近世代数试题库

1、近世代数、单项选择题1、假设人=1,2,3,5,B=2,3,6,7,那么AB=A1,2,3,4B、2,3,6,7C2,3D>1,2,3,5,6,7答案：C2、循环群与交换群关系正确的选项是A循环群是交换群C循环群不一定是交换群答案：A3、以下命题正确的选项是An次对换群Sn的阶为n!C交换环一定是域答案：A4、关于陪集的命题中正确的选项是A、对于aH,bH,有aHB、 aHHaHC、 aHbHa1bHD、 以上都对答案：DB、交换群是循环群D、以上都不对B、整环一定是域D、以上都不对设H是G的子群,那么bH或aHbH5、设A=R实数域,B=R+正实数域f:a-10aaA那么f是从A到B的

2、A单射C、一一映射、满射、既非单射也非满射答案：D6、有限群中的每一个元素的阶都A、有限B、无限C为零D、为1答案：A7、整环域的特征为、无限、或素数或无限A素数BC有限D答案：D8、假设S是半群,那么A任意a,b,cS,都有abc=abcB、任意a,bS,都有ab=baC必有单位元D、任何元素必存在逆元答案：A9、在整环Z中,6的真因子是A1,6B、2,3C1,2D、3,6答案：B10、偶数环的单位元个数为A、0个B、1个C2个D、无数个答案：A11、设A1,A2,An和D都是非空集合,而f是A1AAn到D的一个映射,那么A、集合A1,A2,An,D中两两都不相同；B、A,A2,An的次序不

3、能调换；C、AA2An中不同的元对应的象必不相同；D>一个元a1,a2,an的象可以不唯答案：B12、指出以下那些运算是二元运算A、在整数集Z上,ab3;abB、在有理数集Q上,abJab;G在正实数集R上,abalnb;D在集合nZn0上,abab.答案：D13、设是整数集Z上的二元运算,其中abmaxa,b即取a与b中的最大者,那么在Z中A、不适合交换律；B、不适合结合律；C、存在单位元；D、每个元都有逆元.答案：C14、设G,为群,其中G是实数集,而乘法:ababk,这里k为G中固定的常数.那么群G,中的单位元e和元x的逆元分别是A0和x；B、1和0;C、k和x2k;D、k和x2k

4、.答案：D15、设a,b,c和x都是群G中的元素且x2abxc1,acxxac,那么x1111111A、bca;B、ca;C、abc;D、bca.答案：A16、设H是群G的子群,且G有左陪集分类H,aH,bH,cH.如果6,那么G的阶G|A6;B、24;C、10;D、12.答案：B17、设f:GiG2是一个群同态映射,那么以下错误的命题是A、f的同态核是Gi的不变子群；B、G2的不变子群的逆象是Gi的不变子群；GGi的子群的象是G2的子群；DGi的不变子群的象是G2的不变子群.答案：D18、设f:RiR2是环同态满射,f(a)b,那么以下错误的结论为(A假设a是零元,那么b是零元；B、假设a是

5、单位元,那么b是单位元；C、假设a不是零因子,那么b不是零因子；D假设R2是不交换的,那么R不交换答案：Ci9、以下正确的命题是()A、欧氏环一定是唯一分解环；B、主理想环必是欧氏环；C、唯一分解环必是主理想环；D、唯一分解环必是欧氏环.答案：A20、假设I是域F的有限扩域,E是I的有限扩域,那么()A、E:IE:II:F；B、F:EI:FE:I；C、I:FE:FF:I;D、E:FE:II:F答案：D二、填空题i、集合A的一个等价关系需满足自反性、对称性和().答案：传递性2、设A,B都为有限集,且Am,Bn,那么AB().答：mn3.设R是集合A=平面上所有直线上的关系：1网2l1/l2或l

6、112(L12勺,那么()等价关系.答：是4、设群G中的元素a的阶为m那么ane的充要条件是.答：mn5、群G的非空子集H作成G的一个子群的充要条件是.答：a,bH,有ab1H6、n次对称群Sn的阶是.答：n!7、设G是有限群,H是G的子群,且H在G中的指数为nUG答：nH8、设G是一个群,e是G的单位元,假设aG,且a=a,那么答：a=e9、最小的数域是.答：有理数域10、设集合A=1,2,那么AXA=,2A=.答：1,1,1,2,2,1,2,2,1,1,2-1-C-1C11、设f是A的一个变换,SA,那么ffSffS.答：12、设R1,R2是集合A上的等价关系,R1R2等价关系.答：是13

7、、假设群G中每一个元素x都适合方程xne,那么6是群.答：交换群14、n阶群G是循环群的充要条件是0答：G中存在门阶的元素15、设G,G1是有限循环群,Gm,G1n,那么G1是g的同态象的充要条件是(nm)o答：nm16、如果环R的乘法满足交换律,即a,bR,有abba,那么称R为()环答：交换环17、数集关于数的加法和乘法作成的环叫做()环.答：数环18、设有限域F的阶为81,那么的特征p().答：319、群G中的元素a的阶等于50,那么a4的阶等于().答：2520、一个有单位元的无零因子()称为整环.答：交换环21、如果710002601a是一个国际标准书号,那么a().答：622.剩余

8、类加群12有()个生成元.答：623、设群G的元a的阶是n,那么ak的阶是()答：n/(k,n)(k,n)表示k和n的最大公约数)24、6阶循环群有()个子群.答：326、模8的剩余类环乙的子环有()个.答：627、设集合A1,0,1;B1,2,那么有BA().答：1,1,1,0,1,12,1,2,0,2,128、如果f是A与A间的映射,a是A的一个元,那么f1fa(29、设集合A有一个分类,其中A与Aj是A的两个类,如果AiA-那么AAj0答：31、凯莱定理说：任一个子群都同一个同构.答：变换群32、给出一个5-循环置换31425,那么1.答：1352433、假设I是有单位元的环R的由a生成

9、的主理想,那么I中的元素可以表达为.答：42%,为,.R34、假设R是一个有单位元的交换环,I是R的一个理想,那么%是一个域当且仅当I是.答：一个最大理想35、整环I的一个元p叫做一个素元,如果.答：p既不是零元,也不是单位,且q只有平凡因子36、假设域F的一个扩域E叫做F的一个代数扩域,如果.答：E的每一个元都是F上的一个代数元三、判断题1、设A与B都是非空集合,那么ABxxA且xB.X2、设A、B、D都是非空集合,那么AB到D的每个映射都叫作二元运算.X3、只要f是A到A的映射,那么必有唯一的逆映射f1.V4、如果循环群Ga中生成元a的阶是无限的,那么G与整数加群同构.V5、如果群G的子群

10、H是循环群,那么G也是循环群.X6、群G的子群H是不变子群的充要条件为gG,hH；g1HgH.,7、如果环R的阶2,那么R的单位元10.,8、假设环R满足左消去律,那么R必定没有右零因子.V9、Fx中满足条件p0的多项式叫做元在域F上的极小多项式.X10、假设域E的特征是无限大,那么E含有一个与Z/p同构的子域,这里Z是整数环,p是由素数p生成的主理想.X四、解做题1、A=数学系的全体学生,规定关系R:a,bA,aRba与b同在一个班级,证实R是A的一个等价关系.答案：自反性：自己与自己显然在同一个班级对称性：假设a与b同在一个班级,显然b与a同在一个班级传递性：假设a与b同在一个班级,b与c

11、同在一个班级,显然a与c同在一个班级.2、在R中的代数运算是否满足结合率和交换率？ababab等式右边指的是普通数的运算答：由于对于a,b,cR,有abcababcababcababcababcacbcabc,abcabcbcabcbcabcbcababcacbcabc根据实数的加法与乘法的运算率得abcabc.又abababbababa.所以,R的代数运算既满足结合率,又满足交换率.3、设集合Aa,b,c,d,Bc,d,e,求AUB,AIB,AB,(AB)U(BA)o答案.AUBc,d,AIBa,b,c,d,e,ABa,b,(AB)U(BA)a,b,e4、设GS31,12,I3,23,123

12、,H1,12,求G关于子群H的左陪集分解.答：1H(12)HH,13H(123)H13,12323H(132)H23,132o因而,G关于子群H的左陪集分解为GH13H(23)Ho5、设半群S,?既有左单位元e,又有右单位元f,证实ef,而且是S的唯一单位元.答：证实efe(因f是右单位元),eff(因e是左单位元),得ef；假设S还有单位元3,那么ee>3,故e是S的唯一单位元.6、对于下面给出的Z到Z的映射f,g,hf:xa3x,g:xa3x1,h:xa3x2;计算fog,gof,goh,hog,fogoh.答案：fog:xa9x3,gof:xa9x1,goh:xa9x7;hog:x

13、a9x5,fogoh:xa27x21.7、设H是G的不变子群,那么aG,有aHa1H.答：因H是G的不变子群,故对于aG,有aHHa,于是1111aHaaHaHaaHaaHeHo8、设0是环R的零元,那么对于aR,0aa00.答：由于aR,有0a(00)a0a0a由于R关于加法作成群,即R对于加法满足消去律,在上式中两边同时消去0a,得0a0.同理可得a00.9、如果半群G有一个左单位元e,并且对于aG,存在左逆元a1G,使得1aae,那么G是一个群.答：aG,由条件知,有左逆元a1G,使得a1ae,而对于a1在G中也存在左逆元a',使得aa1e,那么有11'1x/1x'

14、;11'1'1aaeaa(aa)(aa)aaaaaeaaae所以,a的左逆元a1也是a的右逆元,即a在G中有逆元a1,11又由于aeaaaaaaeaa,知e是G的单位元.故G是一个群.10、证实R为无零因子环的充分必要条件是在环R中关于乘法左消去律成立.答：设环R没有左零因子,如果有abac,那么有abaca(bc)0,当a0时,由于R没有左零因子,得bc0,即bc,R中关于乘法左消去律成立.反之,假设在R中关于乘法左消去律成立,如果a0,有ab0,即ab0a0,左消去a得b0,即R中非零元均不是左零因子,故R为无零因子.11、假设.如是R的两个理想,那么II12x1X2XlI

15、l,x212也是R的一个理想.答：X)I1I2,R,那么有xX1X2,yy1y2,国,I1；x2,y2I2),从而xy(X1y1)(X2y2)I1I2.rXr(X1x2)rX1rX2I1I2.xr(x1x2)rx1rx2rI112o所以,I1I2是R的一个理想.12、设GS3(1),(12),(13),(23),(123),(132),H(1),(12),那么h是G的一个子群,写出G关于H的所有左陪集的分解.答案：(1)H(12)HH,(13)H(13),(123)(123)H,(23)H(23),(132)(132)H因而,G关于H的左陪集的分解为.GH(13)H(23)H13、在Q中的代数

16、运算是否满足结合率和交换率？abb2答：取a1,b2,c3,那么123223329123132928122又1224,2111.所以,Q的代数运算既不满足结合率,又不满足交换率.14、设GS31,12,13,23,123,132HL12,求g关于子群H的右陪集分解.答：H1H(12)1,12,H13H(132)13,132,H23H(123)23,123.因而,G关于子群H的右陪集分解为GHH13H(23)15、设S是有单位元e的半群,aS,假设a有左逆元a1,又有右逆元a2,那么a是a1ea1,可逆元,且a1%是a的唯一的逆元答：证实由条件知,aae,aa2e,那么有a?ea?aaa?aaa

17、?假设b,c都是a的逆元,同理有bbebacbacecc故a有唯一的逆元.16、设R是环,那么a,bR,有(a)ba(b)(ab)答：由(a)bab(aa)b0b0,得(ab)(a)b,同理,由a(b)aba(bb)a00,得(ab)a(b)o17、设H是G的子群,假设对于aG,hH,有aha1H,那么H是G的不变子群.答：任取定aG,对于ahaH,由于aha1H,那么存在hlH,使得1ahahiahhiaHaaHHa.?Ii1.,i、iI.I.haHa,由于ahaah(a)H,故存在儿H,使得1ahah2haah?aHHaaHo因此,对于aG,有aHHa.故H是G的不变子群.18、如果G是半

18、群,那么G是群的充分必要条件是：a,bG,方程axb和yab在G中有解.答：必要性.因G是群,那么aG在G中有逆元a1,那么a1b,ba1G,分别代入方程axb和yab,有1111aabaabebbbaabaabeb11即ab,ba分别为方程axb和yab的解.充分性.因G是半群,那么是非空集合,取定aG,那么方程ya2在6中有解e,即存在G中的元素e,使得eaa.下证e是G的左单位元.a,bG,方程axb和在G中有解c,即acb,于是ebeaceacacb,那么e是G的一个左单位元.又aG,方程yae在G中有解a,即aae,得a是a的一个左逆元.从而得G中的每一个元素a都有左逆元.故G是群.

19、19、证实R为无零因子环的充分必要条件是在环R中关于乘法右消去律成立.答：设环R没有左零因子,那么也无右左零因子.于是由baca,得baca(bc)a,当a0时,由于R没有右零因子,得bc0,即bc,R中关于乘法右消去律成立.反之,假设在R中关于乘法右消去律成立,如果a0,有ba0,即ba00a,右消去a得b0,即R中非零元均不是右零因子,故R为无零因子.20、设R为交换环,aR,IaxRax0,证实：1a是R的理想.答：(1)a,b%,那么"0,bx0,从而axbx0,(ab)x0即abIa0(2)aIa,rR,有ax0,由于R为交换环,从而raxr0axr0r0,即a,aIaQ因此1a是R的理想.21、G=(z,+),对G规定结合法“oaobab2证实(G,o)是一个群.证实："o"为G的一个二元运算显然,设a,b,c是G中任意三个元,(aob)oc(ab2)oc(ab2c)2=a(b2c)2ao(bc2)ao(boc)oG中结合法"o"