高中数学选修2-2推理与证明教案及章节测试及答案

1、推理与证实一、核心知识1 .合情推理1归纳推理的定义：从个别事实中推演出一般性的结论,像这样的推理通常称为归纳推理.归纳推理是由局部到整体,由个别到一般的推理.2类比推理的定义：根据两个或两类对象之间在某些方面的相似或相同,推演出它们在其他方面也相似或相同,这样的推理称为类比推理.类比推理是由特殊到特殊的推理.2 .演绎推理1定义：演绎推理是根据已有的事实和正确的结论包括定义、公理、定理等根据严格的逻辑法那么得到新结论的推理过程.演绎推理是由一般到特殊的推理.2演绎推理的主要形式：三段论“三段论可以表示为：大前题：M是P小前提：S是M结论：S是Po其中是大前提,它提供了一个一般性的原理；是小前

2、提,它指出了一个特殊对象；是结论,它是根据一般性原理,对特殊情况做出的判断.3 .直接证实直接证实是从命题的条件或结论出发,根据的定义、公理、定理,直接推证结论的真实性.直接证实包括综合法和分析法.1综合法就是“由因导果,从条件出发,不断用必要条件代替前面的条件,直至推出要证的结论.2分析法就是从所要证实的结论出发,不断地用充分条件替换前面的条件或者一定成立的式子,可称为“由果索因.要注意表达的形式：要证A,只要证B,B应是A成立的充分条件.分析法和综合法常结合使用,不要将它们割裂开.4反证法1定义：是指从否认的结论出发,经过逻辑推理,导出矛盾,证实结论的否认是错误的,从而肯定原结论是正确的证

3、实方法.（2） 一般步骤：1假设命题结论不成立,即假设结论的反面成立；从假设出发,经过推理论证,得出矛盾；从矛盾判定假设不正确,即所求证命题正确.(3)反证法的思维方法：正难那么反.5.数学归纳法(只能证实与正整数有关的数学命题)的步骤(1)证实：当n取第一个值nO(nOGN*)时命题成立；假设当n=k(kN*,且kNnO)时命题成立,证实当n=k+l时命题也成立由(1),(2)可知,命题对于从nO开始的所有正整数n都正确.二、典型例题例1.+=1(reN*),猜测/(x)的表达式为(B)J(x)+2A-/W=Tr-;B-/W=t；c./(x)=；D./(x)=2,a计算得/(2)=$,/(4

4、)>2,2+2x+x+2x+例2./()=1+L+1+!(eN),23n57/(8)>-,/(16)>3,/(32)>-,由此推测：当22时,有22(eNr33例3.：sin23解：一般形式：sin2sin2(a+60')+sin二.+120°)=2-cos2a1-cos(2a+120°)1-cos(2a+240°)+2+231=-cos2a+cos(2a+120°)+cos(2a+240°)22I.=-cos2a+cos2acosl20s-sin2asin120e+cos2cos240fl-sin2asiii2

5、4031r1八6.、1c二一coslacos2asin2a-cos2a+sin2a=3300+sin290°+sin21500=-；sin250+sin265°+sin21250=-22通过观察上述两等式的规律,请你写出一般性的命题：证实：左边=-(*)并给出(*)式的证实.例4.假设“,8c均为实数,且n=X2-2y+=y2-2z+,c=z2-2x+0236求证：中至少有一个大于0.答案：(用反证法)假设“也c都不大于0,即4«0.40.c«0,那么有a+b+cKO,而r/+Z?+c=(x2-2y+)+(y2-2z+-)+(z2-2x+)=(x-l)2

6、+(y-l)2+(z-l)2+(+)-3236236=(.r-l)2+(y-I)2+(-1)2+"3,.-1)2,(),一1产,(1)2均大于或等于o,*3>o,4+c>0,这与假设“+b+cKO矛盾,故“力,c中至少有一个大于0.例5.求证：1+3+5+(2n+l)=n2(nGN*)三、课后练习1.数列1,3,6,10,15,的递推公式可能是(B)a=1,a】=1,A.B.,a+i=3+(£N')&=品一1+(£'*,力2)Zi=l,fa】=l,CJD.,&+=3+(1)(£N,)=品-1+(-1)N2)解析

7、记数列为a,由观察规律：及比a多2,必比国多3,&比&多=1,4,可知当三2时比a-多,可得递推关系'_(22,£“).a-&-1=2.用数学归纳法证实等式1+2+3+(+3)=上±"U(WN)时,验证=1,左边应取的项是(D)A.1B.1+2C.1+2+3D.1+2+3+4解析当=1时,左=1+2+(1+3)=1+2+4,故应选D.3 .f()nA,那么(d)nn-v1十2nA. f()中共有项,当=2时,f(2)=:+(乙JB. F()中共有+1项,当=2时,f(2)=S+；+；40clC. f()中共有2项,当=2时,f(2)

8、=；+14UD. f()中共有2+1项,当=2时,/(2)=；+；乙WX解析项数为51)=6+1,故应选D.4 .a+,+c=0,那么aZ?+bc+ca的值(D)A.大于0B.小于0C.不小于0D.不大于0解析解法1：,.,a+6+.=0,#+万+/+2aS+2ac+26c=0,WO.5 .c>l,<3=e+1-b=ycylcl,那么正确的结论是(B)A.a>bB.a<bC.a=bD.a、0大小不定解析=尸一&=*+&,产=&+m,由于正+1>正>0,yc>yci>0,所以c+1c10,所以水上.sin/cosBcosC,

9、、6 .假设丁丁=丁那么月勿是CA.等边三角形B.有一个角是30°的直角三角形C.等腰直角三角形D.有一个角是30.的等腰三角形-sin力cosBcosCt解析.丁=丁=丁,由正弦定理得,sin力sin/sinC.sin4cos4coscsinC解析：用n=2代入选项判断.8 .设人二尤力二力,f2(x)=/(x),.,fn+M=fnM,nGN,那么/2OO8(X)=解：cosx,由归纳推理可知其周期是49 .函数/(x)由下表定义：X2531412345假设4=5,=0,1,2,那么4o()7=4.10 .在数列1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,中,第25项为7_.11 .同

10、样规格的黑、白两色正方形瓷砖铺设的假设干图案,那么按此规律第个图案中需用黑色得砖4+8块.(用含的代数式表示),由f(3)12 .2XABC的三个角A、B、C成等差数列,求证：+;-oa+bb+c答案：证实：要证_L+_L=<_,即需证半上+£=3.即证_+L=i0a+bbc又需证.(8+c)+"("+Z?)=(a+X+c),需证+(厂=uc+h"ABC三个角A、B、C成等差数列.AB=60°.由余弦定理,有序+-加,8s60.,b2-c2+a2-aco成立,命题得证.13 .用分析法证实：假设a>0,那么,+十-a2“+!-2.答

11、案：证实：要证+只需证+4+22“+!+无.vcr.Va>0,.两边均大于零,因此只需证(L2+-4+2)2>(«+-!-+V2)2只需证“2+4+4+4、“2+晨“2+2+2+2及(“+3,au-u“只需证+拚斗,+?,只需证/+*2?/+*+2),即证M+,22,它显然成立.,原不等式成立.0-14 .AA3C中,3Z?=2、行asinB,且cosA=cosC,求证：AABC为等边三角形.解：分析：由3=2yf3asinB=3sinB=2-73sinAsinB=sinA=A=233由cosA=cosC>A=C.A=C=B3所以A48C为等边三角形15 .：a、b、c£R,且a+b+c=L求证：a+1)+c2"J证实由3+Z/22a8,及力2+c?22历,c'+a,e2ca三式相加得a+b+cab+bc+ca.1. 3(a'+6+/)2(力+厅+d)+2(aZ?+Z?c+ca)=(a+/?+c).由a+b+c=1,得3(a'+斤+/)21,即,J22222223(将一般形式写成sin2(a-60)+sin2a+sin2(a+60)=