轨迹方程的求法及典型例题(含答案)

1、轨迹方程的求法一、知识复习轨迹方程的求法常见的有1直接法；2定义法；3待定系数法4参数法5交轨法；6相关点法注意：求轨迹方程时注意去杂点,找漏点.一、知识复习例1:点P-3,0是圆x2+y2-6x-55=0内的定点,动圆M与圆相切,且过点P,求圆心M的轨迹方程.X例2、如下图,尸4,0是圆xV=36内的一点,A,8是圆上两动点,且满足NAPB=90°,求矩形加双2的顶点0的轨迹方程.解：设"的中点为凡坐标为区力,那么在Rt叱中,|4?|二|依|.又由于R是弦相的中点,依垂径定理：在Rt出E中,|4?|2=M0|2-|r=36V+/又I朋=1朋=而47所以有X42+y=36j

2、r+y,即x+y4x10=0因此点R在一个圆上,而当月在此圆上运动时,.点即在所求的轨迹上运动.设0G,.,双对刀,由于月是产.的中点,所以£=/,产耳,代入方程/+/4x10=0,得山产+少_4上一10二0222整理得：,+/=56,这就是所求的轨迹方程.例3、如图,直线L和Lz相交于点M,LL2,点NLi.以A,B为端点的曲线段C上的任一点到Lz的距离与到点N的距离相等.假设AMN为锐角三角形,|AM|=4行,|AN|=3,且|BN|=6.建立适当的坐标系,求曲线段C的方程.解法一：如图建立坐标系,以为X轴,网的垂直平分线为y轴,点0为坐标原点.依题意知：曲线段C是以点*为焦点,

3、以为准线的抛物线的一段,其中48分别为C的端点.设曲线段儆方程为2=2px(P>0),(xAWXwXQ>0),其中Xa.Xb分别为48的横坐标,P=|MN|o所以M(C,0),N(2,0)22由IAMI=JF7,IANI=3得(X八+-y)2+2以=17(1)(XA-V+=9(2)XA=-,由,两式联立解得,再将其代入式并由p>0解得P=4或?4=1P=2XA=2>山由于aAMN是锐角三角形,所以2=2,故舍去以=2人T8NI-'=4由点造曲线段.上,得2综上得曲线段的方程为3'2=8x(l<x<4,y>0)解法二：如图建立坐标系,分别

4、以1、12为轴,.M为坐标原点.作AE_L1i,AD_L12,BF_L12垂足分别为氏、F设A(Xa,y,A)、B(xb,yB),N(xn,0)依题意有=1ME=DA=4AN=3yA=1DM1=AM2+DAI2=2叵由于A4MN为锐角三角形故有小TMEI+1ENI=1MEI+ylAM2+AE2=4Xb=1BE1=1NB1=6设点P(x,y)是曲线段C上任一点那么由题意加属于集合Cv,>')l(A-xv)2+>-2WxWXg,),>0故曲线段C的方程y2=8(x-2)(3<x<6,y>0)例4、两点尸(-22),00,2)以及一条直线/：y=x9设长为

5、、历的线段"在直线义上移动,求直线24和交点材的轨迹方程.解：必和"的交点(x,y)随4夕的移动而变化,故可设?,即+14+1),贝!I切：y-2=(x+2Xt-2).QB:y-2=-x(tt+2t+消t,xy"+2a,-2y+8=0.当仁一2,或仁一1时,必与啰的交点坐标也满足上式,所以点的轨迹方程是x2-y2+2x-2x-2y+8=0.例5、设点/和8为抛物线/=40心0)上原点以外的两个动点,如J_必,OMLAB,求点"的轨迹方程,并说明它表示什么曲线.解法一：设5,力,直线"的方程为产如叶力由OMLAB,得心一直y由/=4px及y=k咕

6、b,消去y,得夕+(24640)广二.所以Xie=%,万斤芈,kK由OALOBy得万疗一£毛所以芈二一%,b=-4kpk1故y=kxb=k(x-4p),得x+y4px=0(#:0)故动点的轨迹方程为+/4存=0(#0),它表示以(20,0)为圆心,以功为半径的圆,去掉坐标原点.设/£,8沃,%,“凡力依题意,解法二：一得y一为%+%=4夕为一冬假设不#石,那么有组匹=为一七力+>'2万斤一167/代入,得上=-三力+'2'斤=4*y22=4匹X|x2匕2m-XXj-x2力一y2yy1Xj-x2x-X|X,得%2%2=16力天后代入上式有代入,得

7、出？二可所以x-4_4一y力+%4入-一力2即4"-%2=/必+为一y；一万为、代入上式,得/+/4存=0杼0当矛尸无时,四,X轴,易得"4夕,0仍满足方程.故点的轨迹方程为,+/40尸0#0它表示以20,0为圆心,以20为半径的圆,去掉坐标原点.轨迹方程练习1=1“>>0所围成的封闭图形的面积为b运动时,求点"的轨迹方程;1.08、山东文22巳知曲线G：?+吼假设M是L与椭圆C?的交点,求AAM8的面积的最小值.解：1由题意得'lab=4"ab_2y/5=>/=5,/=4.y/a2+b2A椭圆方程：!+=154假设AB所在的斜

8、率存在且不为零,设AB所在直线方程为y=kxkWO,A必,yA.由,工+上=154)=k；20.20公xa=,yi=-A4+5K4+5?20(1+公)4+5g设M(x,y),由M()=X|0A(入W0)n|M0=V|0A尸/+/2=万也咛.4+5K由于L是AB的垂直平分线,所以直线L的方程为尸代入上式有:20(l+J)2,2x2+y2=A2=彳22°(：),由x2+y20=>5x2+4y2=2022,4u厂4y-+5.V4+5x厂当k=°或不存时,上式仍然成立.综上所述,M的轨迹方程为%?入入工.当k存在且心.时,.言券nlOA-I20(1+6)4+5公由=>+

9、=h-=|OA|220(1+犷)20(1+k2)204+5父5+46+,4220k2)20SA/20(1=>x：.=>=r=>IOMh=一1"5+4代5+4k25+4公s=Lx2xIOAIxI081=IOAIxI0812翌,-X/laW“29当且仅当4+5妙=5+4妙时,即1<=±1时等号成立.当忆=°,Saw8=gx2"x2=2逐>与；当A不存在时,S=Jx逐x4=2>/5>.4y综上所述,的面积的最小值为掌2. (07、江西理21)设动点P到点4-1,0)和8(1,0)的距离分别为4和刈,ZAP5=28,且存

10、在常数0v/lvl),使得4d2.2.=4.(1)证实：动点尸的轨迹.为双曲线,并求出C的方程；(2)过点8作直线与双曲线C的右支于M,N两点,试确定力的范围,使.V/丽=0,其中点.为坐标原点.解：1在尸A3中,AB=29即22=片+堤一244cos28,4=4-%2+444./6,即W-囚=斤侧/sin?8=277v2常数,点尸的轨迹.是以AB为焦点、,实轴长2a=2/i=I的双曲线,方程为：=1.1-2z(2)设),N(公,y2)A-(1-2)2x2+2(1-2)Z:2x-(1-A)(k2+A)=0,由题意知：2-(1-2>20一2公(1一/1)T1一(公+=>、+&

11、=4_(_初2,Arx22-(l-2)Z:2,k2A2=>3i>2=6(玉-1)(-1)=:,一心X(1A)K由加：丽=0,且M,N在双曲线右支上,xrv2+y,y2=0所以<x,+x2>0=>xAx2>0k2=k2>2(1-2)A2+2-144(12)4广A2+Z-1>1-2=>-<2<.23A2+2-1>0由®®知与哆3. 09.海南椭圆C的中央为直角坐标系的原点,焦点在工轴上,它的一个顶点到两个焦点的距离分别是7和1.1求椭圆.的方程；2假设P为椭圆C上的动点,"为过P且垂直于x轴的直线

12、上的点,券=/e为椭圆C的离心率,求点"的轨迹方OM程,并说明轨迹是什么曲线.解：(I)设椭圆长半轴长及分别为a,程为二+廿=.167由得一'=>a=4,c=3n椭圆C的方a+c=7(2)设M(x,y),P(%,>o).其中/£4,4,/=X.有雪号=1167由治=得:故16(%+),：)=9(/+),2)【下面是寻找关系式1o=f(x,y),y°=g的过程】式代入：冬十号=1并整理得：y=±-4<x<4,所以点M的轨迹是两条平行于x1673轴的线段.轨迹方程练习24. 09、重庆理巳知以原点.为中央的椭圆的一条准线方程为

13、离心率兰,M是椭圆上的动点.1假设C、D的坐标分别是0,J3、0,73,求IMCI的最大值；2如图,点A的坐标为1,0,点B是圆W+,2=l上的点,点N是点M椭圆上的点在尤轴上的射影,点Q满足条件：OQ=OM+ONtQA-BA=0.求线段QB的中点P的轨迹方程.仆,5/B必解：1设椭圆方程为：二十二=la>b>0.准线方程,=任=4,.=正=:0.=2,=3=1=>a2b23c2a22椭圆方程为：x2+=1.所以：C、D是椭圆犬+二=1的两个焦点niMC|+|MO|=4.|MC|MD44IMCI+IMDI2=4,当且仅当IMCI=IMOI,即点M的坐标为±1,0时上

14、式取等号=>lMCI7MOI的最大值2为4.设M6,%®/,%,.%,为,Naw,O=>4匕+y：=4,%；+yl=1.由丽=丽+而=>?+y=2/2+城=4由Q/iB4=0=>1一4,一/1-a,f=i70if+bl=o=>xQxH+yQyH=xQ+x8-1记P点的坐标为a>,»,由于P是8.的中点=>2xP=xQ+xB92yp=yQ+yB=>X；+>7="；2-2+二"；=J4+X；+片+yl+24勺+2功1乙乙*1I>3=-5+2Xp+xa-1=-5+4xP-2=>X；+y；=-+x

15、?444=>动点P的方程为：“一3'+,尸=1.25. (09、安徽)巳知椭圆二+二=1(a>b>0)的离心率为E.以原点为圆心,以椭圆短半轴长为半径的圆与直线y=x+2相切.(1)求a与b的值；(2)设该椭圆的左,右焦点分别为5和尸2,直线4过F?且与x轴垂直,动直线4与y轴垂直,L2交L1于点p.求线段PE的垂直平分线与直线人的交点M的轨迹方程,并指明曲线类型(2)居(-1,0)、F-,(1,0),由题意可设P(1,t)(tO).那么线段尸片的中点为N(0,y).%的方程为：y=t,设是所求轨迹上的任意点.【下面求直线MN的方程,然后与直线的方程联立,求交点M的轨

16、迹方程】直线PF的斜率k=-,二线段尸片的中垂线MN的斜率=-214yLi,0P=Zf_/1 _.Xuy_=_x.由,2/2 ty=x+It2lXw=f消去参数t得：说=-4xA/,即：y2=-4x,其轨迹为抛物线除原点.又解：由于MN=-x,ytPF=2.T,分T；_y=0,消参数t得:y2.八世4:?(0卜2)/妥落)x,yy).'."MN尸"=0,=-4x(xWO),其轨迹为抛物线(除原点).所以：直线MN的方程为：y=ta/22解：1e=>-=-.又圆心0,0到直线y=x+2的距离d=半径b=-,'=3/3VpTF6. 07湖南理20双曲线/一

17、卡=2的左、右焦点分别为鸟,过点F?的动直线与双曲线相交于AB两点.【直接法求轨迹】1假设动点M满足"A/="X+与片+.其中.为坐标原点,求点M的轨迹方程；2在入轴上是否存在定点C,使瓦赤为常数假设存在,求出点.的坐标；假设不存在,请说明理由.解：(1)由条件知(一2,0),A/(x,y),那么耳=(工+2,y),由耳例="A+耳3+片.=><尸x+2=x+x2+6J=X+)2=><的中点坐标为x4T-y2)当A8不与x轴垂直时,苔_&工_4x8I-v即%一见=一内一当x-8又由于A,8两点在双曲线上,所以x；y；=2,4一代=2式相减得X4$十='】一为X+2,即X9*-4=XFXB=(x2+2,y2),万1=(2,0),将凹一、=U%-占代入上式,化简得162.=4.x-8当A8与x轴垂直时,的=超=2,求得M8,0,也满足上述方程.所以点M的轨迹方程是-62-,2=4.2假设在x轴上存在定点C?,0,使五而为常数.当A8不与x轴垂直时,设直线A8的方程是,=*一2攵工±1.