导数附其应用概念附公式总结

1、导数与微积分重要概念及公式总结1.平均变化率：丝=f(X2)f(Xl)称为函数f(x)从X1到X2的平均变化率xX2-Xi导数的概念从函数y=f(X)在x=x0处的瞬时变化率是：f(Xo*)-f(Xo)ylim=lim.J0x.口*我们称它为函数y=f(x)在x=Xd出的导数，记作f'(x0)或y|x=x°,即f(Xo.：X)-f(Xo)X2. 导数的几何意义函数y=f(x)在x=xo处的导数等丁在该点(Xo,f(Xo)处的切线的斜率，(其中(Xo,f(Xo)为切点)，即f(Xo)=ljxm-XoXX=k切线方程为：y-fx0=fx0x-x0常用函数的导数：(1) y=c则y

2、=o(2) y=x，贝Uy'=1y=x2，贝Uy=2x1,1(3) y=-，贝Uy=z_、_n_*n1(4) y=f(x)=x(n匚Q)，贝Uy=nx(5) y=sinx，贝Uy=cosx(6) y=cosx，贝Uy'=sinx(7) y=f(x)=ax，则y'=axIna(aao)y=f(x)=eX，贝Uy'=ex(1。)f(x)=IogaX，则f'(x)=(a>o,a=1)xIna3. (11)f(x)=lnx,则f'(x)=1x导数的运算法则：(1) .f(x)±g(x)=f(x)±g(x).f(x)g(x)】=f

3、(x)g(x)土f(x)g(x)f(x)If(x)g(x)f(x)g(x)=(g(x)=0)项x)一Ig(x)4. .Cf(x=cT(x)复合函数的导数：一般地，对丁两个函数y=f(u)和u=g(x)的导数间的关系为V；=yUx，即y对x的导数等丁y对u的导数与u对x的导数的乘积.5. 若y=f(g(x)，则y=f(g(x)'="g(x)g(x)函数的单调性与导数的关系在某个区间(a,b)内，如果f'(x)0,那么函数y=f(x)在这个区间内单调递增；如果f'(x)<0，那么函数y=f(x)在这个区间内单调递减求解函数y=f(x)单调区间的步骤：(1)

4、确定函数y=f(x)的定义域；(2) 求导数y'=f'(x);(3) 解不等式f'(x)0,解集在定义域内的部分为增区问；(4) 解不等式f'(x)<0,解集在定义域内的部分为减区间.6. 求函数y=f(x)的极值的方法：解方程f1x)=0,当f'(Xo)=0(1) 如果在x0附近的左侧f(x)>0，右侧f(x)<0，那么f(x0)是极大值7. 如果在x0附近的左侧f(x)<0，右侧f(x)>0，那么f(x0)是极小值利用导数求函数的最值步骤：求f(x)在(a,b)内的极值;8. 将f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)、

5、f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值定积分的一般研究方法：b-a,f(x)dx=limf(i)9. an_.，in采用“分割、近似代替、求和、取极值”求曲边梯形的面积定积分的几何意义b正积分ff(x)dx是直线x=a,x=b(a#b),y=0和曲线y=f(x)所围成的曲边a梯形的面积定积分的性质：bbkf(x)dx=kf(x)dxaabbbfjx)±f2(x)dx=fx)dx士ff2(x)dxaaabcbf(x)dx=f(x)dx+ff(x)dx(其中a<c<b)aac函数的奇偶性与定积分的关系(f(x)是区间-a,a】,(a0)上的连续函数)aa当f

6、(x)是偶函数时，Jf(xdx=2jf(xdx_a0a10. 当f(x)是奇函数时，jf(xdx=0-a定积分与曲边梯形面积的关系：(1) 曲边梯形位丁x轴上方时，定积分取正值，且等丁曲边梯形的面积曲边梯形位丁x轴下方时，定积分取负值，且等丁曲边梯形的面积的相反数16.微积分基本原理：一般地，如果f(x)是区间a,b上的连续函数，并且F，(x)=f(x),b一b那么：f(x)dx=F(x"=F(b)F(a)特别的bxn*xdx=1例1用效学归纳法证明：1+2+3+n=-n(n+1)(规氾书与步骤！)21证明：(1)少n=1时，左边=1,右边=_乂1x(1+1)=1,等式成立。21(2

7、)假设少n=k(k亡N*)时等式成立，即1+2+3+k=2k(k+1)那么，11'123.k(k1)=k(k1)(k1)=(k1)(k1)122即当n=k+1时等式也成立。根据(1)和(2),可知等式对任何房n*都成立1例2：求f(x)=3X-4x+4的单调区间、极值及在Iq,3】上的最大值和最小值1解：因为函数f(x)=gx4x+4,所以f(x)=x-4=(x-2J(x+2)令f'(x)=0,解得x=2,或x=-2(1) 当f'(x)>0时，即当xa2或x<-2时，函数为单调递增函数(2) 当f'(x)<0时，即当-2<x<2时，函数为单调递减函数当x变化时，f(x)f'(x)的变化情况如下表x(-叫,-2)-2(-2,2)2(2,+勺f'(x)+0|-0+f(x)单调递增283单调递减43单调递增28因此，当x=-2时，函数