有关球的高考习题

1、欢迎阅读1.（2014 陕西高考理科T5）已知底面边长为1侧棱长为的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上，则该球的体积为（）A- B.4 兀 C.2 九 D. 33【解题指南】根据截面圆半径、球心距、球半径构成直角三角形，满足勾股定理，求出球的半径，代入球的体积公式求解.二/ I J【解析】选D.由正四棱柱的各顶点均在同一个球面上，可设正四棱柱的上底所在截面圆的半径为Ri,匚二，二二二 ：.）则咫+R；=1可得七七；又侧棱长为、2所以球心到截面圆的距离d¥由截面圆半径、球心距、球半 一 ILrJ径构成直角三角形，根据勾股定理得球半径r=Jr；-小=1-；=1,代入球的体积公式得球的体积为

2、4n'； J. . j） /'一 .3，二，.、._'-2 .（2016 全国卷n文科T4）体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为 （）I I,A.12 n B. 32n C.8 支 D.4 汽 3【解题指南】利用正方体的体对角线就是球的直径求解【解析】选A.因为正方体的体积为8,所以正方体的棱长为2,其体对角线长为2 V3,所以正 r /1 1 I/_ 一 一1-二 I3 .（2015 新课标全国卷II理科T9）已知A,B是球O的球面上两点，ZAOB=90 ,C为该球面上的动点，若三棱锥O-ABC体积的最大值为36,则球O的表面积为 （）A.36 兀

3、B.64 兀C.144ttD.256 7t【解题指南】当点C位于垂直于面AOB的直径端点时，三棱锥O-ABC的体积最大，利用Vo-ab.VC-aob列出关于半径R的方程，求出球的半径，然后求出球的表面积.【解析】选C如图所示，当点C位于垂直于面AOB的直径端点时，三棱锥O-ABC的体积最大，设球O的半径为R此时Vo-AB（=VAOE=x!R2XR=R3=36，故R=6则或。的表面积为S=4 #=144 兀.4 .（2016 全国卷田文科11 ）与（2016 全国卷3 理科T10）相同在封闭的直三棱柱 ABC-A iBiCi内有一个体积为V的球.若AB±BC,AB=6 ,BC=8 ,A

4、A1二3，则V的最大值是 （）A.4 n B. 991 C.6 n D.券【解题指南】注意当球和直三棱柱的三个侧面内切时，球已不在直三棱柱内.一1 i x LI【解析】选B.当球的半径最大时，球的体积最大.在直三棱柱内，当球和三个侧面都相切时，因为ABL I1 '6 8 _10 BC,AB=6,BC=8,所以AC=10,底面的内切圆的半径即为此时球的半径尸2=2,直径为4侧棱.所39以球的最大直径为3,半径为2,此时体积V= y.方体的外接球的半径为 后，所以球的表面积为4支（石）2=12支.5. （2010 辽宁高考文科 11）已知S, A, B, C是球O表面上的点，SA1平面AB

5、CAB!BC,SA=AB=1, BC=a/2，则球O的表面积等于（）l 1 Y 11 彳一.1 .I（A） 4n（B） 3n（C）2 n1 ,（D）二【命题立意】本题考查了空间两点间距离公式和球的表面积公式.【思路点拨】建立空间坐标系设球心坐标f 球的半径_球的表面积【规范解答】选A： SA，平面ABC AB AC平面ABC ' SA± AB , SA± AC ,故可以a为原点，ac所在的直线为y轴，AS所在的直线为z轴建立如图所示的空间直6-3 _角坐标系 A-xyz ,则 A(0,0,0) , B-,0) , C(0, 73，0) , S(o,o,1),设球心

6、O33坐标为（xo,yo,zo）,则点。到各顶点S, A, B, C的距离相等,都等于球的半径 R.2222XoyoZo = R,，6、2 ,(Xo - 3-)(yo -，,3、2, 一 22)(Zo -0) = R(Xo - 0)(yo - - 3), 一 2_2(Zo - 0) = R(Xo -0)2 (yo -0)2 (zo -1)2 =R2c31 -2解得 Xo =0, yo =-2", zo =2,R =1 ,2，球的表面积为4hR =4几父1 =4几.故选A.欢迎阅读【方法技巧】1.选用球心到各顶点的距离都相等来确定球心，才能求出半径,2 .也可用另外的方法找到球心，因为

7、/ ABCg直角，所以AC是过A, B, C三点的小圆的直径，所以球心在过 AC和平面ABC垂直的平面上，可知球心在平面 SAC中,又因为球心到点S, A, C的距离都相等，且ASAO直角三角形，所以球心就是斜边 SC的中点,球的半径为SC的一半,3 .另外，可将三棱锥S-ABC#成一个长方体进行求解.6. (2010海南宁夏高考理科110）设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长为 a ,顶点都在一个球面上,则该球的表面积为（(A)二a2(B) 3 二a2(C)“二 a23(D) 5 二 a2本小题主要考查了几何体的外接球问题.找出球与棱柱的相应关系，找出球的半径与三棱柱棱长之间的关系【规范解答

8、】选B.设球心为O,设正三棱柱上底面为 MBC ,中心为O',因为三棱柱所有棱的长为a,则可知OO'OA=Y3a,又由球的相关性质可知，球的半径23R = JOO*2 +OA2 =a,所以球的表面积为4nR2=7na2,故选B . 637. （2011 辽宁高考文科 10）已知球的直径SC=4 A, B是该球球面上的两点，AB=2 /ASCWBSC=45 ,贝U棱锥S-ABC的体积为（）（A）/（B） 乎 （C） 华 （D） 萼 :【思路点拨】找到直径SC的垂截面是解决本题的关键.二-二二一一* r £ 【精讲精析】选C,设球心为O,则AO,BO是两个全等的等腰直角三

9、角形斜边上的高，斜边SC =4,故 AO = BO = 2 ,且有 AO _L SC , BO _L SC .11:- ,VSABC =VSUOBVC/OB =1S&OB(SO OC )-二黑334A, B是该球球面上的两点，AB =J3 ,8. （2011 辽宁高考理科 12）已知球的直径SC=4,/ASC =/BSC =30°,则棱锥S-ABC的体积为（）（A） 3而（B） 2<3（C） <3（D） 1【思路点拨】找到直径SC的垂截面是解决本题的关键.I二、| I【精讲精析】选C.由题意可知&SAC和&SBC是两个全等的直角三角形，过直角顶点

10、A, B分别作 斜边上白高线AH ,BH ,由于ASC =/BSC =30，求得AH = BH =。3 ,所以等边4ABH的面积为S&bh ='画之=晅 所求棱锥S-ABC的体积等于以AABH为底的两个小三棱锥的体积 44I的和，其高的和即为球的直径SC的长，故Vs/bc =1乂 3父4= J3 .349. （2011 新课标全国高考理科 T15）已知矩形ABCD的顶点都在半径为 4的球O的球面上，且AB =6,BC =2而，则棱锥O -ABCD的体积为【思路点拨】画出图形，找出球心位置，然后数形结合求出棱锥 O-ABCD勺O',OO体积.【精讲精析】如图所示，OO&#

11、39;垂直于矩形ABCDT在的平面，垂足为 连接O'B, OB ,则在RgOO'B中，由。氏4, O'B = 2V3,可得=2, . V0 aBeD =1S OO = 1 6 2 3 2 =8. 3.【答案】8、310. (2011 新课标全国高考文科 T16)已知两个圆锥有公共底面，且两个圆锥的顶点和底面的3圆周都在同一个球面上，若圆锥底面面积是这个球面面积的士，则这两个圆锥中，体积较小者16的高与体积较大者的高的比值为【思路点拨】画出图形，利用数形结合，然后利用球及圆的性质求解【精讲精析】如图设球的半径为R,圆锥的底面 圆半径为r,则依题意得ABC0 3r二 r =

12、 一 4 二 R ,即=cos - O CO =16R一 1.1AO = R - R,BO =R R,.1，/O CO =30；= OO' = -R , 211. (2012 新课标全国高考理科T11)已知三棱锥S- 的所有顶点都在球O的球面上，4ABC是边长为1的正三角形，SC为球O的直径,且SC=2则此棱锥的体积为()2S22A. 一一一一6(B)6(C)3(D)2【解题指南】思路一：取AB的中点为D,将棱锥分割为两部分，利用-1-V 二一S abc ： 2dV WBas +以药求体积；思路二：设点0到面ABC的距离为d,利用 3件 求 体积;思路三：利用排除法求解.【解析】选A.

13、方法一：；SC是球O的直径，CAS1cBs =90° BAnBCnACM, sc = 2,，AS=BS =点，取 AB 的中点为 D,显然 ABCD, ab± CSSD ,AB，平面 CDS.CD= DS=1cos/CDS = -在ACDS中，2 ,2 , SC = 2,利用余弦定理可得疝4,2 sin CDS = 故依3 ,S.CDS1.3 .1? 4 22=X X X =7 =2 22底21 -2 1.-2 1_ 1_1_- V - VB -CDS VA-CDSS.CDS BD + - SCDS AD - S. CDS BA =333322' 6rd 二 R -

14、r 二方法二：AABC的外接圆的半径3 ,点。到平面ABC的距离3 上 lea”。匚* 2d = 2'6SC为球。的直径二点S到平面ABC的距离为3 , 此棱锥的体积为v=3Sabc 2d=3 二看V :：1 S ABC 2R -方法三： 36,排除BCD12. （2013 新课标I高考理科 T6）如图,有一个水平放置的透明无盖的正方体容器容器高8cm,将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm,如果不计容器的厚度，则球的体积为（）A 500 二3866 二 3八 1372 二 32048 二 3A. - cmB. - cmC. - cm D.-cm【解题

15、指南】结合截面图形，构造直角三角形，利用勾股定理列出关于球半径的方程， 求出球半径，再利用V =4g3求出球的体积.3【解析】选A.设球的半径为R,由勾股定理可知，R2=（R .2）2+42，解得R = 5 ,所以 球的体积V=4二R3=4二 53 = 500二（cm2）33313. （2012 新课标全国高考文科舟）平面0c截球。的球面所得圆的半径为1,球心 I J/ £） ） ,J1O到平面0c的距离为正，则此球的体积为（）（A） 、/6 兀（B） 4M3兀（C） 4、/6 兀（D） 6v3 兀【解题指南】利用球心到截面的距离、截面圆的半径、球的半径之间满足勾股定理求得球的半径，

16、然后利用公式求得球的体积./F LV 球=4nR3 = 4V3 冗【解析】选B.设球O的半径为R则R="+（物2 =73,故 3.I I14. （2012 辽宁高考文科 16）已知点P, A B, C, D是球O表面上的点，PAL平 面ABCD四边形ABC星边长为26的正方形.若PA=2，则4AB勺面积为【解题指南】注意到已知条件中的垂直关系，将点 P,A,B,C,D看作长方体的顶点来 考虑.【解析】由题意，PL平面ABCD则点P,A,B,C,D,可以视为球。的内接长方体的 顶点，球O位于该长方体的对角线的交点处，那么 OAB勺面积为长方体对角面的四 分之一.11 ABB=22,3,

17、PA=23.PBB一与OAABDWH =- 22 .33 66=3 .第【答案】3 315. （2013辽宁高考文科 F0）与（2013 辽宁高考理科 F0）相同已知三棱柱ABC A1B1C1的6个顶点者B在球。的球面上，若 AB=3,AC=4,AB_LAC,AA=12,则球O IG| I的半径为（）【解题指南】对于某些简单组合体的相接问题，通过作出截面，使得有关的元素间一一 i / / 广 I）；1的数量关系相对集中在某个平面图形中。【解析】选C.由题意，结合图形，经过球心O和三棱柱的侧棱中点的大圆，与三棱柱的侧棱垂直，三棱柱的底面三角形 ABC为直角三角形，其外接圆的圆心O'为其斜

18、边BC的中点，连接oa,oo；oA，由勾股定理，OA2=OO2+OA2其中 OA =R,OO' = 1AAi =6,O A=；BC =£,所以球 O 的半径为 OA = R = ，62 +（$2 =£.16. （2013 新课标I高考文科 T15）已知H是球O的直径AB上一点，AH:HB=1:2,AB，平面口，H为垂足，口截球O所得截面的面积为兀，则球O的表面积为.【解析】因为“截球O所得截面的面积为兀，所以截面”的半径为1.设球的半径为R, 则AH =型,BH =处,由勾股定理得12+（与2=2,解得2 = 9.所以球O的表面积为 3338_ 294二R =一 ：

19、. 2【答案】9二.217. （2013 大纲版全国卷高考文科 T16）与（2013 大纲版全国卷高考理科 T16）相同已知圆。和圆K是球。的大圆和小圆，其公共弦长等于球 。的半径，OK =3,且圆O与圆K所在的平面所成角为60,则球O的表面积等于2【解题指南】解决本题要明确球大圆是指球的切面过圆心的圆.根据题意画出图形，确定圆。与圆K所在平面的二面角，构造直角三角形求出半径长.【解析】如图，i_-4一r j I设公共弦MN =R,E为MN的中点，则OE -L MN , KE -L MN/OEK为圆。与圆K所在平面的二面角.一i / : ） ） 所以/OEK =60 ；又AOMN为等边三角形，所以 OE = -3 R .又因为 OK = 3 , OK -L EK 22所以 OE sin600 =3,即正 =3. 22