定积分的概念1

1、11.5.3 1.5.3 定积分的概念定积分的概念2一、定积分的定义一、定积分的定义 11( )( )nniiiibafxfn 小矩形面积和S=如果当如果当n时，时，S 的无限接近某个常数，的无限接近某个常数，这个常数为函数这个常数为函数f(x)在区间在区间a, b上的上的定积分定积分，记作，记作 ba (x)dx，即f (x)dx f ( i)xi。 从求曲边梯形面积从求曲边梯形面积S的过程中可以看出的过程中可以看出,通过通过“四步四步曲曲”:分割分割-近似代替近似代替-求和求和-取极限得到解决取极限得到解决.1( )lim( )ninibaf x dxfnba即3定积分的定义：定积分的相关

2、名称：定积分的相关名称： 叫做积分号，叫做积分号， f(x) 叫做被积函数，叫做被积函数， f(x)dx 叫做被积表达式，叫做被积表达式， x 叫做积分变量，叫做积分变量， a 叫做积分下限，叫做积分下限， b 叫做积分上限，叫做积分上限， a, b 叫做积分区间。叫做积分区间。1( )lim( )ninibaf x dxfnba即Oabxy)(xfy 4 baIdxxf)(iinixf )(lim10 被积函数被积函数被积表达式被积表达式积分变量积分变量积分下限积分下限积分上限积分上限5baf(x)dx f (t)dt f(u)du。 说明：说明：(1) 定积分是一个数值定积分是一个数值,它

3、只与被积函数及积分它只与被积函数及积分 区间有关，而与积分变量的记法无关，即区间有关，而与积分变量的记法无关，即baf(x)dx baf (x)dx -(3)6二、定积分的几何意义：二、定积分的几何意义：Ox yab yf (x)baf (x)dx f (x)dxf (x)dx。 xa、xb与 x轴所围成的曲边梯形的面积。 当 f(x)0 时，积分dxxfba)(在几何上表示由 y=f (x)、 特别地，当 ab 时，有baf (x)dx0。 7 当当f(x) 0时，由时，由y f (x)、x a、x b 与与 x 轴所围成的轴所围成的曲边梯形位于曲边梯形位于 x 轴的下方，轴的下方，x yO

4、dxxfSba)(，dxxfba)(ab yf (x) yf (x)dxxfSba)(baf (x)dx f (x)dxf (x)dx。 S上述曲边梯形面积的负值。上述曲边梯形面积的负值。 定积分的几何意义：定积分的几何意义：积分 b ba af f ( (x x) )d dx x 在在几几何何上上表表示示 b ba af f ( (x x) )d dx x f f ( (x x) )d dx x f f ( (x x) )d dx x。 S S8ab yf (x)Ox y( )yg x探究探究:根据定积分的几何意义根据定积分的几何意义,如何用定积分表示图中阴影部分的如何用定积分表示图中阴影部

5、分的面积面积?ab yf (x)Ox y1()baSfx dx( )yg x12( )( )bbaaS S Sf xdxg xdx 2( )baSg x dx9三、 定积分的基本性质定积分的基本性质 性质性质1. 1. dx)x(g)x(fba babadx)x(gdx)x(f性质性质2. 2. badx)x(kf badx)x(fk10三三: : 定积分的基本性质定积分的基本性质 定积分关于积分区间具有定积分关于积分区间具有可加性可加性 bccabadx)x(fdx)x(fdx)x(f 性质性质3. 3. 2121 ccbccabadx)x(fdx)x(fdx)x(fdx)x(fOx yab

6、 yf (x)11性质性质 3 不论不论a，b，c的相对位置如何都有的相对位置如何都有ab y=f(x)baf (x)dx f (x)dxf (x)dx。 f (x)dx f (x)dxf (x)dx。 f (x)dx f (x)dxf (x)dx。 cOx ybaf (x)dx f (x)dxf (x)dx。 12 例例1：利用定积分的定义：利用定积分的定义,计算计算 的值的值. 130 x d x解：令3xxf）（1）分割在区间【0，1】上等间隔地插入n-1个点，把区间等分成n个小区间).,2, 1(,1ninini每个区间长度.11xnnini13（2）近似代替、作和则取), 2 , 1(niniinSdxx103nnixnifnini1.)().(311224134) 1(41.11nnninni2)11 (41n14（3）取极限41n1141nlimnlimdxx2n103）（Sdxxx2102）（dxxxdx2