概率论与数理统计公式

1、第1章随机事件及其概率(1)排列组合公式Pmn从m个人中挑出n个人进行排列的可能数。(m n)!cm=m 从m个人中挑出n个人进行组合的可能数。n!(m -n)!(2)加法和乘法原理加法原理(两种方法均能完成此事)：m+n某件事由两种方法来完成，第一种方法可由m种方法完成，第一种方7i可由 n种方法来元成， 则这件事可由 m+n种方法来元 成。乘法原理(两个步骤分别不能完成这件事)：mx n某件事由两个步骤来完成，第一个步骤可由m种方法完成，第一个步3M可由n种方法来元成，则这件事可由 mx n种方法来 完成。(3)一些常见排列重复排列和非重复排列(有序)对立事件(至少有一个)顺序问题(4)随

2、机试验和随机事件如果一个试验在相同条件卜可以重复进行，而每次试验的可能 结果不止 个，但在进行一次试验之前却不能断言它出现哪个 结果，则称这种试验为随机试验。试验的可能结果称为随机事件。(5)基本事件、样本空间和在 个试验下，不管事件有多少个，总可以从其中找出这4组事件，它具有如下性质：每进行一次试验，必须发生且只能发生这 组中的 个事件；事件（6）事件的关系与运算任何事件，都是由这一组中的部分事件组成的。这样一组事件中的每一个事件称为基本事件，用6来表示。基本事件的全体，称为试验的样本空间，用 C表示。一个事件就是由G中的部分点（基本事件 与）组成的集合。通常用大写字母A, B, C,表示事

3、件，它们是C的子集。G为必然事件，为不可能事件。不可能事件（）的概率为零，而概率为零的事件不一定是不可能事件；同理，必然事件（Q）的概率为1,而概率为1的事 件也不一定是必然事件。关系：如果事件A的组成部分也是事件 B的组成部分，（A发生必有事件B发生）：A二B如果同时有AuB, BnA,则称事件A与事件B等价，或称A等于B: A=BA、B中至少有一个发生的事件：AUB,或者A+Bo属于A而不属于B的部分所构成的事件，称为 A与B的差，记为A-B,也可表示为 A-AB或者AB,它表示A发生而B不发生的事件。A、B同时发生：Aq B,或者AR Aq B=,则表示A与B不可能同时发生，称事件 A与

4、事件B互不相容或者互斥。基本事件是互不相容的。C-A称为事件A的逆事件，或称 A的对立事件，记为 A。它表示A不发生的事件。互斥未必对立。运算：结合率：A(BC)=(AB)C A U(B U C)=(A U B) U C分配率：(AB) U C=(AU C) A (B U C) (A U B) n C=(AC) U (BC)QOgo _A Ai = U Ai德摩根率： y坦AU-B=AnB, ATB=7UB(7)概率的公理化定义设C为样本空间，A为事件，对每一个事件 A都有一个实 数P(A),若满足卜列三个条件：1 ° 0 < P(A) < 1,2° P( Q)

5、 =13 对于两两互不相容的事件 A1, A2 ,有常称为可列(完全)可加性。则称P(A)为事件A的概率。(8)古典概型1C = 6 1 , E 2 E n ),c。12P(01)=P®2)=P侬 n)=。n设事件A,它是由露,626m组成的，则有P(A)=51)U®)UU(0m)= P3) +P(O2)+P(C0m)(9)几何概型若随机试验的结果为无限不可数并且每个结果出现的可能性均 匀，同时样本空间中的每一个基本事件可以使用一个有界区域 来描述，则称此随机试验为几何概型。对任一事件A,P(A)=L)。其中L为几何度量(长度、面积、体积)。L。)(10)力口法公式P(A+

6、B)=P(A)+P(B)-P(AB)当 P(AB)=0 时，P(A+B)=P(A)+P(B)(11)减法公式P(A-B)=P(A)-P(AB)当 BuA时，P(A-B)=P(A)-P(B)当 A=Q 时，P( B)=1- P(B)(12)条件概率定义 设A、B是两个事件，且P(A)>0,则称P(AB)为事件A发P(A)生条件下，事件B发生的条件概率，记为P(B/A)= P(AB)。P(A)条件概率是概率的一种，所有概率的性质都适合于条件概率。例如 P(Q/B)=1 = P(b/A)=1-P(B/A)(13)乘法公式乘法公式：P(AB) = P(A)P(B/A)更一般地，对事件 A, A,

7、人，若P(A1At-A-1)>0 ,则有P(A1A2 An) =P(A1)P(A2| A1)P(A3| A1A2) P(An| A1A2 An -1) 0(14)独立性两个事件的独立性设事件a、B满足P(AB) = P(A)P(B),则称事件a、B是相 互独立的。若事件a、B相互独立，且P(A)a0,则有若事件A、B相互独立，则可得到不与B、A与B、A与B也 都相互独立。必然事件Q和不可.能事件与任何事件都相互独立。与任何事件都互斥。多个事件的独立性设ABC是二个事件，如果满足两两独立的条件，P(AB)=P(A)P(B) ; P(BC)=P(B)P(C) ; P(CA)=P(C)P(A)

8、并且同时满足 P(ABC)=P(A)P(B)P(C)那么A B、C相互独立。对于n个事件类似。(15)全概率公式设事件B1,B2,，Bn满足1。B1,B2,，Bn;相容，P(Bi)>0(i=1,2,，n),nA-U Bi2°，则有P(A) = P(B1)P(A| B1) +P(B2)P(A| B2) + +P(Bn)P(A| Bn) o(16)贝叶斯公式设事件B1，B2,，Bn及A满足1°B1 , B2 ,，Bn 两两互/、相容,P(Bi)>0, i =1 , 2,，n,nAuU Bi2°p , P(A)>0,则P(BJA)二心型"i=

9、1 , 2,n。E P(Bj)P(A/Bj) j 4此公式即为贝叶斯公式。P(Bi) , ( i =1 , 2 ,，n),通常叫先验概率。P(Bi /A) , ( i =1 , 2,，n),通常称为后验概率。贝叶斯公式反映了 “因果” 的概率规律，并作出了 “由果朔因”的推断。(17)伯努利概型我们作了 n次试验，且满足每次试验只后两种可能结果，A发生或A不发生；n次试验是重复进行的，即 A发生的概率每次均一样； 每次试验是独立的，即每次试验 A发生与否与其他次试 验A发生与否是互不影响的。这种试验称为伯努利概型，或称为n重伯努利试验。用p表示每次试验a发生的概率，则 五发生的概率为1-p =

10、 q,用Pn(k)表示n重伯努利试验中A出现k(0Mk <n)次的概率，Pn(k) =C：Pkqn"，k =0,1,2,n。第二章随机变量及其分布（1）离设离散型随机变量 X的可能取值为K(k=1,2,)且取各个 值的概率，即事件(X=Xk)的概率为散型随P(X=Xk)=p- k=1,2，则称上式为离散型随机变量 X的概率分布或分布律。有时也机变量用分布列的形式给出：XX1,X2，Xk,11111的分布P(X = xk) P1, P2,Pk,。显然分布律应满足卜列条件：律00工 pk = 1（1）pk 之0 , k =12，（2）揖0(2)连设F(x)是随机变量X的分布函数，若

11、存在非负函数f(x),对任意实数x ,有续型随xF(x) = f f (x)dx机变量则称X为连续型随机变量。f(x)称为X的概率密度函数或密度 函数，简称概率密度。的分布密度国数具有卜面 4个性质：1。f (x) >00密度2。：f(x)dx = 1(3)离积分元f (x)dx在连续型随机变量理论中所起的作用与散与连P(X -xk)- pk在离散型随机变量理论中所起的作用相类似。续型随机变量的关系(4)分设X为随机变量，x是任意实数，则函数布函数称为随机变量X的分布函数，本质上是一个累积函数。P(a <X Wb) =F(b) F(a) 可以得到 X落入区间(a,b的概率。分布函数

12、F(x)表示随机变量落入区间(-3，x内的概率。分布函数具有如下性质：A °-一,、,10 < F (x) < 1, -oo < x < +a ；2° F(x)是单调不减的函数，即xi<x2时，有F(xi)EF(x2);3° F(-o) = lim F(x)=0, F(+)= lim F(x) = 1 ； x - ：x_)二二4° F(x+0) = F(x),即 F(x)是右连续的；5° P(X =x) =F(x) -F(x-0)o对于离散型随机变量，F(x) = £ pk ； xk ax对于连续型随机变

13、量，F(x)=1f(x)dx 。(5)八0-1分布P(X=1)=p, P(X=0)=q大分布二项分布在n重贝努里试验中，设事件A发生的概率为p o事 件A发生的次数是随机变量，设为 X ,则X可能取 值为0,1,2,，n。P(X =k) =Pn(k)=Ckpkqn”,其 中q =1 - p,0 < p <1, k =0,1,2,，n ,则称随机变量X服从参数为n, p的二项分布。记为 X B(n, p) o当 n =1 时，P(X =k) = pkq1” , k = 0.1 ,这就是(0-1 ) 分布，所以(0-1)分布是二项分布的特例。泊松分布设随机变量X的分布律为kP(X=k)

14、='e" 人 >0, k = 0,1,2， k!则称随机变量 X服从参数为 九的泊松分布，记为X兀®或者P(X) 0泊松分布为二项分布的极限分布(np=入，n”X)。超几何分布随机变量X服从参数为n,N,M的超几何分布，记为H(n,N,M)。几何分布P(X =k) =qkp,k =1,2,3，其中 p>0, q=1-p。随机变量X服从参数为p的几何分布，记为 G(p)。均匀分布设随机变量X的值只落在a ,b内，其密度函数f(x) 在a, b上为常数-,即b - aa<x< b 其他,1f (x) = (b _ a0,则称随机变量XU(a, b

15、) o 分布函数为X在a , b上服从均匀分布，记为F(x)=.f(x)dx0 0, x -ab ax<a当a<xi<x2<b时，X1落在区间x>bxi，x2)呐的概率为指数分布xP(x1 :二 X 二 x2)= 2 x1 of (x),典中人> 0,则称随机变量X服从参数为九 的指数分布。X的分布函教为0F(x)=1-e x-0记住积分公式：,0,x<0正态分布(6)分下分位表:设随机变量X的密度函数为1 _(X-J2f (x) =一 _2.<x<+8,2 二：其中N、仃>0为常数，则称随机变量 X服从参 数为h、仃的正态分布或高斯

16、(Gauss)分布，记为 XN”o2)cf(x)具有如下性质：1。f(x)的图形是关于x = N对称的；20当x"时，f(R)=_为最大值;2、.、.2 二二若X N中户),电的分布函数为F(x) e 202 dt参数卜=0、。=1时的正态分布称为标准正态分布,记为X N(0，1)x2其密度函数记为(x)= 1 el<2式 ,一 如 < x < +a ,分布函数为1 x -6(x) = - je 2 dt 02 二(x)是不可求积函数，其函数值，已编制成表可供 查用。1(-x) = 1-(x)且 (0)=-。X -2如果 X N (1,2),则N (0,1) oP(

17、x1 <X <x2):卜2 一，_6但寸)。-一P(X <Pa)=a ;(7)函离散型已知X的分布列为Xx1, x2,，xn，数分布P(X =xi) Y=g(X)Yp1, p2,，pn，的分布列(yi - g(xi)互不相等)如下： g(x1), g(x2)，g(xn),P(Y = yJ若有臬些g(xi)相等；则应将p寸应的Pi相加作为g(xi)的概率。位数上分位表：P(X > a)= a o连续型先利用X的概率密度fx(x)写出Y的分布函数FY(y)= P(g(X) <y),再利用变上下限积分的求导公式求出 f Y(y) o第三章二维随机变量及其分布(1)联合

18、离散型如果二维随机向量 ;(X, Y的所有可能取值分布为至多可列个有序对(x,y ),则称为离散型随机量。设亡=(X, Y)的所有可能取值为(为)0, j =1,2)，且事件。=3上)的概率为Pj,称 为亡=(X, Y)的分布律或称为 X和Y的联合分布律。联合分布有时也用下面的概率分布表来表示：y1y2yjX1P11P12P1jX2P21P22P2jXipn这里Pj具有下面两个性质:(1) pj >0 (i,j=1,2,)； '、p Pj =1.连续型对于一维随机向量tt=(X,Y),如果存在非负函数f (x, y)(-。0 < x <+叫一1 < y <

19、+妙)，使对任意1个其邻边分别平行于坐标轴的矩形区域D,即D=(X,Y)|a<x<b,c<y<d 有则称七为连续型随机向量；并称f(x,y)为t= (X,Y)的分布密度或称为X和Y的联合分布密度。分布密度f(x,y)具有卜面两个性质：(1) f(x,y) >0; CO(x，y)dxdy = 1.(2)二维随机变量 的本质(3)联合 设(X, Y)为二维随机变量，对于任意实数x,y,二元函数 分布函数 称为二维随机向量(X, Y)的分布函数，或称为随机变量 X和Y的联合分布函数。分布函数是一个以全平面为其定义域，以事件(必，(0 2 ) |< x(01) &l

20、t;x,-°o <Y(o 2) < y的概率为函数值的一个实值函数。分布函数 F(x,y)具有以下的基本性质：(1) 0<F(x,y)<1;(2) F (x,y)分别对x和y是非减的,即当 x2>xi 时,有 F (x2,y ) > F(xi,y);当 y2>yi 时,有 F(x,y 2) >F(x,y 1);(3) F (x,y)分别对x和y是右连续的，即(4) F (-«, -«) = F(g, y) = F(x,_s) =0,F(+吗+的)=1.(5)对于 x1 <x2, y1 <y2,F(x2,

21、y2) -F(x2, y1) - F(xn Y2) F(x1, y1) -0.(4)离散 型与连续型的关系(5)边缘离散型X的边缘分布为分布Pi.= P(X =%)=£ Pj(i,j =1,2,)；Y的边缘分布为P.=P(Y=yj)=£ Pj(i, j =1,2,)。连续型X的边缘分布密度为Y的边缘分布密度为(6)条件分布离散型在已知X=x的条件下，Y取值的条件分布为在已知Y=y的条件下，X取值的条件分布为连续型在已知Y=y的条件下，X的条件分布密度为f (x| y) = f (x, y);fY(y)在已知X=x的条件下，Y的条件分布密度为(7)独立性一型F(X,Y尸F x

22、(x)F Y(y)离散型有零小独立连续型f(x,y)=f X(x)f Y(y)直接判断，充要条件：可分离变量正概率密度区间为矩形二维正态分布P = 0随机变量的函数若Xi,X2，Xm,Xm+1,Xn相互独立，h,g为连续函数，贝上h (X, X2,Xm)和 g (Xm+1,Xn)特例：若X与Y独立，则：h (X)和g (Y)独立。例如：若X与Y独立，则：3X+1和5Y-2独立。二维止态分布设随机向量（X, Y）的分布密度函数为其中We >0,| P|c1是5个参数，则称（X, Y服从二维止态分布，记为（X, Y） -N（ %匕仃：产；，P）.由边缘密度的计算公式，可以推出一维正态分布的两

23、个边缘分布仍为止态分布，即 XNI （丹，o；）,Y N（匕仃2）.但是若XN （ Ni,Oi2）,Y N（匕,。；），（X, Y）未必是一维止态分布。（10）函数分布Z=X+Y根据定义计算：Fz(z) = P(Z <z)=P(X +Y<z)-bo对于连续型,f z(z) = J f (x, z x)dx两个独立的正态分布的和仍为正态分布（收 +卜2,。12 +仃；）。n个相互独立的止态分布的线性组合，仍服从止态分布。N=£ CFi ,仃2 =£ Ci2。：Z=max,min(Xi,X2,Xn)若Xi,X2Xn相互独立，其分布函数分别为Fxi（x）, Fx2（x

24、）Fxn（x）,则 Z=max,min（Xi,X2,Xn）的分布函数为：72分布设n个随机变量Xi,X2，Xn相互独立，且服从标准止态分布，可以证明它们的平方和的分布密度为我们称随机变量 W®从自由度为n的72分布，记为W 72(n),其中所谓自由度是指独立止态随机变量的个数，它是随机变量分布中的一个重要参数。72分布满足可加性：设则t分布设X, Y是两个相互独立的随机变量，且可以证明函数的概率密度为我们称随机变量T服从自由度为n的t分布，记为Tt(n) 0F分布设X N2(ni),Y X(n2),且X与Y独立，可以证明F= 32巫的概率密度函数为Y/n2我们称随机变量F服从第一个自

25、由度为ni,第二个 自由度为n2的F分布，记为Ff(n i, n 2).第四章随机变量的数字特征(1)离散型连续型一维期望设X是离散型随机变量，设X是连续型随机变量，其随机期望就是平均值其分布律为 P( X = Xk)=概率密度为f(x),变量pj k=1,2，,n ,(要求绝对收敛)的数(要求绝对收敛)字特函数的期望Y=g(X)Y=g(X)征力主_2D(X尸EX-E(X),标准差<T(x)=Jd(x),矩对于正整数k,称随机对于正整数k,称随机变变量X的k次募的数学期量X的k次募的数学期望为望为X的k阶原点矩，记X的k阶原点矩，记为Vk,为Vk,即即v k=E(Xk尸工 Xikpi ,

26、_k注 I,V k=E(X)= Jxkf(x)dx,k=1,2,.k=1,2,对于正整数k,称随机对于正整数k,称随机变变量X与E (X)差的k量X与E (X)差的k次募次募的数学期望为X的k的数学期望为X的k阶中心阶中心矩，记为九，即矩，记为九，即=£ (Xi -E(X)kpi ,= 1：(x-E(X)kf(x)dx,k=1,2,.k=1,2,.切比雪夫不等式设随机变量X具有数学期望E (X)二医，方差D (X)=a2,则对于任意正数£ ,后卜列切比雪夫不等式切比雪夫不等式给出了在未知 X的分布的情见下，对概率的一种估计，它在理论上有重要意义。(2)期望的性质(1) E(

27、C尸C(2) E(CX尸CE(X)nn(3) E(X+Y尸E(X)+E(Y) , E(£ GXi) = £ CiE(XJi=iy(4) E(XY)=E(X) E(Y)，充分条件：X和 Y独立；充要条件：X和Y不相关。(3)方差的性质(1) D(C)=0; E(C)=C(2) D(aX)=a2D(X); E(aX)=aE(X)(3) D(aX+b尸 a 2D(X); E(aX+b尸aE(X)+b(4) D(X)=E(X2)-E 2(X)(5) D(X±Y尸D(X)+D(Y),充分条件：X和Y独立；充要条件：X和Y不相关。D(X±Y尸D(X)+D(Y) &#

28、177;2E(X-E(X)(Y-E(Y),无条件成立。而E(X+Y尸E(X)+E(Y),无条件成立。(4)常见分布期望力主0-1 分布 B(1,p)P二项分布B(n,p)np的期望和.、，.、八 力主泊松分布P(Z)几何分布G(p)超几何分布H (n, M , N)均匀分布U(a,b)指数分布e(*J止态分布N(N,。2)n2nt分布0(n>2)n -2(5)二维 随机 变量 的数 字特征期望函数的期望EG(X,Y) =EG(X,Y)=力主协力差对于随机变量X与Y,称它们的二阶混合中心矩 41为X与Y的协万差或相关矩，记为或cov(X,Y),即与记号仃xy相对应，X与Y的方差D (X)与

29、D (Y)也 可分别记为oXX与仃YY。相关系数对于随机变量X与Y,如果D (X) >0, D(Y)>0 ,则称 为X与Y的相关系数，记作Pxy (有时可简记为P)。| P| 0 1,当| P|=1时，称X与Y完全相关：P(X =aY +b) =1占人相¥ ；正相关，当P=1时(a>0), 兀金牙目天J、负相关，当P = 1时(a<0),而当P=0时，称X与Y不相关。以卜五个命题是等价的： PXY=O； cov(X,Y)=0; E(XY尸E(X)E(Y); D(X+Y尸D(X)+D(Y); D(X-Y尸D(X)+D(Y).协方差矩阵混合矩对于随机变量X与Y,如

30、果有E(XkYl)存在，则称之为X与Y的k+l阶混合原点矩，记为Vki ； k+l阶混合中 心矩记为：(6)协方差的 性质(i) cov (X, Y)=cov (Y, X);(ii) cov(aX,bY尸ab cov(X,Y);(iii) cov(Xi+X, Y)=cov(X i,Y)+cov(X 2,Y);(iv) cov(X,Y尸E(XY)-E(X)E(Y).(i)若随机变量X与Y相互独立，则PXY=0;反之不真。独立(ii )若(X, Y)N ( % 仃；,。；，P),和不则X与Y相互独立的充要条件是 X和Y不相关相关第五章大数定律和中心极限定理(1)大数定律切比雪夫大数定律设随机变量X

31、i, X,相互独立，均具有有限方差，且被同一常数C所界：D (X) <C(i=1,2,)，则对于任意的正数£ ,有特殊情形：若Xi, X2,具有相同的数学期望 E(X )=甚，则上式成为伯努利大数定律设医是n次独立试验中事件 A发生的次数，p 是事件A在每次试验中发生的概率，则对于任意的 正数e ,有伯努利大数定律说明，当试验次数 n很大时，事件A发生的频率与概率有较大判别的可能性很小，即这就以严格的数学形式描述了频率的稳定性。辛钦大数定律设Xi, X,，Xn,是相互独立同分布的随机变量序列，且E (X)=医，则对于任意的正数£有(2)中心极限定理列维林德伯格定理设随

32、机变里 X, X2,相互独立，服从同一分 布，且具有相同的数学期望和方差： E(Xk) = R,D(Xk)=o200(k=12)，则随机变量 的分布函数Fn(x)对任意的实数X,有 此定理也称为 独立同分布 的中心极限定理。棣莫弗拉普拉斯定理设随机变量xn为具有参数n, p(0<p<1)的二项分布，则对于任意实数X,有(3)二项定理若当Nt笛时,MT p(n,k不变)，则 N超几何分布的极限分布为二项分布。(4)泊松定理石nnT 如时，npT九>0,则其中k=0, 1, 2,，n,。二项分布的极限分布为泊松分布。第六章样本及抽样分布(1)数理总体在数理统计中，常把被考察对象的

33、某一个(或多个)统计的基指标的全体称为总体(或母体)。我们总是把总体本概念看成一个具有分布的随机变量(或随机向量)。个体总体中的每一个单元称为样品(或个体)。样本我们把从总体中抽取的部分样品 Xi, X2，Xn称为样本。样本中所含的样品数称为样本容量，一般用n表示。在一般情总是把样本看成是 n个相互独立的且与总体有相同分布的随机变量，这样的样本称为简单随机样本。在泛指任一次抽取的结果时，Xi,X2，Xn表示n个随机变量（样本）；在具体的一次抽取之后，X1,X2，Xn表示n个具体的数值（样本值）。我们称之为样本的两重性。样本函数和统,设Xi, X2，Xn为息体的一个样本,称中=*（ Xi,X2，

34、Xn）为样本函数，其中中为一个连续函数。如果 中中不包含任何未知参数，则称 邛（Xi,X2，Xn）为一个 统,。常见统计量及其性质 _1 n样本均值X工Xi.n i j样本方差21n- 2S2 = 一7£ (Xi -x)2. n - 1 i=1样本标准差S=J.z (xi -x)2.卜 n -1 a样本k阶原点矩样本k阶中心矩2E(X) = N, D(X) = , nE(S2) =。2, E(S*2)=n1。2, nn n其中S*2 =1£ (Xi - X)2 ,为二阶中心矩。n y(2)止正总体下的四大分布止态分布设X1,X2，Xn为来自止态总体 N(N,。2)的一个样本

35、，则样本函数t分布设X1,X2，Xn为来自止态总体N (地仃2)的一个样本，则样本函数其中t(n-1)表示自由度为n-1的t分布。设X1,X2，Xn为来自止态总体N (艮尸2)的一个样本，则样本函数其中*(n-1)表示自由度为n-1的X分布。F分布设Xi, X2，Xn为来自正态息体N ( 201 )的一个样本，而yi,y2,，yn为来自止态总体N(2,4)的一个样本，则样本函数其中F(ni -1,n2 -1)表示第一自由度为 ni-1,第二自由度为n2 1的F分布。(3)止正总体下分布的性质X与S2独立。第七章参数估计(1)点估计矩估计设总体X的分布中包含有未知数 力为，8m,则其分布函 数可

36、以表成F(X；01，02，"L，9m).它的k阶原点矩 丫卜=£b"卜=1,2:巾)中也包含了未知参数 &包,Em, 即Vk 7式81包，Wm)。又设X1,X2，Xn为总体X的n个样 本值，其样本的k阶原点矩为这样，我们按照“当参数等于其估腐时，总体矩等于相 应的样本矩”的原则建立方程，即有由上面的m个方程中，解出的m个未知参数 包,方m)即 为参数(包，*)的矩估视。A . _.若日为日的矩估计，g(X)为连续函数，则g(叫为g(e)的矩 估计。极大当总体X为连续型随机变量时，设其分布密度为似估计然f（X；仇，仇,，8m）,其中日1,仇,，8m为未知参数

37、。又设Xi,X2，Xn为总体的一个样本，称为样本的似然函数，简记为Ln.当总体 X为离型随机变量时，设其分布律为PX=p（x;00,，%）,则称为样本的似然函数。若似然函数L（Xi，X2，Xn；gf 2,储）在*S2,Cm处 取到最大值，则称 鼠*Cm分别为包,日2，'6m的最大似 然估计值，相应的统t出称为最大似然估出。若4为日的极大似然估计，g（X）为单调函数，则g （的为 g（e）的极大似然估计。估计量的无性偏设日=8（Xi，X2，Xn）为未知参数日的估计量。若 E-日，则称日为e的无偏估计量。E （ X） =E （X） , E （S2） =D （X）($)评选标准有性效设 S

38、1 =6 1（Xi , X,2 , , Xn ）和 82 =02（Xi , X,2 , , Xn ） JE未知参数8的两个无偏估计量。右D（，） D（e2）,则称叫比82有效。一 致性设备是日的一串估出，如果对于任意的正数8,都有则称Sn为日的一致估腐(或相合估腐)。若日为日的无偏估计，且D (的T 0(nT g),则日为日的一B 估计。只要总体的E(X)和D(X)存在，一切样本矩和样本矩的连续函数都是相应总体的一致估腐。(3)区间估计置信区间和置信度设总体X含有一个待估的未知参数 9 o如果我们从样本Xi, x,2，Xn出发，找出两个统“里 日1 =e1(Xi , X，2，Xn )与 % =