求函数值域典型例题

1、求函数值域典型例题一、函数点调性法对于一些比较简单的函数，通过对函数定义域、性质的观察，结合函数的解析式，求得函数的值域。利 用函数在给定的区间上的单调递增或单调递减求值域。1例1.求函数 y=的值域。解：: x=0 .显然函数的值域是：（-«,0）J（0,F）x例2.求函数y =3的值域。解：: Jx之0,<3,3-xx <3 故函数的彳t域是：3,3练习1：求函数y=3+ J2 3x的值域。 点拨：根据算术平方根的性质，先求出J2 3x的值域。解：由算术平方根的性质，知J2-3x昨Q故3+，2-3x 八 函数的值域为3，+丐点评：算术平方根具有双重非负性，即： （1）

2、被开方数的非负性，（2）值的非负性。练习2:求函数y=x（0 Wx韵5）域。（答案：值域为：0, 1, 2, 3, 4, 5）x1练习 3: y=3x+2（-1 <x<1） f（x）=2+k：4x丫= y=x+ .x 1x解：.-1ExE1,-3 <3x <3,-1 <3x+2 <5,即-1 Ey <5, .值域是-1, 5 "Zxw©依）f（x）w2,）.即函数 f（x）=2 + J4'二x 的值域是 y| y 之2.x 1 -1=1二0即函数的值域是 y| yWR且y，1（此法亦称 分离常数法）.1.当 x>0,

3、y=x+ =(Jx- x)2 +2 >2,一 _ 、1 12_当 x<0 时，y=(x+) = - (Jx -=)2 -2 < -2.X.一 x值域是（-2,-2 U 2 , +°° ）.（此法也称为 配方法）函数1y = x十一的图像为:x例3 求函数y =2x + log3 xx -1(2£xW10)的值域解：令 y1=2x” , y2= log3 Jx 1,则 y 1 , y2在2 , 10 上都是增函数。所以y= y 1 + y2在2 , 10 上是增函数。当 x = 2 时,ymin = 2 + log3V2 -1 =1 ,当 x =

4、10 时，ymax = 25+iog3,9 =33。8故所求函数的值域为：1 , 33。8例4求函数y= d'x +1 - Jx 1的值域。2.-2斛：原函数可化为：y=当x = 1时，y= y + y2有最小值<2 ,原函数有最大值 -=<2。.x 1、x -1, 2显然y>0,故原函数的值域为（0 ,J2 。例5求函数y = x - J1 2x的值域。y是f-°o,1 1练习：求函数 y=3+ J4 _x 的值域。（答案：yy ） 求函数y=x-3+V2x+1的值域。二、反比例函数法直接求函数的值域困难时，可以通过求其原函数的定义域来确定原函数的值域。

5、3x 4 例6.求函数y =值域。5x 6解：由原函数式可得：d-x2以42则其反函数为：y=±&,其定义域为：x#95x -353故所求函数的值域为：y=35当函数的反函数存在时，则其反函数的定义域就是原函数的值域。x+1 例7求函数Y =的值域。x+2点拨：先求出原函数的反函数，再求出其定义域。, 一一一 .x+1 . 一 ,. .1 -2y解：显然函数y =x+2的反函数为：x = y-1淇te义域为ywi的头数，故函数y的值域为 y I yw 1,y R。点评：利用反函数法求原函数的定义域的前提条件是原函数存在反函数。这种方法体现逆向思维的思想，是数学解题的重要方法之

6、一。练习2：求函数y=（10x+10-x）/（10x 10-x）的值域。（答案：函数的值域为 y I y< - 1或y>1）三、函数有界性法直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，反客为主来确定函数的值域。ex -1y =例8.求函数ex +1的值域。ex上解：由原函数式可得：y 一1y 1 0ex >0. . y -1解得：-1 < y父1故所求函数的值域为（11）cosxy二例9.求函数 Sin x - 3的值域。3y解：由原函数式可得：ysinx cosx =3y ,可化为:Jy2 +1sin (x+ 0 ) =3y 即 sin (x+ B ) =3y

7、2 1.xR sinx(x +p)-1,13y-1 <一y,1即 y2 1V2 < <v12_2L 2L解得：4 -y- 4 故函数的值域为J 4 ' 4 一形如x2之0可解出y的范围，从而求出其值域或最值。2x -1 例10.求函数y =的值域2x -1一一 ,2x -1 y y -1解析:由y = 得2x =-一 2x -1 y -1四、配方法配方法是求“二次函数类”值域的基本方法，形如 y =a f 2(x) - bf (x) - c的函数的值域问题，均可使 用配方法。例8.求下列函数的最大值、最小值与值域： y = x2 -4x +1 ； y = x2 -4x

8、 +1,x 亡3,4； y = x2 4x +1,xe0,1 y = x2 -4x+1,xe 0,5;解： y =x2 4x+1=(x2)2 3, 顶点为(2,-3),顶点横坐标为 2.抛物线的开口向上，函数的定义域 R,，x=2时，ymin=-3，无最大值；函数的值域是 y|y之-3 .11i-2 -1 O -1 p 3 4 5 6-x-1-2-3,顶点横坐标 2乏3,4,当x=3时，y= -2; x=4时，y=1 ;.在3,4上，ymin =-2，V max =1;值域为-2 ,1.,顶点横坐标 2三0,1,当x=0时，y=1 ; x=1时，y=-2,，在0,1上，ymin =-2 ,y

9、max =1 ；值域为-2 , 1.,顶点横坐标 2亡0,5,当 x=0 时，y=1; x=2 时，y=-3, x=5 时，y=6,.在0,1上,ymin =-3 , ymax=6；值域为-3, 6.注：对于二次函数 f(x)=ax2bx c(a 0),若定义域为R时，当a>0时，则当x = _2时，其最小值ymin =(4ac-b2)；2amin 4a当a<0时，则当x = _2时，其最大值y=(4ac-b2).max 2a4a若定义域为xw a,b,则应首先判定其顶点横坐标是否属于区间a,b.若x0 Wa,b,则f (x0)是函数的最小值(a>0)时或最大值(a<0

10、)时，再比较f(a), f(b)的大小决定函数的最大(小)值.若x° Fa,b,则a,b是在f (x)的单调区间内，只需比较f(a), f (b)的大小即可决定函数的最大(小)值.练习 1 .求函数 y =x2 6x-5 的值域 由 y =x26x-5 =(x-3)2-4 E 4 ; yw (-°0,422练习2.求函数y=x 2x+5,xu1,2的值域。解：将函数配方得：y=(x1)+4x-1,2由二次函数的性质可知：当 x=1时，y min =4 ,当x =-1时，y max =8故函数的值域是：4 , 8注：若给定区间不是闭区间，则可能得不到最大(小)值；当顶点横坐标

11、是字母时，则应根据其对应区间特别是区间两端点的位置关系进行讨论.当所给函数是二次函数或可化为二次函数的复合函数时，可以利用配方法求函数值域例5:求函数y= J-x2'跑的值域。点拨：将被开方数配方成完全平方数，利用二次函数的最值求。,.222解：由-x +x +2 > 3知函数的7E义域为 xC1, 2。此时-x +x+2 = (x1/2) +9/4C0)9/40wj-x2乜也& 3/新数的值域是0,3/2点评：求函数的值域不但要重视对应关系的应用，而且要特别注意定义域对值域的制约作用。配方法是数学的一种重要的思想方法。练习：求函数y=2x 5 + J15Tx的值域.(答

12、案:值域为y I y< 3)22 0, y 1 0= y 1或y ：: -1y -1五、换元法利用整体代换，将所给函数化成值域容易确定的另一函数，从而求得原函数的值域，形如y = ax -b ± Jcx -d (a,b, c,d均为常数且 a * 0)例3.求函数y =x +2,1 x的值域解：设 jHx=t ,则 y = t2+2t +1(t 之 0) 值域为(-«,4例11.求函数y =x +&"1的值域。解：令 x 1 =t , (t >0)贝u x =t2 +121 23y =t t 1 =(t )24又t >0,由二次函数的性质

13、可知当t=0时，ymin=1当tT0时，yT故函数的值域为1,8)例2求函数y=x-3+ J2x +1的值域。点拨：通过换元将原函数转化为某个变量的二次函数，利用二次函数的最值，确定原函数的值域。解：设 t= J2x +1(t 习)，则 x=1/2( t2-1)。22于是 y=1/2( t -1)-3+t=1/2 (t+1 ) -4 冒 1/24=-7/2.所以，原函数的值域为 y|y舁7/2。点评：将无理函数或二次型的函数转化为二次函数，通过求出二次函数的最值，从而确定出原函数的值 域。这种解题的方法体现换元、化归的思想方法。它的应用十分广泛。练习：求函数y= dx +1 i的值域。(答案：

14、y|y Q 3/4例12.求函数V =x +2 +镇(x +1)2的值域。22解：因 1 (x +1)之0 即(x +1) <1故可令 x 1 =cos -, - 0,二. y = cos," ； 1.1 - cos2 :二sin 1 cos11 - 2sin( 4) 10 -二,0 一： 一 _ 5 二 4 4'一. 2 sin( ) M124二。M而in(B +：) +1 V1 +行故所求函数的值域为0,1 +小例13.求函数3 x - x y = a o x4+2x2 +1的值域。 y 解：原函数可变形为：12x1 -x_.2.2 1 x1 x.0 _：4442x

15、- 1 -x22 -亍=sin2l；,2 =cos -可令x=tgP,则有1 +x1 +x1-1-sin2 - cos2： = sin4：k ：12 8 时，ymax =4k 二 二,P= c + c ,当 28时,y min1一4而此时tan P有意义。故所求函数的值域为1 174,4例 14.求函数 y =(sinx +1)(c0sx +1),x 一三122的值域。解：y=(sinx 1)(cosx 1)22(t -1)=sin x cosx sin x cosx 1sin x cosx = 令 sin x +cosx =t ,贝(J尸犷一1)t T 1)2由 t =sinx cosx =

16、 .2sin(x ， /4)京2可得:二 Mt J223.2y 二一423,2r , c , y max = 一 . 2, t =,当 t =/2 时，'2 ，当 2 时,故所求函数的值域为 例15.求函数y =x +4+也一x2的值域。解：由 5-x2 >0,可得 |x|E，5JI故可令 x5cos0,二y = -5 cos：4. 5sin ： = y10 si n ( 一) 44当 B=n/4 时，ymax=4+J10 P=n 时，ymin = 4 55故所求函数的值域为：4 - 5,4 , '、10 通过简单的换元把一个函数变为简单函数，其题型特征是函数解析式含有根

17、式或三角函数公式模型，换元 法是数学方法中几种最主要方法之一，在求函数的值域中同样发挥作用。六、判别式法把函数转化成关于 x的二次方程F (x, y) = 0 ,通过方程有实根，判别式 之0 ,从而求得原函数的值域,形如y =a1x2 -b1x -c1a?x - b?x - c2判别式法一般用于分式函数,其分子或分母只能为二次式，解题中要注意二次项系数是否为0的讨论.x2 -1例4 .求函数y =的值域x2 1原函数可化为(y 1)x2 0 X y 1 =01) y =1时不成立2)y #1 时，之0 n 0_4(y1)(y+1) >0=> -1 < y < 1 二一1

18、 E y < 1综合 1)、2)值域y | 1 e y <11 x x2y 二例4.求函数1+x的值域。2解：原函数化为关于 x的一元二次方程(y1)x +(y1)x=°(1)当 y=1 时，x =0 ,(2)当 y #1 时，x R &=(一1)2 4(y -1)(y 1)之01»a解得：221131；12当y=1时，x=0,而12 2 故函数的值域为，2 2_|例5.求函数y =x + Jx(2 -x)的值域。22解：两边平方整理得：2x -2(y +1)x+y =0(1) x w RA=4(y +1)2 -8y >0但此时的函数的定义域由x(

19、2 x)之0 ,得0 <x <222由之0 ,仅保证关于x的方程：2x 2(y +1)x +y =0在实数集r有实根，而不能确保其实根在区间0, 2上，即不能确保方程(1)有实根，由 至0求出的范围可能比 y的实际范围大，故不能确定此1 3 一,一 函数的值域为！2 2 一。可以采取如下方法进一步确定原函数的值域。. 0 <x <2.y =xx(2 -x) _0J.ymin =0,y =1 +J2 代入方程(1)xi解得：2.2 -24 .20,22.2 -24,2即当x1=2 时，原函数的值域为：0,1+J2注：由判别式法来判断函数的值域时，若原函数的定义域不是实数集

20、时，应综合函数的定义域，将扩大的 部分剔除。例3.求函数y =x225x+6的值域x x-6方法一：去分母得(y-1) x2+(y+5)x -6y-6=0当 y阳时 . xWR . .=(y+5) 2+4(y1)X6(y+1)之0 由此得(5y+1) 2 >0- 5x = _5=2 (代入求根)62 <-)52正定义域 x| x #2且x封 y再检验y=1代入求得x=21. y1综上所述，函数y = xi5x+6的值域为x x 6方法二：把已知函数化为函数y =(x -2)(x -3)=工13 =1 一 6 仅；2)(x -2)(x 3) x 3 x-3由此可得y=1-11- x=

21、2 时 y = 即 y ¥ 552_ x 5x 6 一 1，函数y= 2的值域为 y| y#1且y# *x x -65若可化为关于某变量的二次方程的分式函数或无理函数，可用判别式法求函数的值域。22例4求函数y=(2 x 2x+3)/( x x+1)的值域。点拨：将原函数转化为自变量的二次方程，应用二次方程根的判别式，从而确定出原函数的值域。2.解：将上式化为(y-2) x (y 2)x+(y-3)=0(*)2当 yw2时，由 A=(y-2) -4 (y-2) x+(y 3)>。解得：2vxW10/3当y=2时，方程(* )无解。，函数的值域为2vyW10/3点评：把函数关系化

22、为二次方程F(x,y)=0,由于方程有实数解，故其判别式为非负数，可求得函数的值域。常适应于形如 y=(a x2+bx+c)/(d x2+ex+f)及 y=ax+b ±Vcx2 +dx+e 的函数。练习：求函数y=1/(2 x2 3x+1)的值域。(答案：值域为yJ 8或y>0)。七、均值不等式法：利用基本不等式 a +b>2jab,a +b +c>3Vabc (a,b,c£ R+),求函数的最值，其题型特征解析式是和式时要求积为定值，解析式是积时要求和为定值，不过有时需要用到拆项、添项和两边平方等技巧。1212y 二(sin x ) (cos x ) -

23、4例19.求函数sin xcosx的值域。解：原函数变形为：y 二(sin2 x cos2 x) 12 1 sin x cos x22=1ces xsec x2, 2=3tan xcot x二33 tan2 x cot2 x 2=5当且仅当tanx =cotxx = k二即当4时出二刀，等号成立故原函数的值域为：5,收)例20.求函数y=2sin x sin2x的值域。解： y =4sin x sinx cosx= 4sin2 x cosx例3、求函数y=4sinx - cos2x的最值分析：利用sin 2x+cos2x=1进行本方法，凑出和为定值，才能使用均值不等式求最值解：- y2=16s

24、in 2x cos2x cos 2x=8 (2sin 2x cos -.2227 o / 2sin x cos x cos x、3 Q* 86427 27.y2< 64,当且仅当 27y 大=8V392sin 2x=cos2x 即 tgx=y 小=-339三2时，取“二”号20 8 ( =8 =y =16sin4 xcos2 x222= 8sin xsin x(2 2sin x)222_3<8(sin 2 x sin2 x 2 2sin2 x)/336427当且仅当sin2x =22sin2x ,即当sin2x =3时，等号成立。264,y -丁 r由 27可得:8.3.8 . 3

25、、yF故原函数的值域为:八、数形结合:一 8v13例5.求函数y=|x+1|+|x-2|的值域.解法1:将函数化为分段函数形式:-2x 1(x ： -1)= <3(1Wx<2),画出它的图象(下图)，由图象可知，函2x -1(x 一 2)数的值域是y|y -3.解法2： 函数y=|x+1|+|x-2|表示数轴上的动点 x到两定点-1, 2的距离之和，易见 y的最小值是3, ，函数的值域是3, +.如图-06odd-x -1O 124B-1 Ox 127。 出 心-1 O 1 2x两法均采用“数形结合”，利用几何性质求解，称为几何法或图象法其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义，如

26、两点的距离公式直线斜率等等，这类题目若运用数 形结合法，往往会更加简单，一目了然，赏心悦目。例16.求函数y =d(x 2)2 +M(x+8)2的值域。BPAII _ _ _I802解：原函数可化简得：y 4x _2| |x 8|上式可以看成数轴上点P (x)到定点A (2), B(4/1的距离之和。由上图可知，当点P在线段AB上时，y Tx -2|+|x+8|=|AB |=10当点p在线段ab的延长线或反向延长线上时，y=|x -2|+|x +8|>1AB |=10故所求函数的值域为：10,：例 17.求函数 y =&2 -6x +13+*；x2 +4x +5 的值域。解：原函

27、数可变形为：y = . (x -3)2 (0 -2)2 . (x 2)2 (0 1)2上式可看成x轴上的点P(x,0)到两定点A(3,2),B(-2,。的距离之和，由图可知当点P为线段与x轴的交点时，y min =1AB |= 4(3+2) +(2+1) =d43,故所求函数的值域为43,:(-2, -1)例 18.求函数 y =Jx2 6x +13 -Vx2 +4x +5 的值域。解：将函数变形为：y =、(x-3)2 (0-2)2 - . (x 2)2 (0-1)2上式可看成定点 A (3, 2)到点P (x, 0)的距离与定点 B(-2，D到点P(x，0)的距离之差。即：y=|AP|-|BP|由图可知：(1)当点P在x轴上且不是直线 AB与x轴的交点时，如点 P',则构成AABP',根据三角形两边之差小于第三边，有11Ap'I 一1 Bpt1AB尸.(302一(2=1)2 - 26即：一26 二 y26A、B两点(2)当点P恰好为直线AB与x轴的交点时,有11Ap 1TBp |HAB |=*'26综上所述，可知函数的值域为：(-、26, 26注：由例17, 18可知，求两距离之和时，要将函数式变形，使在x轴的两侧，而求两距离之差时，则要使A, B两点在x轴的同侧。如：例17的A, B两点坐标分别为：(3, 2), (-2，-1),在x轴的