2024年西安交通大学少年班初试数学试题真题（答案详解）

2024年西安交通大学少年班招生初试数学真题

1.已知a+b+c+d=0,abcd〉0,贝I—————H----———+—————+—————=

b+c+da+c+da+b+da+b+c

2.已知，在平行四边形4BCD中，分别是BC,CD的中点NE=6,4r=3且

NEAF=60：则

3.阳光与水平面成60°角，皮球在阳光下的影长为10限加，则这个皮球的直径为cmo

4.如图，MBC,ADEE是等边三角形，边长分别为3、2,求ACDE的内切圆的半径。

5.如图所示，每个方格均为正方形，线段48与CD交于点尸，求sin/APD的值。

6.如图，正三角形的边长为1,点C与原点重合，现将正三角形向右翻转2023次，求点3在

数轴上对应的数字。

B

......

-2-101234

1

7.如图1是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它由四个全等的直角三角形围成。若

AC=6,8C=5,将四个直三形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图2所示的“数

学风车”，求这个风车的外围周长。

图1

8.已知，一次函数％=x+4,%=-/+2x,P为火上一动点，求产到%的距离的最小值。

9.已知整数满足盯=22-3x+y,求心的最大值。

一.3114x+5xy-4y....

10.已知---=1,求-------------的值。

xyx-3xy-y

11.如图，在矩形45CD中，有正方形ZEGE,正方形JHMI,正方形KLCW,问：知道

哪个正方形的面积可以得到两个阴影部分的周长之差。

12.已知任意一个大于1的正整数加的三次幕均可以分裂成加个连续奇数的和，如

23=3+5,33=7+9+11+…，按照此规律，若加3分裂后，有一个奇数是2023,求加的值。

13.已知“c,d,e五个数的平均数为加，方差为g,求3。+〃,36+〃,3。+〃,3<7+〃,30+”的

平均数和方差。

2

3

14.平面直角坐标系中，已知直线48：y=——x+3,过Z作ZC垂直于48,并使ZC=4B,

-4

求直线BC的解析式。

15.球队两两比赛，主场客场各一场，共42场，问有多少支队伍？

16.在平面直角坐标系中，对于平面内任一点(a,6),若规定以下两种变换：①f(a,b)=(b,a),

如：/(1,3)=(3,1)；②g(a,b)=(a,—6),如：g(l,3)=(1-3)；那么/(g(5,-6))=。

17.我们用min表示两个数中的较小数，如min{5,3}=3,求min)-/—羽2耳的最大值。

2

18.已知关于x的一元二次方程/—(〃+2)x—2/=0的解为abn,则------------+

(4-2)W-2)

22

-------------+--------------------的值。

(。2_2)(4-2)(4024一2)(狐24-2)

19.假设队伍中共有2人现列队需要，每10人中走出一个人，当x除以10的余数大于5时,

则在余下的人中再走出一人，则共走出多少人。

20.如图，C为半圆上一点，Z5为直径，比沿翻折与N8交于点。，皿沿翻折交3C

于E,若E为3c中点，求丝的值。

BC

3

2024年西安交通大学少年班招生初试数学真题解析

❶已知，，+b+c+d=(),Mcd<。.则益占+*^+—^+*^7

皿原式=4+"+"+粤=一a4」上|c|M|

+万+工+彳

"abcd<0;.*.要么三正一负，要么三负一正;

情况1：设a<(),b>3。>(),”>()；则一(■+半+©+埠)=一(-1+1+1+1)=-2

'abcaf

情况2:设a>0"v0,c<0,d<0;则一(#+?+J+*)=一(1-1一1-1)=2

故答案为：±2

❷已知，口ABCD中，E,F分别是BC,8的中点AE=6,A尸=3,且NEAF=60°,则=

给金如图，延长A尸、EC交千点G,可得△AD尸我AGTT；,：.AF=FG=i,：.AG=6=AE,

又NEAG=60°,A4AEG是等边三角形，；.AG=EG=6,

设13E=EC=j：，则.4。=2rzj,CG=2%,/.EG=3T=6,：,x=2,

・・・3G=4,又NG=60’,解△AG3,可得AB=2-713.

❸阳光与水平面成60°角，皮球在阳光下的影长为1以后cm,则这个皮球的宜径为cm.

©◎如图，4。为影长，《『+彳3r=1()4.”=学，则直径为15cm.故填:15.

*>/

❹如图，A4BC,ME尸是等边三角形，边长分别为3、2求△CD9的内切圆的半径.

舟©I易得尸经CFD,AAF=CD,：.CD+CF=AF+CF=i,

2X：；(S114BC-SMEK)2x：x?X(32-22)瓜

2s

-5=优

~C2+3

❺如图所示.每个方格均为正方形，线段43与CD交十点P,求sinNBP。的值.

法L把8平移至BM,^MN±AB,

MN2(|X4X7-X1X2-.*X7X1)

则sin/8PD=sinZABAf=陪=黑=—^―,2_,2

BMBM742+7-XV2'+32

.4/3

法2:sinZBFD==yWZ=A

13M―5•

O如图，正三角形的边长为1.点。与原点重合，现将正三角形向右翻转2023次，求点/?在数轴上对应的数字.

B

.「/V....1

-2-101234

(^®)翻转1次，B落在1,翻转2次，4落在2,翻转：3次，。落在3,周期为3,

20234-3=674……1,此时8落在数轴匕则其对应的数字为2()23.

。如图1.是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它由四个全等的宜角三角形围成.若.4。=6,8。=5,将四，

的用角边分别向外延长一倍,得到图2所示的“数学风车求这个风车的外围冏长.

图I

◎魁BD=，52+122=13,・・.周长=(13+6)x4=19x4=76.

11

O6⑦设一/+2z=c+m,即/一1+巾,=0,当二次函数加=-]2+2%与函数”=2+771只有一个交点时,

0。®:叼+31-y=22;(x--1)(y4-3)=19,

=l「[1—1=19.xfx-1=-1,vfx-1=-19[x=2..fx=20|v[x=0,vfx=-18

0+3=19(?/4-3=1旧+3=—195+3=-11?/=16旧=-2[y=-22ly=T

・・・叼的最大值为72.

❿显鱼法1:原式=-y---------Y；+:;=-%;法2:山-----!■=1可得y—c=g/,

------±__3———，—J4xy

y工

kc一切+5(沙-1)=一工+-=_]_

•尿六一T-y-3(y-x)——一二--T,

。鹿⑥设长方形的长宽分别为4y,三个正方向的边长分别为。、hC,如图，

二周长之差=2(/-a+"-c)—2(“-a+工-b-c)=2A则已知正方形的面积可求.

22

O@@『=13+15+17+19,=4=2,7+g+U=9=3,13+15：17+19=16=42)

m个连续奇数的平均数为m2,452=2025,:.m=45.

❿也重X=30+b+g+d+e+n=3m+n,6=3%=叼.

❿©©A/lfiO经^CAD,：.AO=CD=i,OB=DA=3,

:.C(l,-4),又B(0,3),.二直线EC表达式为：y=-7w+3.

注:若点C在AB上方，同理，直线BC表达武为：y=［；+3.

_____________________I_____

❿©黝"(/2-1)=42,解得几二7

G鱼®(9(5，-6))=/(5,6)=(6,5).

。©O［令—］2-2=2/,解得Z1=-2=U,

2

—x-xfx>0

2x,一3&±&0,由图像得，当勺=()时，最大值为0.

I一—一①，x<-3

O阳❸根据韦达定理