向量知识点职高

1、向量知识点有向线段：具有方向的线段叫做有向线段，通常在有向线段的终点处画上箭头表示它的方向.以A为始点,B为终点的有向线段记作AB,应注意：始点一定要写在终点的前面，已知aB,线段AB的长度叫做有向线段晶的长（或模），AB的长度记作|AB|.有向线段包含三个要素：始点、方向和长度.向量：具有大小和方向的量叫做向量，只有大小和方向的向量叫做自由向量.在本章中说到向量，如不特别说明，指的都是自由向量.一个向量可用有向线段来表示，有向线段的长度表示向量的大小有向线段的方向表示向量的方向.用有向线段aB表示向量时，我们就说向量aB.另外，在印刷时常III用黑体小写字母a、b、c、等表示向量；手写时可写

2、作带箭头的小写字母a、b、6、等.与向量有关的概念有：III（1）相等向量：同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量.向量a和b同向且等长，即a和IIIb相等，记作a=b.!（2）零向量:长度等丁零的向量叫做零向量，记作0.零向量的方向不确定.（3）位置向量：任给一定点O和向量a，过点O作有向线段OA=*，则点A相对丁点O的位置被向量IIa所aaa唯一确定，这时向量a乂常叫做点A相对丁点。的位置向量.相反向量：与向量a等长且方向相反的向量叫做向量a的相反向量，记作-a.显然，*44a（-a）=0.''l（5）单位向量：长度等丁1的向量，叫做单位向量，记作e.与向量a同方向的

3、单位向量通常记作a0，容易看出：ao=击.Ial共线向量（平行向量）：如果表示一些向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，即这些向量IIII的方向相同或相反，则称这些向量为共线向量（或平行向量）.向量a平行丁向量b，记作a/b.零向量与任一个向量共线（平行）.已知向量a、b，在平面上任取一点A，作AB=a，BC=b，作向量AC，则向量AC叫做向量a与b的-一，44珅>TTT人Ln-和（成和向量），记作a+b，即a+b=AB+BC=AC.这种求两个向量和的作图法WJ，叫做向量求和的二角形法则.IIIIT一*4已知向量a、b，在平面上任取一点A，作AB=a，AD=b，如果A、B、D不共线，则

4、以日日TTABAD为邻边作平行四边形ABCD则对角线上的向量AC=a+b=AB+AD.这种求两个向量和的作图法则，叫做向量求和的平行四边形法则.5.已知向量a、b,在平面上任取一点O,作OAa,OS=b,则b+BA=a,向量BA叫(1) 做向量a与b的差，并记作a-b,即BA=a_b=oA_ob.由此推知：,如果把两个向量的始点放在一起，则这两个向量的差是减向量的终点到°a(2) 被减向量的终点的向量；一个向量京等丁它的终点相对丁点。的位置向量OA减去它的始点相对丁点。的位置向(3) 量OB；一个向量减去另一个向量，等丁加上这个向量的相反向量.6. -1444咛时向量加法满足如下运算

5、律：(1)a+b=b+a；(2)(a+b)+c=a+(b+c).7. 占SHF人4日、，八数乘向重的一般正义：头数A和向重a的乘积是一个向重,I己作舄a.当"0时,舄a上M同方向膈|=|XI|a|当舄0时，房-4a反方向,|膈=|XI|a|当丸=0或a=0时,0，a=人0=0.JJJ日日数乘向量满足以下运算律：(1)1a=a,(-i)a=a；入(心)=(，川洁；(3)(捉.二)a=膈a；(4)，(ab)=Ma，b.8. 平行向量基本定理：如果向量b#0,则a/b的充分必要条件是，存在唯一的实数舄，使a.该定理是验证两向量是否平行的标准.10已知轴(,取单位向量e,使e与/同方向，对轴

6、(上任意向量a,一定存在唯一实数x,使a=xe.这里IIIIII的x叫做a在轴上的坐标(或数量),x的绝对值等丁a的长，当a与e同方向时,x是正数，当a与e反方向时,x是负数.(1) 设a=xe,b=x?e，贝Ua=b当且仅当x=x2；a+b=(x+x?)e.这就是说，轴上两个向量相等的充要条件是它们的坐标相等；轴上两个向量和的坐标等丁两个向量的坐标的和._向量AB的坐标通常用AB表示，常把轴上向量运算转化为它们的坐标运算，得著名的沙尔公式:AB+BC=AC.轴上向量的坐标运算：起点和终点在轴上的向量的坐标等丁它的终点坐标减去起点坐标.即在轴x上,若点A的坐标为x，点B的坐标为x2,则AB=x

7、2-x.可得到数轴上两点的距离公式：IAB|=x2-x1.平面向重的分解正理：设a1,a2是平面上的两个不共线的向量，则平面上任怠一个向量c能唯一地-T*T,T_表小成a1,a2的线性组合,即x1a+x2a2(xj,x2R).11. 直线的向量参数方程：(t为参数)：A?=tAB；帮=OAhAB；帛=(it)OA十tOB.特别地，当t=：时，弄=；(OA+OB),此为中点向量表达式.一TT.12在直角坐标系XOY内，分别取与x轴、与y轴万向相同的两个单位向量e,、e?,在XOYF面上任作4日4，十十*一心4二,r，-TTT|，一向量a,由平面向量分解正理可知，存在唯一的有序实效对(xi,X2)

8、,使得a=xe+x2e2，则(x,X2)叫,4n一r一一r,一-T做向量a在直角坐标系XO冲的坐标，记作a=(xi,x2).13向量的直角坐标：任意向量aB的坐标等丁终点B的坐标减去起点A的坐标，即若A(xi,yi)、B(x2,y),则AB=OB-OA=(x2,y2)-(毛,乂)=(x2-x1,y2-y1).向量a的直角坐标(为血),也常根据向量的长度和方向来求:a1maco乱a2日a如8.14. 向量的坐标运算公式：设3=0,32)=(5,烷)，则:ab=（a,a2）（bh）=（ab,a2bz）;ab=（a,a2）-（灯尬）=（a1-相2-烷）;a=，（务，a2）=（，a1"a2）

9、.向量的长度(模)公式：若a=(a1,a2)，贝皿al=Jq2+a22;I若A(x，y),B(x2,y)，则IABI=态2x)2+(y2y)2.中点公式：若A(x1,y),B(x2,y2),点M(x,y)是线段AB的中点，则XXX2*%x-,y_2215. 平移是一种基本的几何(保距)变换，它本身就是一个向量.教材中有点的平移和坐标轴的平移(平面解析几何中讲到).16. 在图形F上任取一点P(x,y),设平移向量a=(a1,a2)到图形F'上的点P'(x：y),则点的平移公式为:x=xq,y=ya2.II以x轴的正半轴为始边，以射线oa为终边的角9,叫做向量a的方向角.向量a在轴，上的投影数量为a日aco殂.II两个向量a,b的内积揭示了长度、角度与向量投影之间的深刻联系：两个向量的内积等丁一个向量的长与另一个向量在这个方向上正投影数量的乘积，即咛4咛咛i4ab目a(Ibcos<a,b>)=Ib(Iacos<a,b>);两个向量的内积等丁这两个向量的模与它们火角的余弦的积，即叶*44ab=1al|Ncos<a,b>(1) 两个向量的内积是数量而不是向量.17. 内积运算的性质：(1)如果言是单位向量，则ae=ea=Iacos<a,e>(2)如ua=0;(3)