解三角形在实际生活中的应用

1、解三角形在实际生活中的应用高一数学教研组冯一波一、背景说明：在我国古代就有嫦娥奔月的神话故事。明月高悬，我们仰望星空，会有无限遐想。不禁会问，遥不可及的月球离地球到底有多远？1671年，两个法国天文学家测出大约距离为385400千米。他们是怎样测出的呢？在数学发展史上，受到天文测量、航海测量和地理测量等方面实践活动的推动。解三角形的理论不断发展，并被用于解决许多测量问题方面。二、课题目的和意义：三角形是基本的几何图形，三角形中的数量关系是基本的数量关系，有着极其广泛的应用。我们将在以前学习的有关三角形、三角函数和解直角三角形的知识基础上，通过对于任意三角形边角关系的研究，发现并掌握三角形中的变

2、长与角度之间的数量关系，并解决一些实际问题。学而不思则罔，只有通过自己的独立思考才能真正学会数学，同时应当掌握科学的思维方法，特别是学习类比、推广等数学思考方法，提高我们的数学思维能力。三、设计思想本节重点利用解斜三角形解决相关实际问题.解斜三角形知识在生产实践中有着广泛的应用，解斜三角形有关的实际问题过程，贯穿了数学建模的思想.这种思想就是从实际出发，经过抽象概括，把它转化为具体问题中的数学建模，然后通过推理演算，得出数学模型的解，再还原成实际问题的解.强化上述思维过程，既是本节的重点，又是本节难点.解三角形应用题的另一个难点是运算问题，由于将正弦定理、余弦定理看成几个“方程“，那么解三角形

3、的应用题实质上就是把已知信息按方程的思想进行处理，解题时应根据已知和未知合理选择一个“容易解”的方程，从而是解题过程简洁.同时，由于具体问题中给出的数据通常是近似值，故运算过程一般较为复杂，必须借助于计算器计算，因此要加强训练，达到“算法简炼，算式工整，计算准确”的要求.知识结构:安际问题嬴匕照皂里T数学极k的解四、实际应用1.测量中正、余弦定理的应用例1某观测站C在目标A南偏西25口方向，从A出发有一条南偏东35走向的公路，在C处测得公路上与C相距31千米的B处有一人正沿此公路向A走去，走20千米到达D,此时测得CD距离为21千米，求此人所在D处距A还有多少千米?分析：根据已知作出示意图，分

4、析已知及所求，解CBD，求角B.再解MBC,求出AC,再求出AB,从而求出AD（即为所求）.解：由图知，/CAD=60，222_2_2_2_cBDBC-CD3120-2123cosB=一2BCBD2312031sinB二©I31在AABC中，AC=BCSinB=24.sinA由余弦定理，得BC2=AC2AB2-2ACABcosA.即312=AB2242-2AB24cos60整理，得AB224AB385=0,解得人8=35或人8=11（舍）故AD=ABBD=15（千米）.答：此人所在D处距A还有15千米.评注：正、余弦定理的应用中，示意图起着关键的作用,“形”可为“数”指引方向,因此，

5、只有正确作出示意图，方能合理应用正、余弦定理2.航海中正、余弦定理的应用例2在海岸A处，发现北偏东45口方向，距A为J3-1海里的B处有一艘走私船,在A处北偏西75口方向，距A为2海里的C处的缉私船奉命以10J3海里/小时的速度追截走私船.此时走私船正以10海里/小时的速度从B处向北偏东30口方向逃窜，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船，并求出所需要的时间？分析：注意到最快追上走私船，且两船所用时间相等，可画出示意图，需求CD的方位角及由C到D所需的航行时间.解：设缉私船追上走私船所需时间为t小时，则有CD=10?3t,BD=10t.在ABC中，AB=阴一1,AC=2,BAC=4575=120

6、,根据余弦定理可得BC=.(3-1)222-22(3-1)cos120=6.根据正弦定理可得sinABC=ACsin120BC/ABC=45）易知CB方向与正北方向垂直，从而ZCBD=90©+30=120".在4BCD中，根据正弦定理可得:sinBCD:BDsinCBDCD10tsin120=110nt2.BCD=30）/BDC=30。，BD=BC=76,则有10t=J6,t=Y6=0.245小时=14.7分钟.10所以缉私船沿北偏东60°方向，需14.7分钟才能追上走私船.评注：认真分析问题的构成，三角形中边角关系的分析，可为解题的方向提供依据.明确方位角是应用

7、的前提，此题边角关系较复杂要注意正余弦定理的联用3 .航测中正、余弦定理的应用例3飞机的航线和山顶在同一个铅直平面内，已知飞机的高度为海拔20250m速度为180km/h,飞行员先看到山顶的俯角为18S30,经过120秒后又看到山顶的俯角为81°,求山顶的海拔高度（精确到1m）分析：首先根据题意画出图形，如图，这样可在AABM和RtABMD中解出山顶到航线的距离，然后再根据航线的海拔高度求得山顶的海拔高度解：设飞行员的两次观测点依次为A和B,山顶为M,山顶到直线的距离为MD.如图，在4ABM中，由已知，得/A=1830',/ABM=99%/AMB=6230'.一120

8、，、又AB=180x=6(km),根据正弦定理，可得BM6sin1830'sin6230'60606sin1830'sin81进而求得MD=,.MD%2120（项,sin6230'可得山顶的海拔高度为20250-2120=18130（m）.评注：解题中要认真分析与问题有关的三角形，正确运用正、余弦定理有序地解相关的三角形，从而得到问题的答案.4 .炮兵观测中正、余弦定理的应用例4我炮兵阵地位于地面A处，两观察所分别位于地面点C和D处，已知CD=6000米，/ACD=451/ADC=75目标出现于地面点B处时，测得/BCD=30,，/BDC=15力（如图），求炮兵

9、阵地到目标的距离（结果保留根号）分析：根据题意画出图形，如图，题中的四点A、B、C、D可构成四个三角形.要求AB的长，由于ZADB=75°+15o=90°,只需知道AD和BD的长，这样可选择在MCD和ABCD中应用定理求解.解：在4ACD中，/CAD=180*/ACD/ADC=602CD=6000,ACD=45,根据正弦定理有AD=CDsin45=.2CD,sin60，3同理，在ABC中CB=8D0-B,CD-CD=6000,BCD=30,CDsin30、.2cc根据正弦te理有BD=CD.sin1352AB=、；AD2BD=-42CD=1000，426又在AABD中，NA

10、DB=/ADC+/BDC=901根据勾股定理有:所以炮兵阵地到目标的距离为1000J42米.评注：应用正、余弦定理求解问题时，要将实际问题转化为数学问题，而此类问题又可归结为解斜三角形问题，因此，解题的关键是正确寻求边、角关系，方能正确求解5.下料中正余弦定理的应用例5已知扇形铁板的半径为R,圆心角为60°,要从中截取一个面积最大的矩形，应怎样划线？分析：要使截取矩形面积最大，必须使矩形的四个顶点都在扇形的边界上，即为扇形的内接矩形，如图所示.解：在图（1）中，在AB上取一点P,过P作PN_LOA于N,过P作PQ_LPN交OB于Q,再过Q作QM_LOA于M.设NAOP=x,PN=Rs

11、inx.在POQ中，由正弦定理，得OPPQsin(180-60)sin(60-x)2,3.PQ=-3Rsin(60°-x).3是S=PNPQ=2R2sinxsin(60x)=/R2Cos(2x-60)cos60133,321.32-R2(1-):R23263当cos(2x60)=1即x=30=时，S取得最大值R2.6在图（2）中，取AB中点C,连结OC,在AB上取一点P,过P作PQOC交OB于Q,过P作PN_LPQ交AB于N,过Q作QM_LPQ交CA于M,连结MN得矩形MNPQ,设/POC=x，则PD=Rsinx.RR在POQ中，由正弦定理得：R=R，sin(180-30)sin(30-x).PQ=2Rsin(30-x).S=2PDPQ=4R2sinxsin(30-x)=2R2lcos(2x-30)-cos301E2R2(1cos30,=(2封R2(当x=15,时取“二”)当x=15时，S取得最大值(2-V3)R2.作/AOP=30