定积分近似计算

1、1一、问题的提出计算定积分的方法：计算定积分的方法：(1) 求原函数；求原函数；问题：问题：(1) 被积函数的原函数不能用初等函数表示；被积函数的原函数不能用初等函数表示；(2) 被积函数难于用公式表示，而是用图形或被积函数难于用公式表示，而是用图形或表格给出的；表格给出的；(3) 被积函数虽然能用公式表示，但计算其原被积函数虽然能用公式表示，但计算其原函数很困难函数很困难(2) 利用牛顿莱布尼茨公式得结果利用牛顿莱布尼茨公式得结果 定积分的近似计算定积分的近似计算下页首页2解决办法解决办法：建立定积分的近似计算方法建立定积分的近似计算方法常用方法常用方法：矩形法、梯形法、抛物线法矩形法、梯形

2、法、抛物线法思路：思路：分分的的近近似似值值面面积积，就就得得到到所所给给定定积积出出相相应应的的曲曲边边梯梯形形的的的的面面积积，只只要要近近似似地地算算在在数数值值上上表表示示曲曲边边梯梯形形)0)()( xfdxxfba下页上页首页3解决办法解决办法：建立定积分的近似计算方法建立定积分的近似计算方法常用方法常用方法：矩形法、梯形法、抛物线法矩形法、梯形法、抛物线法思路：思路：分分的的近近似似值值面面积积，就就得得到到所所给给定定积积出出相相应应的的曲曲边边梯梯形形的的的的面面积积，只只要要近近似似地地算算在在数数值值上上表表示示曲曲边边梯梯形形)0)()( xfdxxfba下页上页首页4

3、窄窄矩矩形形的的高高，如如图图作作为为值值取取小小区区间间左左端端点点的的函函数数等等分分，将将区区间间用用分分点点), 1 , 0(,10niynbabxxxain oxy)(xfy 0 xa 1x1 nxbxn 0y1y1 nyny)1()(1111 niiniibaynabxydxxf则有则有下页上页首页5的的高高，如如图图作作为为窄窄矩矩形形取取右右端端点点的的函函数数值值), 2 , 1(niyi )2()(11 niiniibaynabxydxxf称为矩形法公式称为矩形法公式、 )2()1(oxy)(xfy 0 xa 1x1 nxbxn 0y1y1 nyny则有则有下页上页首页6梯

4、形法就是在每个小梯形法就是在每个小区间上，以窄梯形的区间上，以窄梯形的面积近似代替窄曲边面积近似代替窄曲边梯形的面积，如图梯形的面积，如图oxy)(xfy 0 xa 1x1 nxbxn 1y1 nyny0y)3()(21)(21)(21)(21)(121012110 nnnnbayyyyynabxyyxyyxyydxxf下页上页首页7例例的近似值的近似值积分积分用矩形法和梯形法计算用矩形法和梯形法计算 102dxex解解,ix设分点为设分点为把区间十等分把区间十等分相应的函数值为相应的函数值为)10, 1 , 0(2 ieyixi)10, 1 , 0( iiixiy01234501 . 02

5、. 03 . 04 . 05 . 000000. 199005. 096079. 091393. 085214. 077880. 0列表列表:下页上页首页8iixiy10678916 . 07 . 08 . 09 . 069768. 061263. 052729. 044486. 036788. 0利用矩形法公式（），得利用矩形法公式（），得1001)(910102 yyydxex.77782. 0 利用矩形法公式（），得利用矩形法公式（），得1001)(1021102 yyydxex.71461. 0 下页上页首页9利用梯形法公式（），得利用梯形法公式（），得)(21100192110010

6、2yyyyydxex 实际上是前面两值的平均值，实际上是前面两值的平均值，)71461. 077782. 0(21102 dxex.74621. 0 下页上页首页10到定积分的近似值到定积分的近似值原来的曲线弧，从而得原来的曲线弧，从而得段弧来近似代替段弧来近似代替轴的二次抛物线上的一轴的二次抛物线上的一行于行于许多小段，用对称轴平许多小段，用对称轴平抛物线法是将曲线分为抛物线法是将曲线分为y), 2 , 1 , 0().(),(,10nixfyyxMnbxxxaiiiiin 点为点为这些分点对应曲线上的这些分点对应曲线上的（偶数）等分，（偶数）等分，把区间分成把区间分成用分点用分点oxy)(

7、xfy 0 xa 1x1 nxbxn 1y1 nyny0y2y下页上页首页11因为经过三个不同的点可以唯一确定一抛物线因为经过三个不同的点可以唯一确定一抛物线,., ,212432210nnniMMMMMMMMMnM 组组互互相相衔衔接接的的分分成成故故可可将将这这些些曲曲线线上上的的点点.,)2, 2 , 1(,22122222221222线弧线弧近似代替曲近似代替曲的二次抛物线的二次抛物线用经过点用经过点上上应的子区间应的子区间所对所对在每组在每组rqxpxyMMMxxnkMMMkkkkkkkk 下页上页首页12边梯形的面积边梯形的面积为曲边的曲为曲边的曲的抛物线的抛物线上过三点上过三点计

8、算在计算在rqxpxyyhMyMyhMhh 2221100),(), 0(),(,可可由由下下列列方方程程组组确确定定：抛抛物物线线方方程程中中的的rqp, .,22120rqhphyryrqhphy.222102yyyph 由由此此得得下页上页首页13于是所求面积为于是所求面积为 hhdxrqxpxA)(2rhph2323 )62(312rphh ),4(31210yyyh 有有关关及及底底边边所所在在的的区区间间长长度度标标的的纵纵坐坐只只与与显显然然，曲曲边边梯梯形形的的面面积积hyyyMMM2,210210 下页上页首页14组组曲曲边边梯梯形形的的面面积积为为由由此此可可知知2n),4

9、(31),4(31),4(3112243222101nnnnyyyhAyyyhAyyyhA .nabh 其中其中)4().(4)(2)(3)(1312420 nnnbayyyyyyyynabdxxf下页上页首页15例例 对如图所示的图形测量所得的数据如下表对如图所示的图形测量所得的数据如下表所示所示,用抛物线法计算该图形的面积用抛物线法计算该图形的面积 .A0123451 6站号站号y高高0305. 2865. 4974. 6568. 8559. 9011.10183.1078910111213站号站号y高高200.10200.10200.10200.10200.10200.10200.101

10、4151617182019站号站号y高高400.10416. 9015. 8083. 6909. 3814. 10下页上页首页16yxo1A2A米米站站之之间间的的距距离离为为站站到到而而）为为两两站站之之间间的的距距离离（站站距距米米，相相邻邻站站之之间间的的距距离离为为站站到到这这里里，501359. 72018.14718.147200 下页上页首页17解解来近似表示，即来近似表示，即轴构成的三角形的面积轴构成的三角形的面积的交点的连线与坐标的交点的连线与坐标它可以用曲线同坐标轴它可以用曲线同坐标轴表示表示站这一段的面积用站这一段的面积用站到站到从从101A 305. 25211 A).

11、(763. 5平方米平方米 根据抛物线公式根据抛物线公式(4)，得，得3)(2)(4)(1842195312002xyyyyyyyyyA ).(839.1194平方米平方米 839.1194768. 521 AAA).(602.1200平方米平方米 下页上页首页18求定积分近似值的方法：求定积分近似值的方法：矩形法、梯形法、抛物线法矩形法、梯形法、抛物线法注意：对于以上三种方法当取得越大时近注意：对于以上三种方法当取得越大时近似程度就越好似程度就越好n下页上页首页19一、一、 某河床的横断面如教材图某河床的横断面如教材图125 所示，为了计算最所示，为了计算最大排洪量，需要计算它的断面积试根据图示的大排洪量，需要计算它的断面积试根据图示的测量数据测量数据（单位为米）用梯形法计算其断面积（单位为米）用梯形法计算其断面积. .二、 用三种积分近似计算法计算用三种积分近似计算