金陵科技学院微积分B2知识点

1、微积分B2复习要点一题型1. 填空题（3 X7=21分）；2. 单项选择题（3 X6=18分）;3. 计算题（51分）;4. 解答题（10分）二知识点第七章向量代数与空间解析几何空间曲面的方程（平面、球面、柱面、旋转曲面）例 求球心为点Mo（x0,y0,z0），半径为R的球面方程例平面直角坐标系中 x2 z2 4的图形是圆 ，空间直角坐标系中 x2 z24的图形是 圆柱面。例XOZ面上x2 z2 4绕x轴旋转一周后的旋转体方程为第八章多元函数微分学1. 二元函数的定义域;例1求函数z=4- 4x2- y2的定义域D .解 要使z = . 4-4x2- y2有意义，应有4- 4x2- y2 ?

2、0,即故例2求z = In(x - y)的定义域D .解 要使z = In(x- y)有意义,应有x- y > 0,故 D = (x,y) x- y > 0.求函数 z = ,4- x2 - y2 +x2+y2- 1的定乂域D要使z =4- x2- y2 +1有意义,应有即 1< x2 + y2 ? 4,習-x2 - y2 ? 0扌x2 + y2 - 1> 0 I故 D = (x ,y) 1< x2 + y2 ? 42. 二元函数的极限的计算;定义 如果对于任意给定的正数，总存在一个正数，使得当0<(x Xo)2 (y yo)2时，f(x,y) A恒成立，则

3、称当(x,y)趋于(X0，y0)时，函数f (x, y)以A为极限。记作 lim f (x, y) A 或 lim f (x, y) A(x, y) (x0,y0)0例 求 lim (x2y2) sin_2(x,y) (0,0)'J，x2y21解当 x 0, y 0 时 x2 y20， sin 21x y由于无穷小量与有界量的乘积仍为无穷小量，所以J)叫0,0)(x23. 多元函数偏导数计算;(1) 一阶偏导数的计算;(2) 全微分的计算;概念：函数z f (x, y)的全微分为dz dx dy x y例 求函数z x2y2 3x 5y的全微分.解 因为 2xy2 3,二 2x2y 5

4、 ,xy所以2 2dz (2xy 3)dx (2x y 5)dy .(3) 多元复合函数的偏导数的计算;概念：设 zf(u,v),u (x,y),v(x, y)，若 u (x,y),v(x, y)在点(x, y)处偏导数存在，而z f (u,v)在对应点(u,v)处可微，则复合函数 z f ( (x, y), (x, y)在点(x, y)处可导，且zzuzvxuxvxzzuzvyuyvy例已知z 15 3u22v ,u x cos y, vy cosx，z z求一，一.x y解由链式法则有zz u z v6ucosy 2v(ysinx)6xcos2 y y2 sin2x .xu x v x用同

5、样的方法，可得3x2 s in2y2 y cos2 xy(4) 隐函数的偏导数的计算；例：设z z(x, y)是由方程x y z ez确定的隐函数，试求 ，.x y(5)抽象函数求导例 求复合函数z f (xy, 丫)的一阶偏导数-和上xx y解令uxy,vy则zf (xy,y)变为z f (u,v)，u xy,v -复合而成的复合xxx函数。zfufvff(壮 yxuxvxuv xzfufvfxf 1yuyvyuv x练习：设zf (2xy, ysinx)， f具有一阶连续偏导数，求 ,x y6.可微、偏导、连续的关系7.多元函数极值的计算。概念：设函数z f(x, y)在点Po(xo, y

6、o)的某邻域内有定义，若对于该邻域内异于P 的点 P x,y ,有 f(x, y) f(x°,y°)(或 f(x,y)f (x°, y。),则称 f (x°, y°)为函数f (x,y)的一个极大值(或极小值).例；求函数44z x yx222xy y的极值。zx 4x 2x2y0解：解Zy 4y3 2x2y0，得(x,y)(1,1), 0,00而 Zxx 12x22,zXy2, Zyy12y2 2对(x, y)(1,1)Zxx12x2210禺22, Zyy 12y2210知(x,y)(1,1)为极小值点,。且极小值为-2。第九章二重积分1.

7、二重积分的计算(直角坐标,极坐标)；例(1) x 6y d ，其中D由y x, y 2x, x 1所围成求 xyd ,D是由直线y x 3与曲线yD1所围成(3)计算I xydxdy，其中D由曲线xD画出积分区域D的图形.y2 及 x2 65y所围成.所以(4)2.积分区域D的不等式组表示为2ID : y w x w 6 5y，2 wyw 1,12dy6 5yy2xydx1 142 2y(6 5y y )dy1 3y25y3 y62 362742xy 2dD :x2(x2 y2)5d交换积分次序;e交换二重积分dx1D :1In xy2 4f (x, y)dy的积分次序。1e x解：由二次积分

8、的上、下限知积分 D的图形是y0与y In x在1,e之间的部分，贝U D: 1 x e, 0 y In x若先对y后对x积分，此时积分区域可表示为D: 0 y 1, ey x e因此，我们可以交换积分次序e In x1dx 0 f(x,y)dy =1 e0dy ey f (x, y)dx.t14例(1)2dy f (x,y)dx1 x22 x°dx 0 f(x,y)dy+ 1 dx。f(x,y)dy3.二重积分的性质与应用。1例设D由y 2,y x 0, y -所围成，求平面图形D的面积x第十章微分方程与差分方程1. 微分方程的相关概念；2. 一阶线性微分方程的通解和特解的计算；方

9、程(1)dxdy称为一阶线性微分方程(注意其特点为它对于未知函数y及其导数鱼dy次方程)当 x 0时，方程(1)为齐次的，当Q x不恒等于零时，方程(1)为非齐次的.dxdy称为方程(1)对应的齐次方程，它是可分离变量型p x dxp x dxy eQ x e dx C例求方程鱼竝 x 1 2的通解dx x 115分析(常数变易法)这是Px Q x x 12的一阶非齐次线性方x 1程它有两种解法：常数变易法与公式法解法一(常数变易法)先求对应齐次方程的通解.dy 2dx x 1dy_2yxdx,1Iny 2lnInc,用常数变易法，把c换成u ,即令y代入所给非齐次方程，有dydx2uC,于是

10、解法二（公式法）直接由yp x dxdxdxC给出，其中p x dxdx In x122. 二阶常系数齐次线性微分方程的通解和特解的计算。 二阶常系数齐次线性微分方程求通解，特解 概念：若 Q* P(X)史 Q(x)y 0dxdx中P（x）,Q（x）为常数，称之为二阶常系数齐次微分方程。解题步骤：（1）写出微分方程对应的特征方程r2 pr q 0，并求解出特征根 入血（2）根据特征方程的两个根的不同情形，按照下列表格写出微分方程的通解:特征方程r2 pr q 0的两个根2微分方程ypy+qy=O的通解两个不相等的实根AtyC1er1xC2er2x两个相等的实根AH一对共轭复根1,2iyC1 C

11、2x eqxy e x C1 cos x+C2sin x（3）将初始条件代入（2）中的通解中求解出通解中的Cl，C2（4）将Cl，C2代入到通解里去，得到题目要求的特解。例题：求微分方程y 2y 3y 0满足初始条件y卜。0，yl0 4的特解。2解：所给微分方程的特征方程为r 2r 3 0 其根r11,r2 3是两个不相等的实根，因此所求通解为y Ge* C2（ 1）从而 y'Cie x 3C2e3x（ 2）将初始条件y|xo 0，y'lxo 4代入（1）、（2）得：0 Ci C2，4 C1 3c2从而 C11,C2 1所以，原微分方程的特解为y ex e3x例题：求方程 学

12、2dS s 0满足初始条件：S 4.S 2的特解dt dt7 ot o解 对于求满足初始条件的特解的这类方程，应先求出原方程的通解，然后再 求特解：原方程对应的特征方程为：r22r 10.即(r 1)20A 21. A, D为重根.S(GC2t)e七ds再对（1）的两边关于t求导:-tge(C1C2t)( 1)et(C2C1C2t)e t (2)2代入得，c22s4代入(1)的c14把汛。t 0C14s (4 2t)e t为所求.例题：求微分方程：y 2y 5y 0通解.解所给方程的特征方程为：r2 2r 5 0",2 - '4-20 1 2i为一对2共轭复根. y ex (

13、c( cos2x c2 sin 2x).(这里1,2)3.可降阶的二阶微分方程的通解与特解的计算类型 1: y f (x, y )令y p,则y p，于是可将其化成一阶微分方程。特点含有y'',y',x，不含y。例 求微分方程(1+ x2)y'' = 2xy'满足初始条件yL=0= 1, y' _0 = 3的特解。x= 0解 所给方程是y''二f(x,y')型的。设y'二p，代入方程并分离变量后，有dP _ 2x _2 dx。p 1+ x两端积分，得2ln | p|= ln (1+ x )+ C，即p 二 y'二 G(1+ x2)( G 二？ eC)。又由条件y x=0 = 3，得C2 = 1，于是所求得特解为y = x3 + 3x + 1 o类型 2： y f (y, y )令y p,则 y亚亚直pdp，dx dy dx dy于是可将其化为一阶微分方程。特点不显含x。例 解微分方程y2y3满足初始条件yx2 1，y|x 2 1的特解。解令y p(y)，将yp並代入原方程中得dypdy2y34yC10，所以p2分离变量并积分得 由初始条件y(因y x210,所以取正号)，即乎y2dx分离变量并积分得x C2再由初始条件yx2 1，得 C2所以方程满足初始条件的特解为第十一章无穷级数1.