高中数学必修一《指数函数及其性质》导学案

1、2.1.2指数函数及其性质【学习目标】1 .了解指数函数模型的实际背景,熟悉数学与现实生活及其他学科的联系.2 .理解指数函数的概念和意义,能画出具体指数函数的图象,探索并理解指数函数的单调性和特殊点.3 .在学习的过程中体会研究具体函数及其性质的过程和方法,如具体到一般的过程、数形结合的方法等.4 .熟练掌握指数函数的图象和性质.5 .会求指数型函数y=kax(kCRa0且awl)的定义域、值域,并能判断其单调性.6 .理解指数函数的简单应用模型,培养数学应用意识.【自主梳理】1 .函数y=ax(a0,且awl)叫做,其中x是自变量.由于指数的概念已经扩充到有理数和无理数,所以在底数a0的前

2、提下,x可以是任意实数,所以指数函数的定义域为.2 .底数为什么不能是负数、零和1?,x,1(1)当a0时,如y=(-2),当x=51,一一,等时,在实数范围内函数值不存在;4(2)当a=0时,假设x0,且aw1)的表达式中,ax的系数必须是1,自变量x在指数的位置上.例如：函数y=2x,y=(2)、是;但y=2-3x,y=2、+1等不是指数函数.答案：1.指数函数R4 .指数函数【重点领悟】5 .指数函数y=ax(a0,且aw1)的图象和性质：向工、y轴正负方向无限延伸图象关于原点和y轴不对称函数图象都在*轴I.方00,山产I1的性质由数的位域为R*A0,x(haxIxo.“yh函救的定义M

3、为R11奇IH禺函数i,成小心函数值开始增氏较慢,到广JE值后增长速度极快5.将函数y=2x的图象向右平移一个单位即可得到函数的图象.0口1自左向右看1国象逐渐上升0/11自左向右看.图象逐渐下降在第象限内的图象纵坐标都大于在第象限内的图象纵坐标都小于1在第二象限内的图象纵坐标都小于1在第二象限内的图象纵坐标都大于1图象上升趋仍是域来越陡图象卜降趋势是越来越缓函数图象都过定点(OJ)6 .设“*)=2)0且2金1),那么有：f(0)=,f(1)=；假设xW0,贝U;假设xw1,那么;f(x)取遍所有正数当且仅当：.7 .指数函数增长模型：设原有量为N,年平均增长率为p,那么经过时间x年后的总量

4、y=答案：5 .y=2x16 .1af(x)0且f(x)wif(x)0且f(x)waxCRN(1+p)xy7.【探究提升】1) .如何判断指数函数？指数函数的定义域是什么？解析：形如丫=2,(20且2金1)的函数叫指数函数,它是一种形式定义.由于a0,x是任意一个实数时,ax是确定的实数,所以函数的定义域为实数集R.2) .指数函数中,规定底数a大于零且不等于1的理由？解析：如果a=0,11x如果a0且aw1.3) .指数函数的图象变化与底数大小的关系是什么？解析：底数越大,函数的图象在y轴右侧局部越远离x轴,此性质可通过x=1的函数值大小去理解.4) .指数函数y=2x的函数值域为1,+8)

5、,那么x的范围是多少？5) .指数函数y=2x的函数值能否为负值?不能【学法引领】【例1】函数y=(a2)2ax是指数函数,那么()A. a=1或a=3B. a=1C. a=3D. a0且awl_2(a2)21解析：由指数函数定义知i),所以解得a=3.a0,且a1,答案：C【例2】以下函数中是指数函数的是(填序号).X11y=2点x；y=2X1；丫二；y=xX；y=3X;y=x3.2解析:序号是否理由否(J2)x的系数不是1否2、t的指数不是自变量x是满足指数函数的概念否底数是x,不是常数否指数不是自变量x否底数不是常数且指数不是自变量x答案：【例3】函数y=(代1)x在R上是()A.增函数

6、B,奇函数C.偶函数D.减函数解析：由于0vJ311,所以函数y=(J31)x在R上是减函数.由于f(-1)=(73-1)1=也1,f(1)=731,那么f(1)wf(1),且f(1)w2f(1),所以函数y=(百1)x不具有奇偶性.答案：D【例4】如图是指数函数y=ax,丫二日,丫=/y=dx的图象,那么a,b,c,d与1的大小关系是()B. bvavlvdvcC. 1abcdD. avbvlvdvc解析：(方法一)在中底数小于1且大于零,在y轴右边,底数越小,图象越靠近x轴,故有ba.在中底数大于1,底数越大,图象越靠近y轴,故有dd1ab.应选B.答案：B析规律底数的变化对函数图象的影响

7、当指数函数底数大于1时,图象上升,且当底数越大,图象向上越靠近于y轴,当底数大于0小于1时,图象下降,底数越小,图象向下越靠近于x轴,简称x0时,底大图象高.【例5】某乡镇现在人均一年占有粮食360kg,如果该乡镇人口平均每年增长1.2%,粮食总产量平均每年增长4%那么x年后假设人均一年占有ykg粮食,求y关于x的函数解析式.分析：在此增长模型中,基数是360,人口的平均增长率为1.2%,粮食总产量的平均增长率为4%由此可列出1,2,3,年后的人均一年占有量,观察得到所求的函数解析式.解：设该乡镇现在人口数量为M那么该乡镇现在一年的粮食总产量为360Mkg.1年后,该乡镇粮食总产量为360M(

8、1+4%)kg,人口数量为M1+1.2%),那么人均一年占有粮食为360M(14%)kg,M(11.2%)2360M(14%)2年后,人均一年占有根食为2kg,M(11.2%)360M(14%)x年后,人均一年占有根食为y=-kg,M(11.2%)x即所求函数解析式为*(xN).1.043601.012点技巧指数增长模型的计算公式在实际问题中,经常会遇到指数增长模型：设基数为N,平均增长率为p,那么对于经过时间x后的总量y可以用y=N1+P)来表示.这是非常有用的函数模型.【稳固练习】1 .函数刈=产力的定义域是()A.(巴0)B.0,+oo)C.(一00,0D.(一00,十00)解析：由12

9、、0,得2x1,由指数函数丫=2、的性质可知x0.答案：C2. 一种细胞在分裂时由一个分裂成两个,两个分裂成四个,四个分裂成八个,每天分裂一次,现在将一个该细胞放入一个容器,发现经过10天就可充满整个容器,那么当细胞分裂到充满容器的一半时需要的天数是()A.5天B.6天C.8天D.9天答案：D3 .假设0vav1,b0且aw1),对于任意实数x,y都有()A. f(xy)=f(x)f(y)B. f(xy)=f(x)+f(y)C. f(x+y)=f(x)f(y)D. f(x+y)=f(x)+f(y)解析：f(x+y)=ax+y=axay=f(x)f(y).应选C.答案：C5 .将函数y=2x的图象先向右平移1个单位,再向上平移2个单位可得到函数的图象.答案：y=2x+21xx5.函数y=-2在区间1,1上的最大值为.3解析：=y=弓*一2K在区间一1,1上是单调减函数,当x=1时,有最大值为-.32答案：2【知识网络】1 .根式的定义：nya叫做根式n叫做根指数,a叫做被开方数.2 .根式的性质：(1)当n为奇数时,V亚(n/a)na,(aR)；(2)当n为偶数时,7|a|,(aR)；(Va)na,(a0).注意：当n为偶数时,Va包含两个隐含条件a0;va0.3 .根式与指数塞的转化:(1)分数指数哥：na(2)0指数塞:(a0);(3)负指数哥:(a0).4 .哥