导数的乘法与除法法则PPT课件

1、4.2 导数的乘法与除法法则 )()(xgxf)()(xgxf 前面学习了导数的加法与减法法则，下面进行前面学习了导数的加法与减法法则，下面进行复习回顾：复习回顾： 对于导数的乘法与除法法则，我们能否给出这对于导数的乘法与除法法则，我们能否给出这样的结论呢？样的结论呢？)()()()(),()()()(xgxfxgxfxgxfxgxf答案是否定的，那么如何求导数的乘法与除法？请答案是否定的，那么如何求导数的乘法与除法？请进入本节课的学习！进入本节课的学习！1.1.了解两个函数的乘、除的求导公式了解两个函数的乘、除的求导公式. .2.2.会运用公式，求含有和、差、乘、除综合运算的函会运用公式，求

2、含有和、差、乘、除综合运算的函数的导数数的导数. .（重点）（重点）3.3.函数和、差、乘、除导数公式的应用，运用导数的函数和、差、乘、除导数公式的应用，运用导数的几何意义，求过曲线上一点的切线几何意义，求过曲线上一点的切线. .（难点）（难点）探究点探究点1 1 导数乘法公式的推导应用导数乘法公式的推导应用提示：提示： 计算导数的步骤计算导数的步骤 求求y求求xy求求xyx0lim20020yf(x)xf (x ),g(x)x .yf(x)g(x)x f(x)x设函数在处的导数为我们来求在处的导数.解析：解析：给定自变量给定自变量x x0 0的一个改变量的一个改变量x x，则函数值，则函数值

3、y y的的改变量为改变量为220000220000222000000222000000yxxf(xx)x f(x ),(xx) f(xx)x f(x )yxx(xx)f(xx)f(x )(xx)xf(x )xf(xx)f(x )(xx)x(xx)f(x ).xx 相应的平均变化率可写成2200 x0000 x022000 x0 x0,lim(xx)x ,f(xx)f(x ) limf (x ),x(xx)x lim2x ,x 令由于)()()(2xfxxgxf知知 在在x x0 0处的导数值为处的导数值为 因此，因此， 的导数为的导数为)(2xfx22x f (x)(x ) f(x).2000

4、0 x f (x )2x f(x ).抽象概括抽象概括 一般地，若两个函数一般地，若两个函数f(x)f(x)和和g(x)g(x)的导数分的导数分别是别是 ，我们有，我们有 )()(xgxf和f(x)g(x)f (x)g(x)f(x)g (x),2f(x)f (x)g(x)f(x)g (x).g(x)g (x) 比较与加减比较与加减法则的不同法则的不同特别地，当特别地，当 时，有时，有 . .kxg)()()(xf kxkf思考交流：思考交流：下列式子是否成立？试举例说明下列式子是否成立？试举例说明.设设 ，试说明：，试说明：23)(,)(xxgxxf)()()()(xgxfxgxf)()()(

5、)(xgxfxgxf，. .解析：解析：32543223f(x)g(x)x x(x )5x ,f (x)g (x)(x ) (x )3x 2x6x ,显然显然同理同理)()()()(xgxfxgxf)()()()(xgxfxgxf.例例1 1 求下列函数的导数：求下列函数的导数：解：解：（1 1）函数函数y=xy=x2 2e ex x是函数是函数f f（x x）=x=x2 2与与g g（x x）=e=ex x之积，由导数公式表分别得出之积，由导数公式表分别得出xf (x)2x,g (x)e 2xx2x2x(x e )2xex e(2xx )e . 根据两函数之积的求导法则，可得根据两函数之积的

6、求导法则，可得x.xyxxyexyxln)3(.sin)2(.)(21（2 2）函数）函数 是函数是函数 之积，由导数公式表分别得出之积，由导数公式表分别得出xxysinxxgxxfsin)()(与1f (x),g (x)cosx.2 xsinx( x sinx)x cosx.2 x根据两函数之积的求导法则，可得根据两函数之积的求导法则，可得（3 3）函数）函数 是函数是函数 之积，由导数公式表分别得出之积，由导数公式表分别得出根据函数乘法的求导法则，可得根据函数乘法的求导法则，可得xxylnxxgxxfln)()( 与1f (x)1,g (x).x1(xlnx)1 lnxxlnx1.x 例例

7、2 2 求下列函数的导数：求下列函数的导数：2sinxx(1)y; (2)y.xlnxxxysin. 1)(,cos)(xgxxf解：解：(1)(1)函数函数 是函数是函数 f f（x x）=sinx=sinx与与g g（x x）=x=x之商，由导数公式表分别得出之商，由导数公式表分别得出由求导的除法法则得由求导的除法法则得22sinxcosx xsinx 1xcosxsinx.xxx（2 2）函数）函数 是函数是函数 f f（x x）=x=x2 2与与g g（x x）=ln x=ln x之商，根据导数公式表分别得出之商，根据导数公式表分别得出xxyln2.1)(,2)(xxgxxf由求导的除

8、法法则得由求导的除法法则得222212x lnxxxx(2lnx1)x.lnx(lnx)ln x求下列函数的导数：求下列函数的导数：解析：解析：3x1(1)yx sinx.(2)y.x123(1)y3x sinxx cosx. 【变式练习变式练习】22(x1)(x1)(2)y(x1)2.(x1) 探究点探究点2 2 导数四则运算法则的灵活运用导数四则运算法则的灵活运用 较为复杂的求导运算，一般综合了和、差、较为复杂的求导运算，一般综合了和、差、积、商的几种运算，要注意：积、商的几种运算，要注意：(1)(1)先将函数式化简，先将函数式化简，化为基本初等函数的和、差、积、商化为基本初等函数的和、差

9、、积、商.(2).(2)根据导根据导数的四则运算法则和公式求导，注意公式法则的数的四则运算法则和公式求导，注意公式法则的层次性层次性例例3 3 求下列函数的导数：求下列函数的导数：22cosxx(1)yx (lnxsinx).(2)y.x1f (x)2x,g (x)cosx.x解：解：（1 1）函数函数y=xy=x2 2(ln x+sin x)(ln x+sin x)是函数是函数f f（x x）=x=x2 2与与g g（x x）=ln x+sin x=ln x+sin x的积，由导数公式表及和函数的的积，由导数公式表及和函数的求导法则分别得出求导法则分别得出由求导的乘法法则得由求导的乘法法则得

10、2221xlnxsinx2x lnxsinxxcosxxx2xlnx2xsinxx cosx.2cosxxxy.2)(, 1sin)(xxgxxf（2 2）函数函数 可以看成是函数可以看成是函数f f（x x）=cosx-x=cosx-x与与g(x)=xg(x)=x2 2的商，由导数公式表及差函数的求导法则分的商，由导数公式表及差函数的求导法则分别得出别得出由求导的除法法则得由求导的除法法则得222233sinx1xcosxx2xcosxxx(x )(1 sinx)x2cosx2xxsinx2cosxx.xx 求下列函数的导数：求下列函数的导数：22x(1)y4x(x2).(2)y.x1解：解

11、：(1)y4(x2)4x8x8. 【变式练习变式练习】2222222(x1)2x 2x(2)y(x1)22x.(x1) 【提升总结提升总结】利用导数公式及导数运算法则求导的方法利用导数公式及导数运算法则求导的方法观察函数的结构特征，紧扣导数运算法观察函数的结构特征，紧扣导数运算法则，联系基本初等函数的导数公式，分则，联系基本初等函数的导数公式，分析函数能否直接应用导数公式求导析函数能否直接应用导数公式求导. .观察观察分析分析对不易于直接应用求导公式的函数，对不易于直接应用求导公式的函数，适当运用代数、三角恒等变换，对函适当运用代数、三角恒等变换，对函数进行化简，优化解题过程数进行化简，优化解

12、题过程. .求导时应尽量避免使用积或商的求求导时应尽量避免使用积或商的求导法则，可在求导前先化简，然后导法则，可在求导前先化简，然后求导，以简化运算求导，以简化运算. .变形变形化简化简例例4 4 求曲线求曲线 在点（在点（1,11,1）处的切）处的切线方程线方程. .xxxfxln2)(xxxxf (x)x(2 ) lnx2 (lnx)21(2 ln2)lnx.x 112f (1)12 ln2ln13.1 解：解：首先求函数的导函数首先求函数的导函数将将x=1x=1代入代入f f(x),(x),得所求切线的斜率得所求切线的斜率y 13(x1),y3x2. 即 在点（在点（1,11,1）处的切

13、线方程为）处的切线方程为xxxfxln2)(探究点探究点3 3 应用导数运算法则求曲线的切线应用导数运算法则求曲线的切线已知函数已知函数 f(x)ax6x2b的图像在的图像在点点 M(1，f(1)处的切线方程为处的切线方程为 x2y50，求函数，求函数 yf(x)的解析式的解析式 解析：解析：【变式练习变式练习】解得解得 a2，b3 或或 a6，b1(由由 b10，故舍去故舍去 b1)， 所以所求函数解析式为所以所求函数解析式为 f(x)2x6x23. 1.1.函数函数 的导数是（的导数是（ ）2y3x(x2)22A. 3x6B. 6x C C8354xxy334255(4x3)A.B.4x3

14、(x3x8) 2.2.函数函数的导数为（的导数为（ ） D D22C. 9x6D. 6x63425(4x3)C. 0D.(x3x8) 3. 3. 函数函数xxycos2的导数为的导数为( )( )2222A. y2xcosxx sinxB. y2xcosxx sinxC. yx cosx2xsinxD. yxcosxx sinxA A4.4.下列求导数运算正确的是下列求导数运算正确的是 ( )( )2222xx32111A. x1 B. log xxxxln2x2xcosxx sinxC. 33 log e D. cosxcosx B B3ln4yx 430 xy5.(20125.(2012新课标全国卷新课标全国卷) )曲线曲线y=x(3ln x+1)y=x(3ln x+1)在点在点（1,11,1）处的切线方程为）处的切线方程为_. .【分析分析】通过求导得切线斜率，一点一斜率可确定通过求导得切线斜率，一点一斜率可确定切线方程，最后将方程化为一般式切线方程，最后将方程化为一般式. .解析：解析：由曲线方程得由曲线方程得 ，所以曲线，所以曲线y=y=x(3ln x+1)x(3ln x+1)在点（在点（1,11,1）处切线的斜率）处切线的斜率