静电场的边值问题

1、1静电场的边值问题1 .镜象法的理论依据是（）。基本方法是在所求场域的外部放置镜像电荷以等效的取代边界表面的（）。2 .根据边界面的形状，选择适当的坐标系，如平面边界，则选直角坐标；圆柱面选圆柱坐标系；球面选球坐标。以便以简单的形式表达边界条件。将电位函数表示成三个一维函数的乘积，将拉普拉斯方程变为三个常微分方程，得到电位函数的通解，然后寻求满足条件的特解，称为（）3 .将平面、圆柱面或球面上的感应电荷分布（或束缚电荷分布）用等效的点电荷或线电荷（在场区域外的某一位置处）替代并保证边界条件不变。原电荷与等效点电荷（即通称为像电荷）的场即所求解，称为（），其主要步骤是确定镜像电荷的位置和大小。4

2、 .（）是一种数值计算方法，把求解区域用网格划分，同时把拉普拉斯方程变为网格点的电位有限差分方程（代数方程）组。在已知边界点的电位值下，用迭代法求得网格点电位的近似数值。5 .用镜像法求解电场边值问题时，判断镜像电荷的选取是否正确的根据是（）（A.镜像电荷是否对称B.电位所满足的方程是否未改变C.边界条件是否保持不变D.同时选择B和C4446 .微分形式的安培环路定律表达式为WmHJ,其中的J（）oA,是自由电流密度B.是束缚电流密度C.是自由电流和束缚电流密度D.若在真空中则是自由电流密度；在介质中则为束缚电流密度7 .在边界形状完全相同的两个区域内的静电场，满足相同的边界条件，则两个区域中

3、的场分布（）。A.一定相同B.一定不相同C.不能断定相同或不相同8 .两相交并接地导体平板夹角为,则两板之间区域的静电场（）。A.总可用镜象法求出。8 .不能用镜象法求出。C.当a=n/n且n为正整数时，可以用镜象法求出。D.当"=2乳小且n为正整数时，可以用镜象法求出9 .将一无穷大导体平板折成如图的900角，一点电荷Q位于图中（1,冗/6）点处，求所有镜像电荷的大小和位置并在图中标出10 .两个平行于XOY面的极大的金属平板，两平板间的距离为d,电位差为%。求两板间的电位及电场分布11 .两块彼此平行的半无限大接地金属板，板间距离为b,两平行板的一端另有一块电位为玲的极长的金属条

4、，它们之间缝隙极小，但彼此绝缘。求两板间的电位分布。12 .四块彼此绝缘（相隔极小的缝隙）的无限长金属板构成一个矩形空管，管子截面为axb,上下两块板电位为零（接地），右侧板电位为十,左侧板上电包=0位的法向导数为零，即加。求管内的电位分布规律。13 .求导体槽内的电位。槽的宽度在x和z方向都为无穷大，槽由两块T形的导体构成，两块间有一狭缝，外加恒定电压环。14 .一根半径为a,介电常数为£的无限长介质圆柱体置于均匀外电场片中，且与册相垂直。设外电场方向为传由方向，圆柱轴与z轴相合，求圆柱内、外的电位函数。15 .同心金属球，内外导体半径分别为a和b,内导体电位为,1,外导体电位为匕

5、，空气介质填充，求该球形电容器的电容C16 .均匀电场就中置一半径为a的介质球。介质球的介电常数为£,球外空气为与。球介质球内外的电位分布规律17 .均匀电场中的金属球，一孤立导体金属球，半径为a,置于均匀电场练中。金属球为等位体，球内电场等于零。求外电场则为感应电荷的电场与原均匀电场之和，试求球外的电位及电场18 .一个半径为a的导体球壳，沿赤道平面切割出一窄缝，在两半球壳上外加电压环。并且使下半球壳的电位为零（接地），上半球壳的电位为明。计算球内的电位19 .求单导线的对地电容。一根极长的单导线与地面平行。导线半径为a,离地高度为h,求单位长度单导线地对地电容20 .两根无限长平

6、行圆柱，半径均为a,轴线距离位Do求两圆柱间单位长度上的电容21 .一长方形界面的导体槽，槽可以视为无限长，其上有一块与相绝缘的盖板，槽的电位为零，盖板的电位为畤，求槽内的电位函数22 .两平行的无限大导体平面，距离为b,其间有一极薄由y=d到y=b(-00<X<00)o上板和薄片保持电位环，下板保持零电位求板间电位的解。4=y设在薄片平面上，从丫=0到丫=,电位线性变化，d。提示：应用叠加原理。把场分解成两个场相叠加：一是薄片不存在，两平行板(加电压环)的场;一是薄片和两个电位为零的平板间的场。注意两个场叠加后满足题给的边界条件。23 .导体槽，底面保持电位环，其余两面电位为零，

7、求槽内的电位的解24 .一长、宽、高分别为a、b、c的长方体表面保持为零电位，体积内填充密度提示：假设可以用三维p=sin(一)sin(一)yy-b)为11,的电荷。球体积内的Q。(p=TZEsin()sm()皿(一)傅里叶级数表示为式HLibbt,并将P展成相似的三维傅里叶级数，把S和P的展式代入泊松方程：”决定系数4恻。25 .一对无限大接地平行导体板。板间有一与z轴平行的线电荷,其位置为(0,d),求板间的电位函数。26 .矩形槽电位为零，槽中有一与槽平行的直线电荷引T%。求槽内的电位函数27 .在均匀电场后二a4中垂直于电场方向放置一导体圆柱，圆柱半径为a。求圆柱外的电位函数和导体表面

8、的感应电荷密度。28 .考虑一介电常数为E的无限大的介质，在介质中沿z轴方向开一个半径为a的圆柱形空腔。沿x轴方向加一均匀电场为，求空腔内和空腔外的电位29 .一个半径为b,无限长的薄导体圆柱面被分割成四分之一圆柱面。第二象限和第四象限的四分之一圆柱面接地，第一象限和第三象限分别保持电位环和4。求圆柱内部的电位分布30 .一无限长介质圆柱，在距离轴线20(为>公处,有一与圆柱平行的线电荷外计算空间各部分的电位31 .一无限长导体圆柱，在距离轴线0(")公处,有一与圆柱平行的线电荷外计算空间各部分的电位32 .在均匀电场E中放入半径为a导体球，设(1)导体充电至环；(2)导体上充

9、电荷量Q试分别计算两种情况下球外的电位分布。33 .无限大介质中外加均匀电场&二扁，在介质中有一半径为a的球形空腔,求空腔中的E和空腔表面的极化电荷密度(介质的介电常数为E)34.空心导体球壳内、外半径分别为外,球中心放置一偶极子/二与4P,球壳上的电量为Q试计算球内外的电位分布和球壳上的电荷分布35. 欲在一半径为a的球上绕线圈使在球内产生均匀场，问线圈应如何绕（即求绕线密度）？（提示：计算表面电流密度八二4人。）36. 一半径R的介质球带有均允极化强度巨。（1）证明：球内的电场强度是均匀P的，等于7;（2）证明：球外的电场与一个位于球心的偶极子氏产生的电场相同，二37. 半径为a的

10、接地导体球，离球心也）处放置一点电荷q。用分离变量法求电位分布38. 一根密度为外长为2a线电荷沿z轴放置，中心在原点上。证明：对于r>a二（2+三（ccsB）+月（8£句+-.）的点，有2叫r%5r0提示：将线电荷分为线元分应，按点电荷写出r>z的dQ的球坐标的展开式，再积分39. 一半径a的细导线圆环，环与xy平面重合，中心在原点上。环上总电荷量为Q。证明：空间任意点电位为r<ar>a电=占口口?（侬6）+/二）?（8S6）+47rse02a8a一U-；（2尸舄（3+1（3无（侬6）+t1jTEfi/roV40. 一点电荷q与无限大导体平面距离为d,如果把

11、它移到无穷远处，需要做多少功？41. 一电荷量为q质量为m的小带电体，放置在无限大导体平面下方，与平面距离h。求q的值以使带电体上受到的静电力与重力相平衡（设鹤=2x10.炮，30.02m）。42. (1)证明：一个点电荷q和一个带有电荷量Q半径为R的导体球之间的力是rd,4go0'(鸟吓一D.,式中D是q到球心的距离。(2)证明：QRD3R<_当q与Q同号，且0(以一君。成立时F表现为吸引力。43 .两点电荷(+Q)和(-Q)位于一个半径为a的导电求直径的延长线上，分别距球心D和(-D)。2/Q(1)证明：镜像电荷构成一偶极子，位于球心，偶极距为D2；0_(2)令D和Q分别趋于

12、无穷，同时保持Q不变，计算球外的电场。44 .一与地面平行架设的圆界面导线，半径为a,悬挂高度为h0证明：导线与备一rarcosh(-)地间的单位长度上的电容为/。45 .上题中设导线与地间电压为U。证明：地对导线单位长度的作用力为日_兀刎°。_rnarcoshf-)3-严K=-(-C.U2)La。提示：利用虚位移法a力泌2046 .一个二维静电场，电位函数为3(彳，力，边界条件为上100V下50V左0V右100V,将正方形场域分成20个正方形网格。有16个内部网格点。假定16个网格点的初始值都定为零，试用超松弛法确定16个内网格点的电位值。(本题最好在计算机上求解)47 .电荷均匀

13、分布于两平行的圆柱面间的区域中，密度为p,两圆柱半径分别为a和b,轴线相距c,且a+c<b,如图所示，求空间各区域的电位移和电场强度。48 .半径为a的球中充满密度p(r)的体电荷，已知电位移分布为(3+r-a小+2、r-aZ其中A为常数，试求电荷密度p(r)。49 .验证下列标量函数在它们各自坐标中满足2小=0求：(1)sin(kx)sin(ly)exp(-hz)其中h2=k2+l2；(2) rncos(n(|)+Asin(n(|)圆柱坐标；(3) rncos(n(|)圆柱坐标；(4) rcos小球坐球；(5) r2cos小球坐球。50.已知y>0的空间中没有电荷，下列几个函数中

14、哪些可能是电位函数解?(1) expycoshx；(2) exp(-y)cosx；(3)时(一扬)加"口巴(4)sinxsinysinz51 .中心位于原点，边长为l的电介质立方体极化强度矢量求：(1)计算面和体束缚电荷密度；(2)证明总的束缚电荷为零。52 .平行板电容器的长、宽为a和b,板间距离为do电容器的一半厚度(0d/2)用介电常数为&的电介质填充。(1)板上外加电压U0,求板上的自由电荷面密度、束缚电荷；(2)若已知极板上的自由电荷总量Q,求此时极问电压和束缚电荷;(3)求电容器的电容量。53 .在介电常数e的无限大均匀介质中，开有如下的空腔，求各个空腔中的E和D

15、;(1)平行于E的针形开腔;(2)底面垂直于E的薄盘形空腔;54.考虑一电导率不为零的电介质(8),设其介质特性和导电特性都是不均匀的。证明当介质中有恒定电流J时，体积内将出现自由电荷，体密度为。试问有没有束缚体电荷pp?若有则进一步求出pp55 .两层介质的同轴电缆，介质分界面为同轴的圆柱面，内导体半径为a；分界面半径为b,外导体内半径为C；两层介质的介电数为e1和e2,漏电导为T1和丫2。当外加电压U0时，计算介质中的电场强度，分界面上的自由电荷密度，及单位长度的电容及漏电导。56 .半径为R1和R2(R1<R2=的两个同心球面之间充满了电导率为r=r1(的材料(K为常数)，试求两理

16、想导体球面间的电阻。57 .在一块厚为d的导体材料板上，由两个半径为ri和r2的圆弧和夹角为a的两半径割出的一块扇形体，如图所示。(导体材料的电导率为Y)求：(1)沿厚度方向的电阻；(2)两圆弧面间的电阻；(3)a方向的电阻。注意：外加电压时电极的面积与相应电阻的截面相同，电极为理想导体。58 .证明：同轴线单位长度的静电储能W*于q12/2Cq1为单位长度上的电59 .平行板电容器电容量80,其中S是板的面积，d为间距，忽略边缘效应。(1)如果把一块厚度为Ad的不带电金属插入两级板之间，但不与两极接触，则在原电容器电压一定的条件下，电容器能量如何变化？电容如何变化？(2)如果在电荷一定的条件

17、下，将一块电介质片插入电容器(与电容器极板面积垂直地插入)，则电容器能量如何变化？电容量又如何变化？60 .一半径为a的薄球壳内表面涂覆了一薄层绝缘膜，球内充满了总电荷量为Q设球内介质为的体电荷，球壳上又另充有电量Q,已知内部的电场为真空。计算：(1)球内的电荷分布；(2)球外表面的面电荷分布。61 .两个无限长的同轴圆柱半径分别为r=a和r=b(b>a)的同轴圆柱表面分别带有面电荷(T1和(T2。(1)计算各处的电位移D0,(2)欲使r>b区域内D0=Q则61和62应具有什么关系？62 .长度为L的线荷带有均匀电荷密度pL0,(1)计算线电荷平分面上的电位函数4;(2)利用直接积

18、分法计算平分面上的E,并用一皿核对。5.K尸=居一63 .一半径为R的介质球内极化强度,r，其中K是一常数。(1)计算束缚电荷的体密度和面密度；(2)计算自由电荷密度；(3)计算球内、外的电位分布。64 .两电介质的分界面为z=0平面。已知£r1=2和£r2=3,如果已知区域1中f的£二42>一52工+7。+7)我们能求出区域2中哪些地方的E2和D2?能求出2中任意点的E2和D2吗？65 .电场中有一半径a的介质球，已知球内、外的电位函数分别为：队=一综rcos6+g+2品Bnrcos3验证球表面的边界条件，并计算球表面的极化电荷密度66 .一个有两层介质（

19、£1,£2）的平行板电容器，两种介质的电导率分别为丫1和丫2,在外加电压U时，求通过电容器的电流和充电时聚集在两层介质分界面上的自由电荷密度。电容器的结构如图所示。67 .在面积为S的平行板电容器中填充介电常数作线形变化的介质，从一极板（y=0）处的£1一直变化到另一极板（y=d）处的£2,求电容量。68 .有一半经a,带电量q的导体球，其球心位于两种介质的分界面上，此两种介质的介电常数分别为e1和e2,分界面可是为无限大平面。求（1）球的电容；（2）总静电能。69 .两平行的金属板，板间距离为d,竖直地插在介电常数为e的液体中，板间布甫、如一而#

20、87;、»聿+加电压U,证明披面开图为：幽g加为减体的密度，g为重力加速度。70 .可变空气电容量，当动片由0°至180°旋转时，电容量由25至350pF直线地变化，当动片为8角时，求作用于动片的力矩，设在动片与定片间电压为400V。71 .如图所示，一个半径为a的半圆环上均匀分布线电荷，其电荷线密度为pL。arVPl求垂直于圆环平面的轴线上的电位(|)(z)和电场强度E(z)。72 .两个半径均为a的导体球，球心相距为d,且d：»a。设两球分别带电荷q1和q2,计算此导体系统的静电能量；若用细导线将两个导体球连接起来，静电能量有什么变化？73 .设原子

21、核是一个带正电的点电荷，其电荷量为q,周围均匀分布有带负电荷的球形电子云。电子云半径为r0,总电荷量为-q。试求原子模型的结合能。74 .把一带电量为q,半径为a的导体球切成两半，求两半球之间的电场力。75 .将介电常数为e,内外半径分别为a和b的介质球壳从无限远处移至真空中的点电荷Q的电场中，并设点电荷Q位于球心处。求此过程中电场力所做的功。76 .填充有两层介质的同轴电缆，内导体半径为a,外导体内半径为c,介质分界面的半径为bo两层介质的介电常数分别为e1和e2,电导率分别为丫1和丫2。设内导体的电位为U0,外导体接地。求：(1)两导体之间的电流密度和电场强度分布；(2)介质分界面上的自由

22、电荷密度；(3)同轴线单位长度的电容及漏电阻。77 .电导率为T的无界均匀漏电电介质内有两个半径分别为R1和R2的理想导体小球，两球之间的距离为d(d>>R1,d>>R2),试求两小导体球面间的阻。(只求一级近似解)78 .一半径为b的球体内充满密度为p=b2r2的电荷，试用直接积分法计算球内外的电位和场强。79 .已知同轴线的内导体半径为a,电位为V,外导体接地，其内半径为bo试求内外导体之间的电位分布函数以及电场强度。80 .两个相互平行的半无限大接地导体平面，间距为d,具有限端被电位为中0的导电平面封闭，且与无限大接地导体平面绝缘，如图所示。试求三个导体平面形成的

23、槽中电位分布。81 .设一根无限长、半径为a的导体圆柱放入无限大的均匀静电场中，电场强度方向垂直于导体圆柱，如图所示。试求导体圆柱外的电场强度82 .设半径为a,介电常数为s的介质球放在无限大的真空中，受到其内均匀电场E0的作用，如图所示。试求介质球内的电场强度。83 .设半径为a,介电常数为名的介质球放在无限大的真空中，受到其内均匀电场E0的作用，如图所示。试求介质球内的电场强度。P1,求垂直于圆平面的轴线-2q位于（a,0,0）处，求电位84 .两点电荷qi=8C,位于x轴上x=4处，qi=-4C,位于y轴上y=4处,求z轴上点（0，0,4）处的电场强度。85 .一个半径为a的半圆上均匀分

24、布着线电荷密度为上z=a处的电场强度。86 .一个点电荷+q位于（-a，0,0）处，另一个点电荷等于零的面；空间中有电场强度等于零的点吗?87 .真空中一个球心在原点的半径为a的球面，在点（0,0，a灰口（0Qa）处分别放置点电荷+q和一q,试计算球赤道圆平面上电通密度的通量。88 .试求半径为a,带电量为Q的均匀带电球体的电场。89 .两无限长的同轴圆柱导体，半径分别为a和b（a<b）,内外导体间为空气,如题图所示。设同轴圆柱导体内、外导体上的电荷均匀分布，其电荷密度分别为%和P5,求空间各处的电场强度；两导体间的电压;"".一一.一要使rAb区域内电场强度等于零，

25、则和S2应满足什么关系？90 .半径分别为a和b（ab）,球心距离为c（c<a-b）的两球面间均匀分布有体密度为气的电荷，如题图所示。求空间各区域的电通量密度。91 .长度为21的线电荷，电荷的线密度为匕，求（1）空间任一点的电位函数（2）求线电荷平分面上的电位函数。92 .一半径为2的薄导体球壳，在其内表面涂覆了一层薄的绝缘膜，球内充满总电量为Q的电荷，球壳上又另充了电量为Q的电荷，已知内部的电场为E=ar'aJ,计算球内电荷分布；球的外表面的电荷分布；球壳的电位；球心的电位。93 .电场中有一半径为a的圆柱体，已知圆柱内、外的电位为=0,r_a、/a2、小4=Ar-!cosQ

26、r之a.<rJ求(1)圆柱体内、外的电场强度；(2)这个圆柱是由什么材料制成的？表面有电荷吗？试求之;94.二-E0rcos二3.aE0COSU电场中一半径为a的介质球，已知球内、外的电位函数分别为此介质球表面的边界条件如何？计算球表面的电荷密度。95 .设z=0为两电介质的分界面，在z>0的区域i中充满相对介电常数为8r1=2的介质，而在z<0的区域2中充满相对介电常数为空2=3的介质。已知区域1中的电通量密度为Dl=ax2yTy2x+az(2+z)我们能求出区域2中哪些地方的E2ftD2?能求出2中任意点处的E2和D2吗？d件x/d4=4d0-1196 .两无限大平行板电

27、极，距离为d,电位分别为。和U。，板间充满电荷密度为*oX/d,如题图所示。求极板间的电位分布和极板上的电荷密度。97 .无限大空气平行板电容器的电容量为C。，将相对介电常数为片=4的一块平板平行地插入两极板之间，如题图所示。(1)若保持电荷一定的条件下，使该电容器的电容值升为原值的2倍，问所插入板的厚度必与电容器两板之间距离d的比值为多少？H_2.d1d(2)若插入板的厚度3,保持电容器电压不变的条件下，电容器的电容量将变为多少？98.同轴电容器内导体半径为a,外导体内直径为b,在a<r<b'部分填充介电常数为名的电介质，求：单位长度的电容；若a=5mm、b=10mm、b

28、'=8mm,内外导体间所加电压为10000V,介质的相对介电常数为斗=5,空气的击穿场强为3NV/m,介质的击穿场强为ZOdV/m,问电介质是否会被击穿？99.在介电常数为名的无限大均匀介质中，开有6勺如下空腔：平行于E的针形空腔；底面垂直于E的气鼻薄盘形空腔；0J求各空腔中的E和D100.一个有两层介质（2）的平行板电容器，两种介质的电导率分别为小和电容器极板的面积为S,如题图所示。在外加电压为U时，求：电容器的电场强度；两种介质分界面上表面的自由电荷密度；电容器的漏电导；当满足参数5电=仃2的时，问G/C=?（C为电容器电容）。101 .半球形电极位置靠近一直而深的陡壁，如题图所示

29、。若a=0.3m,h=10m,土壤的电导率2仃=10S/m,求接地电阻。102 .已知在所研究的区域没有电荷，问下列标量函数中哪些可能是电位函数的解？（1）rcos（n中）圆柱坐标系(2) cos平球坐标系(3) expJJ'ysinx8sx直角坐标系103.半径为RDR2（R<R2）的两个同心球面之间充满了电导率为(J''1+K）I,试求两理想导体球面间的电阻r1的材料（K为常数）104.设一点电荷q与无限大接地导体平面的距离为d,如题图所示。求：空间的电位分布和电场强度；导体平面上的感应电荷密度；点电荷q所受的力。105,两无限大导体平板成6°二角放

30、置，在其内部x=1、y=1处有一点电荷q,如题图所示。求：所有镜像电荷的位置和大小；x=2、y=1处的电位。106. 一个沿z轴很长且中空的金属管，其横截面为矩形，管子的三边保持零电位，而第四边的电位为U,如题图所示。当U=u°时，求管内的电位分布;=U°siniy1b人再求管内的电位分布107. 一沿*y轴方向无限长的导体槽，底面保持电位为U。，其余两面的电位为零，求槽内的电位函数。108. 两平行的距离为b的无限大导体平面，其间有一沿x方向无限长的极薄的导体片由丫=到丫=外如题图所示。上板和薄片保持电位为U0,下板保持零电位，求板间的电位分布。设在薄片平面上，从到y=d

31、,电位线性变化,Uo109. 同轴圆柱电容器的内导体半径为a,外导体半径为b,两导体间区域0<9中0中填充介电常数为名的电介质，其余部分为空气，如题图所示，求单位长度的电容。110. 一同轴线的内导体半径为a,外导体半径为b,电缆内充满击穿强度一定的均匀电介质。在b一定的条件下，改变a时电缆的耐压也会改变。试求电缆两4.导体间可忍受最大电压时的a值。若电介质的击穿场强为Emax=510V/mm的聚乙烯，6=8.16cm,则a=?时耐压最大？求电缆所承受的最大电压。111 .同心导体球形电容器内球半径为a,外球半径为b,厚度可以忽略。内、外球之间的下半部分填充介电常数为£的电介质，内球带电荷Q如题图所示。试求：(1)空间的场强分场;(2)空间的电位分布;(3)电容