数理统计茆诗松第二章自测题

1、?数理统计?第二章自测题时间：120分钟,卷面分值：100分、填空题：(每题2分,共10分)得分1.设总体X服从参数为的泊松分布,X1,X2,一泡是取自X的随机样本,其均值和方差分别为X和S2,如果2aX(23a)S是的无偏估计,那么a=2.设总体X的密度函数为f(x,)e(x)0,x,X1,X2,Xn为来自该总体的一x,3.？,2为未知参数个简单随机样本,那么参数的矩估计量为的两个无偏估计,且1与$不相关,D(1)4D(2).如果3a1b2也是的无偏估计,且是1,1的所有同类型线性组合中方差最小的,那么a=,b=.4.设X是在一次随机试验中事件A发生的次数,进行了n次试验得一组样本X1,X2

2、,-Xn,其中事件A发生了k次,那么事件A发生的概率为p,3的最大似然估计为;p(1-p)的矩估计为.5.设总体(冉.丸出产均为未知参数,?Xn(n>3)为来自总体X的一个样本,当用2X-Xi,&及0,3X；+05%作为口的估计时,最有效的是.得分二、选择题：(每题3分,共24分)1 .设总体X服从a,b(a<b)上的均匀分布,a、b均为未知参数,风入*"Xn为来自总体X的一个样本,那么a二与小的最大似然估计量为()(A)a*=maxXi,b=|min1<iSnlSi<n(B)a2=minXi?=maxXi1<i<n1<icn(C)|

3、a2=|X-Sl3Jbi=X+S2(D)：|X：讣厂2 .设总体X的概率分布为X0123PP22(1)212其中(0<<1/2)是未知参数,从总体X中抽取容量为8的一组样本,其样本值为3,1,3,0,3,1,2,3,那么参数的矩估计值为().(A)1/3;(B)1/4;(C)T2;(D)1/8.3 .设？,和2是总体参数的两个估计量,说？比N更有效,是指().(A)E(?)E(2),且12；(B)E(?)E(g)；(C)D(?)D(Z)；(D)E(?)E(?2),且D(?)D(?2)o4 .设XX2,Xn是来自总体X的样本,D(X)=25r又和S2(X_XL,分别为样本i1n1均值

4、和样本方差,那么().(A)S是Q的无偏估计(B)S是仃的最大似然估计(C)S是G的相合估计(D)S与相互独立=dyJ=0,5.设Y同时满足xp心那么以下结论正确的选项是(A).是.的有效估计量(B).是.的无偏估H量(C)Yn是9的相合估汁量(D)A和C同时正确6.设Xi,X2,Xn是来自总体X的样本,E(X)="D(X)=23那么可以作为J的无偏估计量的是().(A)当科为时,(X)-；(B)当科为时,IX)_;iiniin1(C)当科为未知时,n(X一匚；(D)当科为未知时,n义二.iiniin1)是2的无偏估计量.7.设？是参数的无偏估计量,且D(?)0,那么？2|(A)一定

5、；(B)不一定；(CL定不；(D)可能.8.设用普通的最小二乘方法去估计线性模型,计需要满足()(A)M列满秩,Var(X)FU(V对称的正定阵(C) M列满秩,Var(X)=,I(I单位矢I阵)三、判断题：(每题1.5分,共15分)1 .()设总体XN(?),?,72均未知,Xi,EX=M：,要使得参数估计为最好线性无偏估)(B)Var(X)=F|(I单位矩阵)(D) (A)和(C)都对得分<2,n是来自X的样本,那么S2(X_XL是？2的UMVUE.iin2 .()未知参数的矩估计量和最大似然估计量都是无偏估计量.3 .()对C-R正那么族,一致最小方差无偏估计一定是有效估计.4 .

6、()用最大似然估计法求出的估计量是不唯一的.5 .()用矩估计法和最大似然估计法求出的估计量一定不同.6 .()未知参数的无偏估计为相合估计.7 .()费希尔信息量总是存在的.8 .()对C-R正那么族,无偏估计的方差下界可以任意小.9 .()参数的一致最小方差无偏估计必然为完备充分统计量的函数.10 .()在贝叶斯统计中,对给定的总体,参数是随机的；参数估计由先验信息决定.四、计算题(共51分)1.(8分)设总体X的概率密度函数为f(x,)6x/(x),0x其中参数>0未0,其它,知,设Xi,X2,Xn是来自总体X的样本,求的矩估计量、计算,的方差D(?),并讨论的无偏性.2.(12分

7、)设总体X的概率密度为f(x；)2e2(x),x0,x得分其中参数？>0为未知,从总体中抽取样本Xi,X2,Xn,其样本观察值为xi,x2,-xn,(1)求参数？的最大似然估计$;(2)讨论$是否具有无偏性；(3)假设$不是？的无偏估计量,修正它,并由此指出？的一个无偏量估计$?.(4)讨论$是否具有相合性；得分3 .(6分)一个人重复的向同一目标射击,设他每次击中目标的概率为p,射击直至命中目标为止.此人进行了n(n?1)轮这样的射击,各轮射击的次数分别为x1,x2,xn,试求命中率p的矩估计值和最大似然估计值.得分4 .(11)设X1,X2,却是来自GMoA)的样本.",苴

8、密度函数为;1xp(x;,)(-xe,x0.试求参数:的UMVUE,并判断是否为有效估计.5 .(8)设总体为均匀分布UQ94l),d的先验分布为均匀分布U(10,16),现有三个观测值:11.7,12.1,12.(1)求.的后验分布(2)求贝叶斯估计以及方差.6 .(6)对线性模型EXMo,其中M为列满秩阵,I为单位矩阵,使用普通最小二乘方Var(X)2I法计算参数的估计以及方差,并判断最小二乘估计是否是无偏的？?数理统计?第二章自测题参考答案一、填空题：1.1；2.X1;3.a=0.2,b=0.8；4尿口六(L'nXl-kn)；5.又【提示】1.由于E(X)D(X),故E(X)E(

9、S2),又E(?),即21E(aX(23a)S)a(23a),解得a万.3 .由题意a,b应使得E(2)且D(2)到达最小.E(7)E(?),Cov(?,?)0,E(Z)aE(?)bE(?)(ab)ab1,b1a,D(?)a2D(?)b2D(?)2cov(?)(4a2(1a)2)D(?)(5a22a1)D(?)D(3)aD(1)bD(2)2cov(1,2)(4a(la)D(1)(5a2ai)D(2)令f(a)5a22a1,求f(a)的最小值点为a=0.2,那么b=0.8._1k4 .由于X服从两点分布,那么E(X)=p,矩估方f值？1Xik,代入p(1-p)可得其矩估计.ni1n设(Xi,X2

10、,Xn)是X的一组样本观察值,那么p的似然函数为nnnxn片L(p)Px(1P)1XiPi1(1P)i1Pk(1P)nk,i1两边取自然对数为lnL(p)klnp(nk)ln(1p),令dlnL(p)0,得似然估计值为dp?k,由最大似然估计的不变性,可得/的最大似然估计为凹口总n5.p(2X-Xi)=、D(0,2Xj+03X2+0、羽)=*工二、选择题：1. (B);2.(B);3.(D);4.(C);5.(C)6.(A);7.(C);8.(C)【提示】1 .易得a和b的最大似然估计分别为旷=1黑"工上=I曙口刈,再由最大似然估计的不变性可得.2. E(X)=34,故？3Xo代入样

11、本均值的观察值44.S是3的无偏估计,但S不是k的无偏估计；(n-1)/nS2是的最大似然估计,所以(n-1)只有当总体是正态分布时,才有S与又相互独立.(Xi1)2nE(Xii1)2三、判断题:1.?;2.?;3.?;【提示】4.?;5.?;6.?;7.?;8.?;9.?;10.?;3.对C-R正那么族,有效估计一定是一致最小方差无偏估计,但反过来,由于UMVUE的方差不一定能到达C-R下界,所以UMVUE不一定是有效估计.4.设Xi,X2,-Xn为来自总体U(,1)的一个样本,其中参数未知,似然函数为即满足maxXi1ininL()f(x;i1须满足mXi,maxx1in1g(XX2,L,

12、Xn)minXi1inX1,X2,L,Xn其他,1,所以,maxx1in1,的统计量g(X1,X2,L,Xn)都是的最大似然估计量.10.贝叶斯统计中,参数确实是随机的,但是参数值也是由先验信息和样本信息同时决定的.四、计算题6x2(x)1.【解】由于E(X)0一二一)dx2,所以一2的矩估计量为D(?)4D(X)4D(X)n由于E(X2)6X3V)dx310,所以D(X)E(X2)2(e(X)2痴,2_D(?)一,又E(?)2E(X)5n,所以是无偏的.2.【解】(1)似然函数为nL()f(x;n2e2(,Xii1,X2,L,Xn0,其他,当xi>?,X2>?,-xn>?时

13、,L(?)>0,取对数,得nlnL()nln22Xi2ni1由于dlnL()2n0,以L(?)单调增加,因此？越大,L(?)越大,但？X1,X2,-xn,故取？d的最大似然估计值为？min(x1,x2,L,xn),于是？的最大似然估计量为min(Xi,X2,L,Xn).x1e2(x)x(2)设总体X的分布函数为F(x)f(t)dt'0,xFmin(z)1(1FX(z)n1e2n(z)0,zfmin(z)Fmin(z)2n(z2ne0,z由于E(3zf?(z)dz2nze2n(z)dx012n,所以$不是？的无偏估计量.111取$,贝UE(以)E($)E($)2n2n2n,于是即$

14、?是？的无偏估计量.(4)由于喇二,牛."3怔4J；#+2t+l)2ne-叫t=也十展所以=工+-+疔-(白+丁)=n2n/4n-由习题2.1节题目7的结论可知"是的相合估计.3.【解】设X为直到命中目标为止所进行的射击次数,那么X服从参数为p的几何分布,即PXk(1p)k1p,k1,2,LX为总体,p未知,x1,x2,xn是来自总体的一组样本值,由1E(X)一,xp由矩估计法有？11二为p的矩估计值.x为i1nnxjn似然函数L(p)(1p)xi1p(1p)i1pn,lnL(p)(Xin)ln(1p)nInp,i1nxin入dInL(p)ni1n令口0,解得？.dpp1p

15、nxii14 .【解】(1)求解参数的UMVUE.Ch(工心00,其密度函数为；p(x;,)qX1ex,x0,易判断它为指数分布族,并且当卜Ri时有T=£：=Xi为充分统计量,又指数分布族的充分统计量为完备统计量,所以T=£：_Xi是充分完备统计量.又EX=1所以=从而:是参数的无偏估计,又是完备充分统计量的函数,所以为UMVUE.(2)判断它是否为有效估计.先计算:的方差：Var-Var(X)nnn下一步计算参数虱？0=：的C-RF界.由伽玛分布的密度函数得到lnp(x;)lnln()(1)lnxx;2,、lnp(x;)所以的费希尔信息量为I()2lnp(x；)2,由C-"界公式知=J的无2偏估计下界为：g()nI()由于UMVUE达至ij了C-RF界,所以为有效估计.5 .【解】(1)当)<厢、.4Li=123.1016,即19M鹏1厂演3产.+1<17时,样本和日的联合分布为：I h(x1