小学奥数4-5-1长方体与正方体(一).专项练习及答案解析

1、长方体与正方体（一）49对于小学几何而言， 立体图形的表面积和体积计算，既可以很好地考查学生的空间想所以，很多重要考试都象能力，又可以具体考查学生在公式应用中处理相关数据的能力, 很重视对立体图形的考查."皿4 例题精讲如右图，长方体共有六个面 （每个面都是长方形），八个顶点，十二条棱.EAC在六个面中，两个对面是全等的，即三组对面两两全等.（叠放在一起能够完全重合的两个图形称为全等图形.）长方体的表面积和体积的计算公式是：长方体的表面积：S长方体=2（ab +bc +ca）;长方体的体积：V长方体=abc.正方体是各棱相等的长方体，它是长方体的特例，它的六个面都是正方形.如果它的棱

2、长为a ,那么：S正方体=6a2, V正方体=a3 -板块一长方体与正方体的表面积【例1】右图中共有多少个面？多少条棱？后面【考点】长方体与正方体【难度】1星【题型】解答【解析】如右图所示，可以分前、后、左、右、上、下六个方向看这个立体图形.前、后看各有1个面，左面看有1个面，右面看有2个面，上面看有2个面，下面看有 1个面.所以共有1+1+1+2+2+1 =8（个）面.前后方向的棱有 6条，左右方向 的棱有6条，上下方向的棱也有 6条，所以共有棱6+6 + 6 =18（条）.【答案】8个面，18条棱【巩固】右图中共有多少个面？多少条棱?【考点】长方体与正方体【难度】1星【题型】解答【解析】9

3、个面，21条棱.【答案】9个面，21条棱例2如右图，在一个棱长为 10的立方体上截取一个长为 8,宽为3,高为2的小长方体，那么新的几何体的表面积是多少？【考点】长方体与正方体【难度】2星【题型】解答【解析】我们从三个方向（前后、左右、上下）考虑，新几何体的表面积仍为原立方体的表面积：10父10父6=600.【考点】长方体与正方体【难度】2星【题型】解答【答案】600【巩固】在一个棱长为 50厘米的正方体木块，在它的八个角上各挖去一个棱长为5厘米的小正方体，问剩下的立体图形的表面积是多少？【考点】长方体与正方体【难度】2星【题型】解答【解析】对于和长方体相关的立体图形表面积，一般从上下、左右、

4、前后3个方向考虑.变化前后的表面积不变： 50 m 50m 6 = 15000（平方厘米）.【答案】15000【例3】如右图，有一个边长是 5的立方体，如果它的左上方截去一个边分别是 5, 3, 2 的长方体，那么它的表面积减少了多少 ？【解析】 原来正方体的表面积为 5 M 5M 6 =150.现在立体图形的表面积减少了前后两个面中的部分面，它们的面积为 （3M2）父2=12,所以减少的面积就是 12.【答案】12例4如图，有一个边长是 5的立方体，如果它的左上方截去一个边分别是5, 3, 2的长方体，那么它的表面积减少了百分之几？【考点】长方体与正方体【难度】2星【题型】解答【关键词】奥林

5、匹克，初赛， 10题【解析】 原来正方体的表面积为5 X 5X6=150,现在立体图形的表面积截了两个面向我们的侧面，它们的面积为（3 X 2） X 2=12, 12+ 150=0.08=8 %.即表面积减少了百 分之八.【答案】百分之八例5右图是一个边长为 4厘米的正方体，分别在前后、左右、上下各面的中心位置 挖去一个边长l厘米的正方体，做成一种玩具.它的表面积是多少平方厘米 （图中只画出了前面、右面、上面挖去的正方体）【考点】长方体与正方体【难度】2星【题型】解答【解析】原正方体的表面积是 4 M4父6 =96（平方厘米）.每一个面被挖去一个边长是1厘米的正方形，同时又增加了 5个边长是1

6、厘米的正方体作为玩具的表面积的组成部分.总的来看，每一个面都增加了4个边长是1厘米的正方形.从而，它的表面积是：96+4父6=120平方厘米.【答案】120【例6】如图，有一个边长为 20厘米的大正方体，分别在它的角上、棱上、面上各挖掉一个大小相同的小立方体后，表面积变为2454平方厘米，那么挖掉的小立方【考点】长方体与正方体【难度】2星【题型】解答【解析】 大立方体的表面积是 20 M 20 M 6 =2400平方厘米.在角上挖掉一个小正方体后，外面少了 3个面，但里面又多出3个面；在棱上挖掉一个小正方体后，外面少了2个面，但里面多出 4个面；在面上挖掉一个小正方体后，外面少了 1个面，但

7、里面多出5个面.所以，最后的情况是挖掉了三个小正方体， 反而多出了 6个面, 可以计算出每个面的面积： （2454 -2400） +6=9平方厘米，说明小正方体的棱长是3厘米.【答案】3【例7】下图是一个棱长为 2厘米的正方体，在正方体上表面的正中，向下挖一个棱长1为1厘米的正万体小侗， 接着在小侗的底面正中向下挖一个棱长为，厘米的正2方形小洞，第三个正方形小洞的挖法和前两个相同为1厘米，那么最后得到的4立体图形的表面积是多少平方厘米?【考点】长方体与正方体【难度】3星【题型】解答【解析】我们仍然从3个方向考虑.平行于上下表面的各面面积之和：2父2父2=8（平方厘米）；左右方向、前后方向：2父

8、2父4 = 16（平方厘米），1父1父4 = 4（平方厘米），-K - M4 =1（平方厘米）,-X 1 44 = -（平方厘米），这个立体图形的表面积22444为：8+16 +4+1+1 =29-（平方厘米）.44【答案】2914【例8】从一个棱长为10厘米的正方形木块中挖去一个长10厘米、宽2厘米、高2厘米的小长方体，剩下部分的表面积是多少？（写出符合要求的全部答案）【考点】长方体与正方体【难度】3星【题型】解答【关键词】小学生数学报【解析】按图1所示沿一条棱挖，为 592平方厘米；按图2所示在某一面上挖，为 632平方厘米；按图3所示在某面上斜着挖，为 648平方厘米；按图4所示挖通两个

9、对面，为 672平方厘米.【答案】按图1所示沿一条棱挖，为 592平方厘米;按图2所示在某一面上挖，为632平方厘米;按图3所示在某面上斜着挖，为648平方厘米;按图4所示挖通两个对面，为672平方厘米.1、 2、 3、 4、【例9】一个正方体木块，棱长是15.从它的八个顶点处各截去棱长分别是5、6、7、8的小正方体.这个木块剩下部分的表面积最少是多少?【考点】长方体与正方体【难度】4星【题型】解答【关键词】迎春杯【解析】截去一个小正方体，表面积不变，只有在截去的小正方体的面相重合时，表面积才会减少，所以要使木块剩下部分的表面积尽可能小，应该在同一条棱的两端各截去长7与8的小正方体（如图所示）

10、，这时剩下部分的表面积比原正方体的表 面积减少最多.剩下部分的表面积最小是：15 M15M6_7m7m2 = 1252.想想为什么不是 15x15x6-7x7 -8x8 ?【答案】1252【例10】从一个长8厘米、宽7厘米、高6厘米的长方体中截下一个最大的正方体（如卜图），剩下部分的表面积之和是 平方厘米.【考点】长方体与正方体【难度】3星【题型】填空【解析】 可以将这个图形看作一个八棱柱，表面积和为：（8 77 -6 父6）父2 +6 父（1 +6+6 +6+1 +7 +8 + 7） =292（平方厘米）.也可以这样想：由于截去后原来的长方体的表面少了3个6M6的正方形，而新图形凹进去的部分

11、恰好是3个6 M6的正方形，所以新图形的表面积与原图形的表面积相等，为（8父7+8父6+7父672 =292（平方厘米）.【答案】292【巩固】一个长、宽、高分别为 21厘米、15厘米、12厘米的长方形，现从它的上面尽可能大的切下一个正方体，然后从剩余的部分再尽可能大的切下一个正方体，最后再从第二次剩余的部分尽可能大的切下一个正方体，剩下的体积是多少平方厘米？【考点】长方体与正方体【难度】3星【题型】解答【解析】 本题的关键是确定三次切下的正方体的棱长.由于21:15 :12 =7:5:4 ,为了方便起见.我们先考虑长、宽、高分别为7厘米、5厘米、4厘米的长方体.因为7 >5 >4

12、, 容易知道第一次切下的正方体棱长应该是4厘米（如图），第二次切时，切下棱长为3厘米的正方体符合要求.第三次切时，切下棱长为2厘米的正方体符合要求.剩下的体积应是21父15父12 （123 +93 +63 ）=1107 （平方厘米）.【答案】1107【例11一个正方体木块，棱长是 1米，沿着水平方向将它锯成2片，每片又锯成3长条，每条又锯成4小块，共得到大大小小的长方体24块，那么这24块长方体的表面积之和是多少？【考点】长方体与正方体【难度】3星【题型】解答【解析】 锯一次增加两个面，锯的总次数转化为增加的面数的公式为：锯的总次数父2 =增加的面数.原正方体表面积：1 M1父6=6（平方米）

13、，一共锯了（2 1） +（3 1） +（4 1） =6次，6 +1 M1 M2M6 =18（平方米）.【答案】18【巩固】如右图，一个正方体形状的木块，棱长 l米，沿水平方向将它锯成 3片，每片 又锯成4长条，每条又锯成 5小块，共得到大大小小的长方体60块.那么，这60块长方体表面积的和是多少平方米？【考点】长方体与正方体【题型】解答【难度】3星【解析】我们知道每切一刀，多出的表面积恰好是原正方体的 2个面的面积.现在一共切 了（3 1） +（4 1） +（5 1） =9刀，而原正方体一个面的面积 1 Ml =1（平方米）， 所以表面积增加了 9x2x1 =18（平方米）.原来正方体的表面积

14、为 6M 1 = 6（平方 米），所以现在的这些小长方体的表积之和为6 + 18=24（平方米）.【答案】24【巩固】一个表面积为56cm2的长方体如图切成 27个小长方体，这27个小长方体表面积 的和是 cm2 .【考点】长方体与正方体【难度】3星【题型】填空【关键词】走美杯，六年级，初赛【解析】每一刀增加两个切面，增加的表面积等于与切面平行的两个表面积，所以每个方向切两刀后，表面积增加到原来的3倍，即表面积的和为 56M3=168（cm2）.【答案】168【例12】右图是一个表面被涂上红色的棱长为10厘米的正方体木块，如果把它沿虚线切成8个正方体，这些小正方体中没有被涂上红色的所有表面的面

15、积和是多少平方厘米？【考点】长方体与正方体【难度】3星【题型】解答【解析】10父10 M 6 =600（平方厘米）.【答案】600【例13】有n个同样大小的正方体，将它们堆成一个长方体，这个长方体的底面就是原正方体的底面.如果这个长方体的表面积是3096平方厘米，当从这个长方体的顶部拿去一个正方体后，新的长方体的表面积比原长方体的表面积减少144平方厘米，那么n为多少？【考点】长方体与正方体【难度】3星【题型】解答【解析】由于堆成的长方体的底面就是原来正方体的底面，说明这个长方体是由这些正方体一字排开组成的，从这个长方体的顶部拿去一个正方体，减少的面积相当于侧面的四个正方形的面积，所以正方体每

16、个面的面积是144士4=36(平方厘米).所堆成的长方体的表面积，包含底面的2个正方形和侧面的4n个正方形，所以n =(3096 -36 父2) -144 =21 .【答案】21【例14】边长分另1J是3、5、8的三个正方体拼在一起， 在各种拼法中，表面积最小多少？【考点】长方体与正方体【难度】3星【题型】解答【解析】三个正方体两两拼接时， 最多重合3个正方形面，其中边长为3的正方体与其它 两个正方体重合的面积不超过边长为3的正方形，边长为5和边长为8的正方体的重合面面积不超过边长为5的正方形，三个正方形表面积和为 633 6 55 688 -2 233 -2 5 5 =502.【答案】502

17、【例15如图，25块边长为1的正方体积木拼成一个几何体，表面积最小是多少?【考点】长方体与正方体【难度】3星【题型】解答【解析】当小积木互相重合的面最多时表面积最小.设想27块边长为1的正方形积木，当拼成一个 3M3M3的正方体时，表面积最小，现在要 去掉2块小积木，只有在两个角上各去掉一块小积木， 或在同一个角去掉两块相邻的积木 时，表面积不会增加，该几何体表面积为 54.【答案】54【例16】由六个棱长为1的小正方体拼成如图所示立体，它的表面积是 【考点】长方体与正方体【难度】3星【关键词】走美杯，4年级，决赛，第3题，8分【解析】 三视图法：表面积为：(4+5+4 )x2 =26【答案】

18、26【题型】填空【例17】将15个棱长为1的正方体堆放在桌子上，喷上红色后再将它们分开。涂上红色的部分，面积是()平方厘米【考点】长方体与正方体【难度】3星【关键词】走美杯，3年级，初赛，第12题【解析】注意底面放在桌子上，不能被染到。从上向下看有【题型】填空10个：从左向右看有 6个;从前向后看有7个。因此被染色的面有10+(6+7产2 =36个面【答案】36【例18】用6块右图所示(单位：cmj的长方体木块拼成一个大长方体，有许多种拼法,其中表面积最小的是多少平方厘米？最大是多少平方厘米?【考点】长方体与正方体【难度】4星【题型】解答【解析】要使表面积最小，需重叠的面积最大，如图的拼接方式

19、新的长方体长为5 ,宽为4,高为3,所以表面积为(3父4+3黑3+3黑4)父2 =66(cm2);要使表面积最大 需重叠的面积最小，如图所示，长为 18,宽为2,高为1 ,所以最大的表面积 为(18 1 18 2 1 2) 2 =112(cm2)【答案】112【巩固】用10块长5厘米，宽3厘米，高7厘米的长方体积木堆成一个长方体，这个长 方体的表面积最小是多少 ？【考点】长方体与正方体【难度】4星【题型】解答【解析】教师可以先提问：这个长方体的表面积最大是多少？为使表面积最大，要尽量保证10x2个7义5的面成为表面，想要做到这点很容易，只需将7 M 5面做底面，而后将10个长方体连排，衔接的面

20、选用3 M 5的面（衔接的面将不能成为表面积 ）， 这样得到的长方体表面积最大.同样要想最小，可把 7N5面做衔接的面，可得到 10个长方体的连排，但此时我们还可以 再制造出衔接面，如图：此时增加了2个5X7的面，减少了 10个3X7的面，总体来讲表面积减少了.表面积是：2父（7 M15+15M10+10M7） =650（平方厘米），所以这就是最小的表面积.【例19】要把12件同样的长a、宽b、高h的长方体物品拼装成一件大的长方体，使打包后表面积最小，该如何打包？当b=2h时，如何打包？当b<2h时，如何打包？当b2h时，如何打包？【考点】长方体与正方体【难度】5星【题型】解答【解析】图

21、2和图3正面的面积相同，侧面面积=正面周长父长方体长，所以正面的周长 愈大表面积越大，图 2的正面周长是 8h+6b,图3的周长是12h+4b.两者的周 长之差为2 (b-2h).当b=2h时，图2和图3周长相等，可随意打包；当b<2h时，按图2打包；当b2h时, 按图3打包.【答案】当b=2h时，图2和图3周长相等，可随意打包;当b<2h时，按图2打包；当b>2h时，按图3打包.图3【巩固】要把6件同样的长17、宽7、高3的长方体物品拼装成一件大的长方体，表面积最小是多少?【考点】长方体与正方体【难度】4星【题型】解答【解析】考虑所有的包装方法，因为 6 = 1父2父3,所

22、以一共有两种拼接方式:第一种按长宽高1父1父6拼接，重叠面有三种选择，共3种包装方法.第二种按长宽高1父2黑3拼接，有3个长方体并列方向的重叠面有三种选择，有 2个长方体并列方向的重叠面剩下 2种选择，一共有6种包装方法.其中表面积最小的包装方法如图所示，表面积为1034.【答案】1034【例20如图，把正方体用两个与它的底面平行的平面切开，分成三个长方体，这三个长方体的表面积比是3: 4: 5时，用最简单的整数比表示这三个长方体的体积比:【考点】长方体与正方体【难度】4星【题型】填空【关键词】走美杯，初赛，六年级，第 11题【解析】体积比为3:8:13【答案】3:8:134分米的小正方体，求

23、这【例21如图，在一个棱长为 5分米的正方体上放一个棱长为个立体图形的表面积.【考点】长方体与正方体【难度】3星【题型】解答【解析】我们把上面的小正方体想象成是可以向下“压缩”的，“压缩”后我们发现：小正方体的上面与大正方体上面中的阴影部分合在一起，正好是大正方体的上面.这样这个立体图形的表面积就可以分成这样两部分：上下方向：大正方体的两个底面；四周方向（左右、前后方向）：小正方体的四个侧面，大正方体的四个侧面.上 下方向：5x5x2=50 （平方分米）；侧面：5x5x4=100 （平方分米）， 4M4M4 =64（平方分米）.这个立体图形的表面积为：50+100+64=214（平方分米）.【

24、答案】214【巩固】如右图所示，由三个正方体木块粘合而成的模型，它们的棱长分别为1米、2米、4米，要在表面涂刷油漆，如果大正方体的下面不涂油漆，则模型涂刷油漆的面 积是多少平方米？【考点】长方体与正方体【难度】3星【题型】解答【解析】该图形从前、后、左、右四面观察到的面积都是12 +22 +42 =21平方米，从上面观察到的面积是 42 =16平方米，由于下面不涂油漆，所以涂刷油漆的面积是 21父4+16 =100平方米.【答案】100【例22如图，棱长分别为1厘米、2厘米、3厘米、5厘米的四个正方体紧贴在一起,则所得到的多面体的表面积是平方厘米.【难度】3星【考点】长方体与正方体【题型】填空

25、【关键词】希望杯，五年级，复赛，第 7题，5分【解析】（法1）四个正方体的表面积之和为：（12 + 22 + 32 + 52）x6 = 39父6 =234（平方厘米），重 叠 部 分 的面 积 为：2222222221 m3+（2 m2+1 ）+（3 +2 +1）+（3 +2 +1 ） =3+9+14+14 =40 （平万厘米），所以，所得到的多面体的表面积为：234 -40 =194 （平方厘米）.（法2）三视图法.从前后面观察到的面积为52 + 32 + 22 = 38平方厘米，从左右两个面观察到的面积为52 +32 =34平方厘米，从上下能观察到的面积为52 =25平方厘米.表面积为（3

26、8 +34 +25炉2 =194 （平方厘米）.【答案】194【例23如图，用若干个体积相同的小正方体堆积成一个大正方体，要使大正方体的对 角线（正方体八个顶点中距离最远的两个顶点的连线）穿过的小正方体都是黑 色的，其余小正方体都是白色的，并保证大正方体每条边上有偶数个小正方体。当堆积完成后，白色正方体的体积占总体积的93.75%,那么一共用了多少个黑色的小正方体？【考点】长方体与正方体【难度】4星【题型】解答【关键词】希望杯，五年级，复赛，第 18题，10分【解析】白色正方体的体积占总体积的93.75%,即占整个的 ,白色正方体与黑色正方16体之比为：1: 15,观察可知，每一层黑色正方体有

27、4个，则白色正方体有 60个，所以每一层共有 64个正方体，则正方体的边长为1,则共有8层，所以一共用了 4X8=32个小的黑色的正方体。【答案】32【例24】边长为1厘米的正方体，如图这样层层重叠放置，那么当重叠到第5层时，这个立体图形的表面积是多少平方厘米?【考点】长方体与正方体【难度】3星【题型】解答【解析】 这个图形的表面积是俯视面、左视面、正视面得到的图形面积的 2倍.该立体图形的上下、左右、前后方向的表面面积都是15平方厘米，该图形的总表面积为90立方厘米.【答案】90【巩固】按照上题的堆法一直堆到 N层(N >3),要想使总表面积恰好是一个完全平方数，则N的最小值是多少？【

28、考点】长方体与正方体【难度】4星【题型】解答【解析】每增加一层，每一个“大面”就增加到N(N +1)个小面，总表面积是 6个“大2面”，所以就增加到3N(N +1)个小面，几何题变成数论题，问题转化为“3N(N+1) 是一个完全平方数， N的最小值是几(N >3)? ”因为N和N +1互质，所以N和N +1必须有一个是完全平方数，一个是平方数的3倍，但N +1不能是平方数的3倍，因为如果 N+1是平方数的3倍，设N+1=3n2, N =3n2 -1此时N被3除余2,不可能是完全平方数，所以 N是平方数的3倍，N +1是完全平方数，开 始试验：当N =3父12 =3,不符合题意；当N =3

29、父22 =12 , N +1 =13 ,不是完全平方数；当N =3父32 =27 , N +1 =28 ,不是完全平方数； 2当N=3M4 =48, N +1=49,是完全平方数， 所以N的最小值是48,即堆到第48层时，总表面积是完全平方数，为 3 48 49 =842.【答案】48【例25】把19个棱长为1厘米的正方体重叠在一起，按右图中的方式拼成一个立体图形.，求这个立体图形的表面积.【考点】长方体与正方体【难度】4星【题型】解答【解析】 从上下、左右、前后观察到的的平面图形如下面三图表示.因此，这个立体图形的表面积为：2个上面42个左面+2个前面.上表面的面积为：9平方厘米，左表面的面

30、积为：8平方厘米，前表面的面积为：10平方厘米.因此，这个立体图 形的总表面积为：(9 +8+10) m2 =54(平方厘米).【巩固】用棱长是 1厘米的立方块拼成如右图所示的立体图形，问该图形的表面积是多少平方厘米？【考点】长方体与正方体【难度】4星【题型】解答【关键词】华杯赛，初赛，第 12题【解析】该图形的上、左、前三个方向的表面分别由9、7、7块正方形组成.该图形的表面积等于(9 +7 +7)父2 =46个小正方形的面积，所以该图形表面积为46平方厘米.【答案】46【例26现有一个棱长为1厘米的正方体，一个长宽为1厘米高为2厘米的长方体,个长宽为1厘米高为3厘米的长方体.下列图形是把这

31、五个图形合并成某一立 体图形时，从上面、前面、侧面所看到的图形.试利用下面三个图形把合并成 的立体图形（如例）的样子画出来，并求出其表面积.例：上【考点】长方体与正方体【难度】4星【题型】解答【解析】 从前面看到的和从侧面看到的图形都只有3层，说明叠成白图形只有 3层.从上面看到的图形中可以确定2个高为3厘米的长方体的位置， 一个水平方向，一个竖直方向，再从前面和侧面的图形可以看出这两个长方体都在第1层；从而可以确定另一个高为3厘米的长方体及其它两个图形的位置，可得立体图形的形状如下图所示.从上面和下面看到的形状面积都为9平方厘米，共18平方厘米;从两个侧面看到的形状面积都为7平方厘米，共14

32、平方厘米；从前面和后面看到的形状面积都为6平方厘米，共12平方厘米;隐藏着的面积有2平方厘米.一共有18七4十12+2 =46（平方厘米）.【答案】461厘米的小正方体，其中【例27】将一个表面积涂有红色的长方体分割成若干个棱长为一面都没有红色的小正方形只有3个，求原来长方体的表面积是多少平方厘米？【考点】长方体与正方体【难度】3星【题型】解答【关键词】清华附中，培训题【解析】 长：3+1 +1 =5厘米；宽：1+1 +1=3厘米；高：1 +1+1=3厘米；所以原长方体的表面积是：（3w5+3父5十3父3） 3v2 = 78平方厘米.【答案】78【例28】有30个边长为1米的正方体，在地面上摆

33、成右上图的形式，然后把露出的表 面涂成红色.求被涂成红色的表面积.【考点】长方体与正方体【难度】3星【题型】解答【解析】4X4 +（1+2+3+4）X4 =56（平方米）.【答案】56【例29】有一塔形几何体由若干个正方体构成，构成方式如下图所示，上层正方体下底面的四个顶点是下层正方体上底面各边的中点.已知最底层正方体的棱长为 2,且该塔形的表面积（含最底层正方体的底面面积 ）超过39,则该塔形中正方体的 个数至少是.【考点】长方体与正方体【难度】3星【题型】填空【解析】此几何体不论有多少层，其上、下表面积是固定不变的，为2父2+2父2=8,它的每个侧面的面积应该超过（39 _8广4 =7.7

34、5 .最底层的正方体的单个侧面面积为2x2=4,往上依次为2, 1, 1 , 1 ,241 1刖五层正万体的单个侧面面积和为4 +2 +1 +- +- =7.75 ,2 4所以要想超过7.75,至少应该是6个.【答案】6【例30如图，这是一个用若干块体积相同的小正方体粘成的模型.把这个模型的表面（包括底面）都涂成红色，那么，把这个模型拆开以后，有三面涂上红色的小正 方体比有两面涂上红色的小正方体多块.【考点】长方体与正方体【难度】4星【题型】填空【解析】 三面涂上红色的小正方体有：4X2+5X4 =28个，两面涂上红色的小正方体有:3X4 +1父4=16 个，所以三面涂红色的比两面涂红色的多2

35、8 -16 =12块.【答案】12【例31】小明用若干个大小相同的正方体木块堆成一个几何体，这个几何体从正面看如图1所示，从上面看如图 2,那么这个几何体至少用了 块木块.图2【题型】填空【考点】长方体与正方体【关键词】迎春杯，中年级，复赛， 9题【解析】这道题很多同学认为答案是26块.这是受思维定势的影响，认为图2中每一格都要至少放一块.其实，有些格不放，看起来也是这样的.如下图，带阴影的3块不放时，小正方体块数最少，为23次.条【答案】23块【例32】小明用若干个大小相同的正方体木块堆成一个几何体，这个几何体从正面看如图2所示，从上面看如图 3所示，那么这个几何体至少用了 块木块.【考点】

36、长方体与正方体【难度】4星【题型】填空【关键词】迎春杯，高年级，初赛， 7题【解析】 这道题很多同学认为答案是 31块.这是受思维定势的影响，认为图2中每一格都要至少放一块.其实，有些格不放，看起来也是这样的.如图5,带阴影的5块不放时，小正方体块数最少，为26块.图5【答案】26块【例33】右图是4 M5 M6正方体，如果将其表面涂成红色，那么其中一面、二面、三面被涂成红色的小正方体各有多少块？/ ¥ / / # / / X / / / /【考点】长方体与止方体【解析】三面涂红色的只后【难度】3星【题型】解答8个顶点处的8个立方体；两面涂红色的在棱长处，共(4 _2) 4 (5 _

37、2) 4 (6 _2) 4 =36块；一面涂红的表面中间部分：(4 _2) (5 _2) 2 (4 _2) (6 _2) 2 (5 _2) (6 _2) 2=52块.【答案】52【例34】一个长方体，六个面均涂有红色，沿着长边等距离切5刀，沿着宽边等距离切4刀，沿着高边等距离切 n次后，要使各面上均没有红色的小方块为24块，则n的取值是.【考点】长方体与正方体【难度】3星【题型】填空【解析】 沿着长边等距离切 5刀，可切为5+1=6块；沿着宽边等距离切4刀，可切为4+1=5块；沿着高边等距离切 n刀，可切为n+1块.由题意可知，长方体每一 个面的外层是涂有1面(或2面、或3面)的小方块，所以，

38、各面均没有红色的小 方块共(6 -2)x(5 -2)x(n +1 -2) =12(n 1)个，因各面均没有红色的小方块为24块，所以，12(n -1) =24 ,解得 n =3 .【答案】3【例35棱长是m厘米(m为整数)的正方体的若干面涂上红色，然后将其切割成棱长是1厘米的小正方体.至少有一面红色的小正方体个数和表面没有红色的小正 方体个数的比为13:12 ,此时m的最小值是多少？【考点】长方体与正方体【难度】3星【题型】解答【解析】切割成棱长是1厘米的小正方体共有 m3个，由于其中至少有一面是红色的小正 方体与没有红色面的个数之比为13:12 ,而13+12 =25 ,所以小正方体的总数是

39、25的倍数，即m3是25的倍数，那么 m是5的倍数.当m=5时，要使得至少有一面的小正方体有65个，可以将原正方体的正面、上面和下面涂色，此时至少一面涂红色的小正方体有5X5+5父4父2=65个，表面没有红色的小正方体有125 -65 =60个，个数比恰好是13:12 ,符合题意.因此，m的最小值是5.【答案】5【例36】有64个边长为1厘米的同样大小的小正方体，其中34个为白色的，30个为黑色的.现将它们拼成一个 4M4M4的大正方体，在大正方体的表面上白色部分 最多可以是多少平方厘米？【考点】长方体与正方体【难度】3星【题型】解答【解析】要使大正方体的表面上白色部分最多，相当于要使大正方体

40、表面上黑色部分最少，那么就要使得黑色小正方体尽量不露出来.在整个大正方体中，没有露在表面的小正方体有（4_2）3=8（个），用黑色的；在面上但不在边上的小正方体有 （4 2）2父6 =24（个），其中308=22个用黑色.这样，在表面的4M4父6=96个1父1的正方形中，有22个是黑色，96 22 =74 （个）是白色, 所以在大正方体的表面上白色部分最多可以是74平方厘米.【答案】74【例37】一个长方体的长是12厘米，宽10厘米，高也是整厘米数，在它的表面涂满颜 色后，截成棱长是1厘米的小正方体，其中一面有色的小正方体有448个.求原来长方体的体积与表面积.【考点】长方体与正方体【难度】3

41、星【题型】解答【解析】先求出长方体的高，再求其体积和表面积.设长方体的高为h厘米，则按题意截成 的 一 面 有 色 的 小 正 方 体 有-10 h 22h-1予 2 2个，因为h 2+2-面有色的小正方体有 448个，所以，88 +36h =448 ,解得h =10 .所以，长方体的体积为12x10x10=1200立方厘米，表面积为（12 父10 +12 X10 +10X10 不2 =680 平方厘米.【答案】体积1200,表面积是680【例38】将一个棱长为整数分米的长方体6个面都涂上红色，然后把它全部切成棱长为1分米的小正方体.在这些小正方体中，6个面都没有涂红色的有 12块，仅有两个面

42、涂红色的有 28块，仅有一个面涂红色的有 块，原来长方体的 体积是 立方分米.【考点】长方体与正方体【难度】4星【题型】填空【解析】先考虑6个面都没有涂红色的正方体，它们最初是位于原长方体的“芯” （就是 去掉长方体各面最外面一层后剩下的小长方体）内的正方体，共有 12块，所以 12就是这个“芯”的长、宽、高（各比原来长方形的长、 宽、高小2）的乘积.而 12分拆成3个整数的乘积只有 4种情况：1M1M12 1父2M61x3x42M2M3；再看两面涂红的小正方体. 两面涂红的小正方体就是最初位于长方体的棱上除了顶角处的那些小正方体，它们的个数和恰好是“芯”的长、宽、高之和的4倍.由于这样的小正

43、方体共有28块，所以“芯”的长、宽、高之和为28 + 4=7;符合条件的只有2+2+3 =7 ,所以“芯”为2M2M3的长方体，原来的长方体是4M4M5的长方体.一面涂红的长方体就是最初位于长方体各个面中间部分的长方体，它们的数量为:（2x2+2父3+2父3泮=32 （个），原来长方体的体积为：4x4x5=80 （立方分米）.【答案】一面涂色的有 32块，长方体的体积是 80立方分米例39右图是由27块小正方体构成的 3 m3 m3的正方体.如果将其表面涂成红色， 则在角上的8个小正方体有三面是红色的， 最中央的小方块则一点红色也没有， 其余18块小方块中，有 12个两面是红的，6个一面是红的

44、.这样两面有红色 的小方块的数量是一面有红色的小方块的两倍，三面有红色的小方块的数量是一点红色也没有的小方块的八倍.问：由多少块小正方体构成的正方体，表面 涂成红色后会出现相反的情况，即一面有红色的小方块的数量是两面有红色的 小方块的两倍，一点红色也没有的小方块是三面有红色的小方块的八倍？【考点】长方体与正方体【难度】3星【题型】解答【解析】 对于由n3块小正方体构成的 nxnxn正方体，三面涂有红色的有 8块，两面涂有红色的有12 m （n2）块，一面涂有红色的有 6x（n2）2块，没有涂色的有（n2）3块.由题设条件，一点红色也没有的小方块是三面涂有红色的小方块的八倍，即3（n -2） =

45、8X8,解得 n=6.【答案】216【例40有6个相同的棱长分别是 3厘米、4厘米、5厘米的长方体，把它们的某些面 染上红色，使得有的长方体只有1个面是红色的，有的长方体恰有2个面是红色的，有的长方体恰有 3个面是红色的，有的长方体恰有 4个面是红色的，有 的长方体恰有5个面是红色的，还有一个长方体6个面都是红色的，染色后把所有长方体分割成棱长为 1厘米的小正方体.分割完毕后，恰有一面是红色的 小正方体最多有多少个？【考点】长方体与正方体【难度】4星【题型】解答【关键词】华杯赛， 决赛） 4题【解析】一面染红的长方体，显然应将 4父5的长方体染红，这时产生 20个一面染成红色 的小正方体，个数

46、最多.二面染红的长方体，显然应将两个4x5的长方体染红，这时产生 40个一面染成红色的小正方体，个数最多.三面染红的长方体， 显然应将4x5 , 4x5 , 4父3的面染红，于是产生4x(5 +5 + 3-4) =36 个一面染成红色的小正方体，其他方法得出的一面染成红色的正方体均少于36个.四面染红的长方体，显然应将4父5, 4x5 , 4x3 , 4M3的面染红，产生 4黑(5 +5+3 +3-2黑4) =32个一面染成红色的正方体，其他方法得到的一面染成红色的小正方体均少于32个.五面染红的长方体，应只留一个3父5的面不染，这时就产生(3 -2)父(5 -2) +(4 -1)x(5 +5

47、+3 +3 -2x4) =27个一面染成红色的小正方体，其他染法得到的一面染成红色的小正方体均少于27 .六面染红的长方体，产生 2Ml(32)父(52) +(5 -2)x(4 -2) +(4 2)父(3 2) =22个一面 染成红色的小正方体.于是最多得到22+27 +32 +36 +40 +20 =177个一面染成红色的小正方体.【答案】177【例41】三个完全一样的长方体，棱长总和是288厘米，每个长方体相交于一个顶点的三条棱长恰是三个连续的自然数，给这三个长方体涂色，一个涂一面，一个涂 两面，一个涂三面.涂色后把三个长方体都切成棱长为1厘米的小正方体，只有一个面涂色的小正方体最少有多少

48、个？【考点】长方体与正方体【难度】4星【题型】解答【解析】每个长方体的棱长和是 288+3 =96厘米，所以，每个长方体长、宽、高的和是96 T4 =24厘米.因为，每个长方体相交于一个顶点的三条棱长恰是三个连续的 自然数，所以，每个长方体的长、宽、高分别是9厘米、8厘米、7厘米.要求切割后只有一个面涂色的小正方体最少有多少个，则需每一个长方体按题意涂色时，应让切割后只有一个面涂色的小正方体最少.所以，涂一面的长方体应涂一个8乂7面，有 8 M7=56 个；涂两面的长方体，若两面不相邻，应涂两个8M7面，有8父7父2=112个；若两面相邻，应涂一个8M7面和一个9M7面，此时有7M(8+92)

49、 = 105个，所以涂两面的最少有 105个； 涂三面的长方体，若三面不两两相邻，应涂两个8M7面、一个9M7面，有 7秋8+8+9-4 =1 47个 ； 若 三 面 两 两 相 邻， 有 (7 1/(8 1 )+(7 1尸(9 1 )+(81卜(9 1 )=146个，所以涂三面的最少有 146个.那么切割后只有一个面涂色的小正方体最少有56 +105 +146 =307个.【答案】307【例42】有125个同样大小的正方体木块，木块的每个面的面积均为1平方厘米，其中63个表面涂上白色，还有 62个表面涂上蓝色。将这 125个正方体木块粘在一 起，形成一个棱长为 5厘米大正方体木块。这个大正方

50、体木块的表面上，蓝色 的面积最多是 平方厘米。【考点】长方体与正方体【难度】3星【题型】填空【关键词】迎春杯，三年级，初赛，第 10题【解析】8个顶点上的正方体木块表面积是3平方厘米，棱上的正方体木块表面积是2平方厘米，面上的正方体木块表面积是1平方厘米，所以要先在顶点和棱上放蓝色的正方体木块，剩下的放在面上，不放在内部，蓝色的面积最多是 3X 8+2X （5-2） X 12+1 X （ 62-8-36 ） =114 平方厘米.【答案】114【例43】有100个棱长为1厘米的正方体木块，表面均为白色，还有25个棱长为1厘米的正方体木块，表面均为蓝色。将这125个正方体木块粘在一起，形成一个大正

51、方体。大正方体的表面为白色的面积至少是 平方厘米。【考点】长方体与正方体【难度】3星【题型】填空【关键词】迎春杯，四年级，初赛， 8题【解析】 将蓝色正方体尽量依次往角上、棱上放，因为这三个位置上的正方体的裸露表面有3、2块。这二个位置上的正方体依次有8、（5-1-1 ） X 12=36个.所以25个正方体在角上放8个，棱上放17个，那么所占的表面积有 8X3+17X2=58块.白色 面积为150-58=92块，即92平方厘米.【答案】92例44 64个同样大小的小正方体，其中34个为白色的，30个为黑色的。现将它们拼成一个4X 4X4的大正方体，在大正方体的表面上白色部分的面积与黑色部分 的

52、面积之比最大为。【考点】长方体与正方体【难度】3星【题型】填空【关键词】走美杯，6年级，决赛，第6题，10分【解析】 没有露在表面的小正方体有（4-2） 2 =8（个），用黑色的。在面上但不在边上的小 正方体有（4-2） 2X6=24（个），其中22个用黑色。这样，在表面的4X4X 6=96（个） 小正方形中，22个是黑色，96-22=74（个）是白色，白色与黑色的面积比为74:22 =37:11 。【答案】37:11【例45】将16个相同的小正方形拼成一个体积为16平方厘米的长方体，将表面涂漆，然后分开，结果，其中 2面涂漆的小正方体有 8个，那么3面涂漆的小正方体 有 个，4面涂漆的小正方

53、体有 个。【考点】长方体与正方体【难度】3星【题型】填空【关键词】希望杯，四年级，复赛，第 12题，5分【解析】16=1 X 1 X 16=1X 2X 8=1 X 4X 4=2X 2X 4,其中只有2X2X4的长方体有8个小 正方体2面涂漆，它的3面小正方体有8个(8个角)，没有4面都涂漆的.【答案】三面涂漆的有 8个，无四面涂漆的【例46】把一个大长方体木块表面上涂满红色后，分割成若干个同样大小的小正方体， 其中恰好有两个面涂上红色的小正方体恰好是100块，那么至少要把这个大长方体分割成多少个小正方体？【考点】长方体与正方体【难度】4星【题型】解答【解析】设小正方体的棱长为1,考虑两种不同的

54、情况，一种是长方体的长、宽、高中有 一个是1的情况，另一种是长方体的长、宽、高都大于1的情况.当长方体的长、宽、高中有一个是1时，分割后只有一层小正方体，其中有两个面涂上红色的小正方体是去掉最外层一圈的小正方体后剩下的那些.因为有两个面涂上红色的小正方体恰好是100块，设100 =axb ,那么分成的小正方体个数为(a +2 y (b +2 y<1 =ab+2(a +b )+4 =2(a+b )+104 ,为了使小正方体的个数尽量少，应使(a+b版小，而两数之积一定，差越小积越小，所以当a =b =10时它们的和最小，此时共有(10 +2户(10 +2 )=144个小正方体.当长方体的长、宽、高都大于1时，有两个面涂上红色的小正方体是去掉 8个顶点所在的 小正方体后12条棱上剩余的小正方体，因为有两个面涂上红色的小正方体恰好是100块,所以长方体的长、宽、高之和是100+4+2X3=31.由于