向要缩短3米，东西方向要加长3米，则改造后的长方形草坪的面积是多少?课标新型题1 .(规律探究题)已知 XW1,计算(1+x) (1x)

15、=1 -x2, (1x) (1+x+x2) =1 -x3, (1x) (?1+x+x2+x3) =1 -x4.(1)观察以上各式并猜想：(1x) (1+x+x2+xn) =. (n为正整数)(2)根据你的猜想计算：( 1 2) ( 1+2+22+23+24+25) =.2+22+23+2n= (n为正整数).(x 1 ) (x99+x98+x97+- +x2+x+1 ) =.(3)通过以上规律请你进行下面的探索： a a b) (a+b) =. a a b) (a2+ab+b2) = a a b) a a3+a2b+ab2+b3) =.2 .(结论开放题)请写出一个平方差公式，使其中含有字母m

16、, n和数字4.3 .从边长为a的大正方形纸板中挖去一个边长为b的小正方形纸板后，？将剩下的纸板沿虚线裁成四个相同的等腰梯形，如图1 71所示，然后拼成一个平行四边形，如图 1 7-2所示，分别计算这两个图形阴影部分的面积，结果验证了什么公式？请将结果与同伴 交流一下.4、探究拓展与应用(2+1)(2 2+1)(2 4+1)=(2 1)(2+1)(2 2+1)(2 4+1)=(2 2 1)(2 2+1)(2 4+1)二(24 1)(2 4+1)=(2 8 1).根据上式的计算方法，请计算(3+1)(3 2+1)(3 4+1)(332+1) 3-的值.2“整体思想”在整式运算中的运用“整体思想”

17、是中学数学中的一种重要思想，贯穿于中学数学的全过程，有些问题局部求解各个击破，无法解决，而从全局着眼，整体思考，会使问题化繁为简，化难为易，思 路清淅，演算简单，复杂问题迎刃而解，现就“整体思想”在整式运算中的运用，略举几例 解析如下，供同学们参考：221、当代数式x +3x+5的值为7时，求代数式3x +9x2的值.-3_ .3_3_ 2,22,.2、已知 a= x 20,b= x18,c= x16,求：代数式 a + b + c -ab -ac-bc 888的值。223、已知x + y = 4, xy = 1,求代数式(x +1)(y +1)的值5.34、已知x = 2时，代数式ax +b

18、x +cx8 = 10,求当x = -2时，代数式5.3ax + bx + cx 8 的值5、若 M =123456789 123456786, N = 123456788 M123456787试比较M与N的大小2326、已知 a +a1=0,求 a +2a +2007 的值.一、填空（每空 3分）1.已知a和b互为相反数，且满足（a+3；2 -（b +3）2=18,贝U a2 ,b3 =2、已知：52n =a, 4n =b ,则 106n =3 .如果x2 -12x+m2恰好是另一个整式的平方，那么 m的值 224 .已知a Nab + 64b是一个完全平方式，则N等于5 .若 a2b2+a2+b2+1=4ab,贝U a= ,b= 6 .已知 10m=4,10 n=5,求 103m+前的值7 .(a 2+9) 2(a+3)(a 3)(a 2+9)=1c 1,18 .右 a =2,贝Ua - -2 a+ _4 =aaa9 .若 xx -2 + y + 兀 +(3-m) 2=0,则(my) x=10 .若 58n25