高等数学教学教案格林公式及其应用

1、113格林公式及其应用授课次序69教学基本指标教学课题113 格林公式及其应用教学方法当堂讲授,辅以多媒体教学教学重点格林公式及其应用教学难点各种不同情况下的计算经美赦材同济大学编?高等数学第 6 版?自编教材?高等数学习题课教程?作业布置?高等数学?标准化作业双语教学微分：differentialcalculus；全微分：totaldifferential；偏微分：partialdifferential；积分：integral；重积分：multipleintegral；二 S 积分：doubleintegral；三重积分：threefoldintegral课堂教学目标1.掌握格林公式；2.会

2、运用平面曲线积分与路径无关的条件；3.会求全微分的原函数.教学过程1.格林公式45min;2.平面曲线积分与路径无关的条件20min;3.全微分的原函数25min教学基本内容113 格林公式及其应用一、格林公式单连通与复连通区域设 D 为平面区域如果 D 内任一闭曲线所围的局部都属于 D 那么称 D 为平面单连通区域否那么称为复连通区域.对平面区域 D 的边界曲线 L.我们规定 L 的正向如下：当观察者沿 L 的这个方向行走时 D 内在他近处的那一局部总在他的左边备注栏定理 1 设闭区域 D 由分段光滑的曲线L围成函数 Pxy及 Qxy在 D 上具有一阶连续偏导四川数那么有 11芋一上dxdy

3、=PdxQdyD；X0yL其中 L 是 D 的取正向的边界曲线简要证实仅就 D 即是 X型又是 Y型的情形进行证实,设 D(xy)|51(x)3 三 92(x)a 今由于更连续所以由二重积分的计算法有fy.二Pb.2(x)二P(xy).b._.dxdy=P(x；y)ddx=Px,2(x)-Px,i(x)dx.D,：-y,a-.i(x)；y.a另一方面由对坐标的曲线积分的性质及计算法有ba(Pdx=Pdx+Pdx=aPx,cP1(x)dx+gPx,cP2(x)dx=fbPx,%(x)Px,52(x)dx因此一JJ史dxdy=tPdx.aD：:yL设D=(xy)|i(y)0).恒成立就说曲线积分(

4、Pdx+Qdy在 G 内与路径无关否那么说男左径有关当x22制时.学二x22一_yx=：Px2y22；:y.所以如果(0.0)不在 L 所围成的区域内那么结论成立而当(00)所以有以下结论曲线积分Pdx+Qdy在 G 内与路径无关相当于沿 G 内任意闭曲线 C 的曲线积分qPdx+Qdy等于零.定理 2 设开区域 G 是一个单连通域酉数 P(xy)及 Q(xy)在 G 内具有一阶连续偏导数那么曲线积分Pdx+Qdy在 G 内与路径无关(或沿 G 内任意闭曲线的曲线积分为零)的充分必要条件是等式交_=过在G内恒成立,Fy；x假设之=虫那么毡史二.曲格林公式对任意闭曲线 L.二y二x二x二y有PP

5、dx+Qdy=fff-dxdy=0,LD：x:y00不妨设0 那么由史史的连续性.存在 MO二x二yQ二P的一个5邻域 U(MO,使在此邻域内有山-工之二.于是沿邻域U(MO,6)边界 l 的闭曲线积分二x：y2二QPdxdy-_一、20：x二y2这与闭曲线积分为零相矛盾.因此在G内ea_史=0,二x二y应注意的问题定理要求区域 G 是单连通区域且函数 P(xy)及 Q(xy)在 G 内具有一阶连续偏导数如果这两个条件之一不能满足那么定理的结论不能保证成立,破坏函数 P、Q 及空、学连续性的点称为奇点.二y二x例 5 计算(2xydx十x2dy.其中 L 为抛物线 yw2上从 0(0.0)到

6、B(1.1)的一段弧.解由于=-Q=2x在整个 xOy 面内都成立所以在整个 xOy 面内积分i2xydfx2dy与路径无关.yexLooo1o(Zxydxdy=0A2xydx+x2dy+AB2xyd/x2dy=J012dy=1,讨论：设 L 为一条无重点、分段光滑且不经过原点的连续闭曲线x吟河区=0是否一定成立？提示：这里 P=士匕和 Q=x0 在点(0.0)不连续,由于Lx2y2x2y2x2y2充分性易证必要性假设存在一点 MOWG 使丝-史二x二yPdxQdy=UMo,c.L 的方向为逆时针方向.问在 L 所围成的区域内时,结论未必成立,三、二元函数的全微分求积曲线积分在 G 内与路径无

7、关.说明曲线积分的值只与起点从点(X0y0)与终点(xy)有关,如果(x,y)Pdx+Qdy与路径无关那么把它记为Pdx+QdyL的好)曰(x,y)即PdxQdy=/、PdxQdy,L(x0,y0)什人(x,y)右起点(xoyo)为 G 内的一定点终点(xy)为 G 内的动点那么 u(xy)=JPdx+Qdy.(xo,yo)为 G 内的的函数,二元函数 u(xy)的全微分为 du(xy)印x(xy)dx 丸y(xy)dy,表达式 P(xy)dx+Q(xy)dy 与函数的全微分有相同的结构但它未必就是某个函数的全微分那么在什么条件下表达式P(xy)dx+Q(xy)dy是某个二元函数u(xy)的全

8、微分呢？当这样的二元函数存在时怎样求出这个二元函数呢？定理 3 设开区域 G 是一个单连通域函数 P(xy)及 Q(xy)在 G 内具有一阶连续偏导数.那么P(xy)dxQ(xy)dy 在 G 内为某一函数 u(xy)的全微分的充分必要条件是等式 WP=W&在 G 内恒成二x立简要证实必要性假设存在某一函数 u(xy)使得 du=P(xy)dx 七(xy)dy.22那么有矛=：(二u)=:uQ-(:u)=-u.y二y二x二xcy二x二xcy二y：x由于上宜=史、工2y-=丝连续.所以工 2u-=苞-即史=丝.:xcy；y二y：xex；x；y二y：x二yex充分性由于在 G 内生=区.所

9、以积分fP(x,y)dx+Q(x,y)dy在 G 内与路径无关.y二xLu(xy)=(：,y)P(x,y)dxQ(x,y)dy,(x0,y0)P(x,y)dxQ(x,y)dy=Q(M,y)dyP(x,y)dxV.x0考虑函数由于(x,y)u(xy)=(x0,y0)所以WQ心y)dy,：x-；xx0P(x,y)dx=P类似地有：u=Q(x,y)从而 du=P(xy)dx4Q(xy)dy,二y即 P(xy)dx4Q(xy)dy 是某一函数的全微分,求原函数的公式：u(x,y)=(x,y)P(x,y)dxQ(x,y)dy.(x0,y0)C(x,y)x解：这里P=x2V2-Q=1x71x2y2xyyx

10、u(x,y)=P(x,y0)dxQ(x,y)dyu(x,y)=Q(%,y)dyP(x,y)dx.x0y0y0 x0例 6 验证：吟口警在右半平面(x0)内是某个函数的全微分并求出一个这样的函数x2V2由于 P、Q 在右半平面内具有一阶连续偏导数.且有=/2_=交；:x(x2y2)2名所以在右半平面内xdy-ydx是某个函数的全微分x2y2取积分路线为从 A(10)到 B(x0)再到 C(xy)的折线.那么所求函数为(x,y)xdy-ydxU(X,y)=(1,.)x2I?=0问为什么(x.y.)不取(0.)？例 7 验证在整个 xOy 面内 xy2dx 以勺 dy 是某个函数的全微分并求出一个这

11、样的函数解这里 PRy2Q*2y,由于 P、Q 在整个 xOy 面内具有一阶连续偏导数.且有其=2xy=,所以在整个 xOy 面内 xy2dx 奴2ydy 是某个函数的全微分x二y取积分路线为从 0(.)到 A(x.)再到 B(xy)的折线.那么所求函数为(x,y)22y22y仅,丫)=；(Qo)xy2dxx2ydy=.x2ydy=x2.ydy=思考与练习1 在单连通区域 G 内如果 P(xy)和 Q(xy)具有一阶连续偏导数曲线积分(P(x,y)dx+Q(x,y)dy是否与路径无关？(2)在 G 内的闭曲线积分1P(x,y)dx+Q(x,y)dy是否为零？(3)在 G 内 P(xy)dx 七(xy)dy 是否是某一函数 u(xy)的全微分？2 在区域 G 内除 M.点外如果 P(xy)和 Q(xy)具有一阶连续偏导数且恒有Gi是 G 内不二x二y含 M.的单连通区域那么在 Gi内的曲线积分JLP(x,y)dx+Q(x,y)dy是否与路径无关？(2)在 Gi内的闭曲线积分P(x,y)dx+Q(x,y)dy是否为零？(3)在 G1内 P(xy)dx+Q(xy)dy 是否是某一函数 u(xy)的全微分？