初中数学.与圆有关的位置关系.教师版

1、与圆有关的位置关系,中考内容与要求中考内容中考要求ABC圆的有关概念理解圆及其有关概念会过不在同一直线上的三点作圆；能利用圆的有关概念解决简单问题圆的性质知道圆的对称性，了解弧、弦、圆心角的关系能用弧、弦、圆心角的关系解决简单问题能运用圆的性质解决有关1可题圆周角了解圆周角与圆心角的关系；知道直径所对的圆周角是直角会求圆周角的度数，能用圆周角的知识解决与角有关的简单问题能综合运用几何知识解决与圆周角有关的问题垂径定理会在相应的图形中确定垂径定理的条件和结论能用垂径定理解决有关1可题点与圆的位置关系了解点与圆的位置关系直线与圆的位置关系了解直线与圆的位置关系；了解切线的概念，理解切线与过切点的半

2、径之间的关系；会过圆上一点圆圆的切线；了解切线长的概念能判定直线和圆的位置关系；会根据切线长的知识解决简单的问题；能利用直线和圆的位置关系解决简单问题能解决与切线有关的问题圆与圆的位置关系了解圆与圆的位置关系能利用圆与圆的位置关系解决简单问题弧长会计算弧长能利用弧长解决有关问题扇形会计算扇形面积能利用扇形面积解决有关1可题圆锥的侧面积和全面积会求圆锥的侧面积和全面积能解决与圆锥有关的简单实际问题中考考点分析圆是北京中考的必考内容，主要考查圆的有关性质与圆的有关计算，每年的第20题都会考查，第1小题一般是切线的证明，第2小题运用圆与三角形相似、解直角三角形等知识求线段长度问题，有时也以阅读理解、

3、条件开放、结论开放探索题作为新的题型。要求同学们重点掌握圆的有关性质，掌握求线段、角的方法，理解概念之间的相互联系和知识之间的相互转化，理解直线和圆的三种位置关系，掌握切线的性质和判定方法，会根据条件解决圆中的动态问题。年份2010年2011年2012年题号11,2020,258,20,25分值9分13分17分考点垂径定理的应用；切线判定、圆与解直角三角形综合圆的有关证明，计算（圆周角定理、切线、等腰二角形、相似、解直角三角形）；直线与圆的位置关系圆的基本性质，圆的切线证明，圆同相似和三角函数的结合；直线与圆的位置关系与圆有关的位置关系点和圆的位置关系直线利阅的位置关系点和国的位苫矢系的ft质

4、利判定直技和剧的位宥关系的性质和判定确定留的条件|线的性质用判定TM角形外接冏|园和圆的位置关系模块点和圆的位置关系知识导航生定义示例剖析点和圆的位置关系：点P在圆外：点和圆的位置关系有：点在圆上、点在圆内、点在圆外三种，这三种关系由这个点到圆心的距离与半径的大小关系决定.设。O的半径为r,点P到圆心O的距离为点P在圆上：d,则有：/VA点在圆外dr;点在圆上dr;点在圆内dr.点P在圆内：确定圆的条件：1.圆的确定确、个圆有两个基本条件：圆心（定点），确正圆的位置；半径（正长），确正圆的大小.只QyC有当圆心和半径都确定时，圆才能确定.2.过已知点作圆B经过点A的圆：以点A以外的任意一点O为

5、圆心，以OA的长为半径，即可作出过点A的圆，这样的圆有无数个.经过两点AB的圆：以线段AB中垂线上任意一点O作为圆心，以OA的长为半径，即可作出过点AB的圆，这样的圆也有无数个.过三点的圆：若这三点AB、C共线时，过三点的圆不存在；若AB、C三点不共线时，圆心是线段AB与BC的中垂线的交点，而这个交点O是唯一存在的，这样的圆有唯个.过nn>4个点的圆：只可以作0个或个，当只可作一个时，其圆心是其中不共线三点确定的圆的圆心.3.定理：不在同一直线上的三点确定一个圆.A、B、C三点确定一个圆注意：“不在同一直线上”这个条件不可忽视，换句话说，在同一直线上的三点不能作圆；“确定”一词的含义是“

6、有且只有”，即“唯一存在”.三角形的外接圆经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心，这个三角形叫做这个圆的内接三角形.三角形外心的性质： 三角形的外心是指外接圆的圆心，它是三角形三边垂直平分线的交点，它到三角形各顶点的距离相等； 三角形的外接圆有且只有一个，即对于给定的三角形，其外心是唯一的，但一个圆的内接三角形却有无数个，这些三角形的外心重合.锐角三角形外接圆的圆心在它的内部；直角三角形外接圆的圆心在斜边中点处（即直角三角形外接圆半径等于斜边的一半）；钝角三角形外接圆的圆心在它的外部.OAOBOC【例1】1.已知ABC中，ACB9

7、0,AC2,BC3,AB的中点为M,以C为圆心，2为半径作OC,则点A,B,M与OC的位置关系如何？若以C为圆心作。C，使A,B,M三点至少有一点在。C内，且至少有一点在。C夕卜，求。C半径r的取值范围.2.矩形ABCD中，AB8,BC3晶，点P在边AB上，且BP3AP，如果圆P是以点P为圆心，PD为半径的圆，那么下列判断正确的是（）A.点B、C均在圆P外B.点B在圆P夕卜、点C在圆P内C.点B在圆P内、点C在圆P外D.点B、C均在圆P内（2011上海）【解析】1.如右图所示AC2,且C的半径也为2,即ACr.点A在OC上.又.BC3,r2,BCr,二点B在C外.MC113AB2在ABC中，A

8、BJACBoJ2232而2要判定点与圆的位置关系，就是要比较点到圆心的距离与半径的大小关系.2.C.能力提升.点M在OC内；.AC2,BC3,MC匝2-BCACMC.要使A,B,M三点中至少有一点在OC内，且至少有一点在。C夕卜，贝UOC的半径r的取值范围是-13r3.【例2】一个已知点到圆周上的点的最大距离为5cm，最小距离为1cm,则此圆的半径为在ABC中，C90,AC10cm,BC24cm,则它的外接圆的直径为（西城区教研）a确定已知弧AB所在圆的圆心.【解析】当点在圆外时，r512cm:当点在圆内时，r513cm.26cm:22在AB上任取一点C，连接AC、BC.作弦AC、BC的中垂线

9、，他们的交点即为圆心O.【点评】没有给定点，就在相应位置寻找可用的点，创造确定圆的条件.图略知识导航Ordrrrddrd定理法APOB直线与圆有唯一公共点直线叫做圆的切线，公共点叫做切点rl与。O相离l与。O相切l与。O相交和圆只有一个公共点的直线是圆的切线；和圆心距离等于半径的直线是圆的切线；经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线d,则有ddI直线与圆没有公共点直线和圆相切：切线的判定定义定义法距离法切线的性质：定理：圆的切线垂直于过切点的半径.推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点推论2:经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心“经过圆心”、“经过切点”、“互相垂直"知二推一直

10、线和圆的位置关系：直线和圆的位置关系有：直线和圆相离、直线和圆相切、直线和圆相交三种，这三种关系由圆心到这条直线的距离与半径的大小关系决定.O到直线I的距离为<OJ|10.0I定理是圆的切线.切线长：经过圆外一点做圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长.定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹PAPB,OPAOPBPBC为弦切角，1PBCBACBOC.2角.弦切角：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角.定理：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角.弦切角等于它所夹的弧所对的圆心角的一半.推论：两个弦切角所夹的弧

11、相等，那么这两个弦切角也相等.16cm，以点C为圆心，r为半径的圆【例3】在RtABC中，C90,AC12cm,BC和直线AB有怎样的位置关系？为什么？【解析】r过C作CD1则SAABC-AC29cm;r10cm;rAB于D,1八ABCD.29.6cm.BC.AC12cm,-112122BC11620216cm,C90,ABAC2BC220(cm),9.6(cm).D当r9cm时，CDr,.直线AB与OO相离；当r10cm时，CDr,.直线AB与OO相交；当r9.6cm时，CDr,.直线AB与OO相切.【例4】如图为平面上圆。与四条直线l、以l3、l4的位置关系.若圆。的半径为20公分，且。点

12、到其中一直线的距离为14公分，则此直线为何？（）（2011台湾）A.l1B.l2C.l3D.l4如图，AB是OO的直径，C、D是OO上一点，/CDB=20°,过点C作O的切线交AB的延长线于点E,则ZE等于（）A.40°B.50°C.60°D.70°（2012山西）如图，PA、PB是。的切线，A、B是切点，点C是劣弧AB上的一个动点，若/P=40°，则ZACB的度数是（）（2012广西贵港）A.80°B.110°C.120°D.140°如图，半径为3cm的。0切直线AC于B,AB3cm,BCJ3

13、cm，贝UAOC的度数是.【解析】B;B;B;连结0BAC切0于B,.OBAC,即OBCOBA90在RtBOC中，tanBOCBC,BOC30BO3在RtAOB中，tanAOBAB1,AOB45BOAOCAOBBOC75.【点评】看切线连半径是我们处理切线问题的“通法”，这一点需要反复强调,使学生牢记于心.【例5】1.如图，AB为。的直径，BC切OO于点B,AC交OO于点D,E为BC中点.（2013海淀期末）求证：DE为。0的切线.【解析】如图，连接0D,BD.在0中，OD0B,1=/2.AB是0的直径，ADBCDB90.E为BC中点，ED1BCEB.23=/4.BC切OO于点B,EBA90.

14、-132490,即ODE90.ODDE.点D在。上，DE是0的切线.2.如图，在ABC中，AB=AC，以AC为直径作O0交BC于点D，过点D作FE±AB于点E,交AC的延长线于点F.（1）求证：EF与。0相切；（2）若AE=6,sinZCFD=3,求EB的长.（2013西城一模）【解析】(1)证明：连接OD.OC=OD,(2).ZOCD=ZODC.AB=AC,ZACB=/B.ODC=/B.OD/AB.ODF=ZAEF.EF±AB,ZODF=ZAEF=90:OD±EF.OD为。O的半径，EF与OO相切.解：由(1)知：OD/AB,OD±EF.在RtAEF中

15、，sinZCFD=器=：,AE=6.AF=10.OD/AB,.ODFAAEF.OFOD.AFAE设O的半径为r,10-rr=-106.解得=*一15.AB=AC=2r=胃2.153EB=AB-AE=y-6=.【例6如图，已知。是正方形ABCD对角线上一点，以。为圆心、OA长为半径的OO与BC相切于M,与AB、AD分别相交于E、F.求证：CD与OO相切；若正方形ABCD的边长为1,求O。的半径.【解析】连接OM，作ONCD于N点.BC切O于M,-OMBC.四边形ABCD是正方形，AC是对角线，ONCD,OMON，即ON是O的半径CD与OO相切.O知识导航由易知四边形OMCN是正方形-OC捉OM,

16、设OO半径为r正方形ABCD的边长为1,对角线AC厄:.2rr2r2J2,即。O的半径为242-21模块三圆与圆的位置关系一«T_LNEBMC定义示例剖析圆和圆的位置关系：圆和圆的位置关系有：圆和圆外离、圆和圆外切、圆和圆相交、圆和圆内切、圆和圆内含五种，这五种关系由两圆圆心的距离与两圆半径之和或差的大小关系决定.设OOi、。2的半径分别为r、R（其中Rr），两圆圆心距为d,则有：dRr两圆外离；dRr两圆外切；RrdRr两圆相交；dRr两圆内切；0<dRr两圆内含说明：圆和圆的位置关系，既考虑了他们公共点的个数，又注意到位置的不问，若以两圆的公共点的个数来分，又可分为三大类：

17、相离、相切、相交，其中相离两圆没有公共点，它包括外离与内含两种情况；相切两圆只有一个公共点，它包括内切与外切两种情况.物圆外离：两个圆没有公共点，并且每个圆上的点都在另一个圆的外部.两圆外切：两个圆有唯一公共点，并且除了这个公共点之外，每个圆上的点都在另一个圆的外部.两圆相交：两个圆有两个公共点.（4）两圆内切：俊）两个圆有唯一公共点，并且除了这个公共点之外，一个圆上的点都在另一个圆的内部.两圆内含：两个圆没有公共点，并且一个圆上的点都在另一个圆的内部，两圆同心是两圆内含的一种特例.夯实基础则另一个圆的半径为（）【例7】圆心距为2的两圆相切，其中一个圆的半径为1,A.1B.3C.1或2D.1或

18、3如图，平面直角坐标系中，O。的半径长为1,点Pa,0,。P的半径长为2,把P向左平移，当OP与OO相切时，a的值为（）A.3B.1C.1或3D.1或3（2012南充）1和3,把这两个的圆心距的取值范围在数轴上表示正若两个圆相切于A点，它们的半径分别为10cm、4cm,则这两个圆的圆心距为.相交两圆的半径分别为确的是（）IL、A.«106C.-（2012通辽）两圆的圆心距为7,两圆的半径分别是方程x27x100的两个根，则两圆的位置关系是（）A.相交B.内切C.外切D.外离（2012潍坊）【解析】D:D;14cm或6cm:C:C.<1如图，PA,PB是。的切线，A,B为切点，A

19、C是。0的直径，若BAC25°，则P®.一.不理解圆中相关的概念和定义，或产生概念上的混淆。【解析】50.第08讲精讲：圆的常用辅助线总结；【探究一】遇到弦时（解决有关弦的问题时）常常添加弦心距，或者作垂直于弦的半径（或直径）或再连结过弦的端点的半径作用：利用垂径定理； 利用圆心角及其所对的弧、弦和弦心距之间的关系； 利用弦的一半、弦心距和半径组成直角三角形，根据勾股定理求有关量【变式1】如图，O0的直径AB=10cm,弦CD=8cm,AE±CD,BF±CD,垂足分别为点E、F.求AE与BF的长的和.【解析】AE+BF=2OG=6cm.【探究二】直径所对

20、圆周角为直角，反之亦然；有直径可以考虑构造直径所对圆周角，有圆周角为直角，可以考虑构造直径；【变式2】如图，ABC的高AD=4,入£是左ABC外接圆直径，若AB=5,求cosZCAE的值【解析】-5EE【变式3】如图，AB、AC是OO的的两条弦，且BA±CA,AB=6,AC=8，求。的半径.【解析】5【探究三】遇到特殊的圆周角或者圆心角时，可连接半径构造特殊的等腰三角形；常常连结圆心和弦的两个端点，构成等腰三角形，还可连结圆周上一点和弦的两个端点。作用：可得等腰三角形；据圆周角的性质可得相等的圆周角。【变式4】如图所示，在ABC中，C45,AB4,贝UOO的半径为（）A.2

21、2B.4C.2.3D.5【解析】A【探究四】遇到切线时，添加过切点的半径，构造直角三角形；【变式5】如图，已知点E在ABC的边AB上，以AE为直径的。O与BC相切于点D,且AD平分BAC.求证：ACBC.【解析】连结OD,-BC是OO的切线，-ODBC,.OAOD,OADODA,-AD平分BAC,-BADCAD,CADODA,OD/AC,-ACBC.探究五遇到三角形内心时，连结内心到各三角形顶点，或过内心作三角形各边的垂线段。作用：利用内心的性质，可得： 内心到三角形三个顶点的连线是三角形的角平分线； 内心到三角形三条边的距离相等。【变式6】如图，点I是ABC的内心，AI的延长线交边BC于点D

22、，交ABC的外接圆于点E,求证：IE=BE.【解析】要证IE=BE,先得连结ABC的内心I与顶点B,然后利用三角形内心的性质,证ZBID=Z旧E.R思维拓展训练（选讲）训练1.在ABC中，C90,AC4,AB5，以点C为圆心，以r为半径作圆，请回答下列问题，并说明理由.当r取何值时，点A在OC上，且点B在OC内部？当r在什么范围内取值时，点A在OC外部，且点B在OC的内部?是否存在这样的实数r,使得点B在OC上，且点A在OC内部？【解析】如右图所示在RtABC中，C90,AC4,AB5,根据勾股定理得：BCAB2AC252423当r4时，点A在OC上，且点B在C内.因为AC4r,所以点A在C上

23、，BC3r4,所以B在C内;当3r4时，点A在OC的外部，且点B在OC的内部.由于BC3,要使点B在OC的内部，必须OC的半径r3;又由于AC4,要使点A在OC的外部，必须OC的半径r4.综合上述两方面可知，3r4.不存在这样的实数r,使得点B在C上，且点A在C内部.因为BC3,要使点B在OC上，必须r3,此时，由于AC4r,所以点A在OC的外部，点A不在OC的内部，所以这样的实数r不存在.训练2.已知：A,B,C,D,E五个点中无任何三点共线，无任何四点共圆，那么过其中的三点作圆，最多能作出个圆.（西城区教研）【解析】10.C310.训练3.如图，AB是OO的直径，C点在圆上，CDAB于D.

24、P在BA延【解析】长线上，且PCAACD.求证：PC是OO的切线.连结OC、BCAB是OO的直径，ACB90,-CABBCDAB,ACDB,PCAACD,BPCA,OAOC,OACOCAPCAOCABOAC90,OCPC,PC是O的切线.C训练4.如图，两个等圆OO和O',。O'的两条切线OA、OB,A、B是切点，贝UAOB等于.【解析】60知识模块一点和圆的位置关系课后演练【演练1】定义：定点A与OO上的任意一点之间的距离的最小值称为点A与OO之间的距离.如图，现有一矩形ABCD,AB14cm,BC12cm,OK与矩形的边A8BC、CD分别相切于点E、F、G,则点A与K的距离为.（首师大附中初三月考）【解析】连结KE、AK,由题意可知。K的半径为6cm,EKAB,BE6cm,-AE8