北师大版八年级数学下册习题等腰三角形(基础)知识讲解

1、等腰三角形(基础)知识讲解【学习目标】1. 了解等腰三角形、等边三角形的有关概念，掌握等腰三角形的轴对称性；2. 掌握等腰三角形、等边三角形的性质，会利用这些性质进行简单的推理、证明、计算和作图.3. 理解并掌握等腰三角形、等边三角形的判定方法及其证明过程.通过定理的证明和应用，初步了解转化思想，并培养学生逻辑思维能力、分析问题和解决问题的能力4. 理解反证法并能用反证法推理证明简单几何题【要点梳理】要点一、等腰三角形的定义1. 等腰三角形有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形，其中相等的两条边叫做腰，另一边叫做底，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角如图所示，在ABC中，AAAC,AB

2、C是等腰三角形，其中ABAC为腰，BC为底边,/A是顶角，/B、ZC是底角.2. 等腰三角形的作法已知线段a,b(如图).用直尺和圆规作等腰三角形ABC使AB=AC=b,BC=a.作法：1.作线段BC=a；2. 分别以B,C为圆心，以b为半径画弧,相交于点A;3. 连接AB,AC.ABC为所求作的等腰三角形3. 等腰三角形的对称性(1) 等腰三角形是轴对称图形；(2) ZB=ZC;(3) BD=CDAD为底边上的中线./一i一e广kL(4) /AD牛ZAD孚90°,AD为底边上的高线.结论：等腰三角形是轴对称图形，顶角平分线(底边上的高线或中线)所在的直线是它的对称轴.4. 等边三角

3、形三条边都相等的三角形叫做等边三角形.也称为正三角形.等边三角形是一类特殊的等腰三角形，有三条对称轴，每个角的平分线(底边上的高线或中线)所在的直线就是它的对称轴.要点诠释：(1)等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角(或直角)，但顶角可为钝180A角(或直角)./A=180-2ZB,ZB=ZC=.2(2) 等边三角形与等腰三角形的关系：等边三角形是特殊的等腰三角形，等腰三角形不一定是等边三角形.【高清课堂：389301等腰三角形的性质及判定，知识要点】要点二、等腰三角形的性质1. 等腰三角形的性质性质1:等腰三角形的两个底角相等，简称“在同一个三角形中，等边对等角”推论：等边三角形的三个内角

4、都相等，并且每个内角都等于60。.性质2:等腰三角形的顶角平分线、底边上中线和高线互相重合.简称“等腰三角形三线合一”.2. 等腰三角形中重要线段的性质等腰三角形的两底角的平分线(两腰上的高、两腰上的中线)相等要点诠释：这条性质，还可以推广到一下结论：(1) 等腰三角形底边上的高上任一点到两腰的距离相等。(2) 等腰三角形两底边上的中点到两腰的距离相等(3) 等腰三角形两底角平分线，两腰上的中线，两腰上的高的交点到两腰的距离相等，到底边两端上的距离相等.(4) 等腰三角形顶点到两腰上的高、中线、角平分线的距离相等要点三、等腰三角形的判定定理1. 等腰三角形的判定定理如果一个三角形有两个角相等，

5、那么这个三角形是等腰三角形.可以简单的说成：在一个三角形中，等角对等边.要点诠释：(1)要弄清判定定理的条件和结论，不要与性质定理混淆.判定定理得到的结论是等腰三角形，性质定理是已知三角形是等腰三角形，得到边和角关系(2) 不能说“一个三角形两底角相等，那么两腰边相等”，因为还未判定它是一个等腰三角形.2. 等边三角形的判定定理三个角相等的三角形是等边三角形.有一个角是60。的等腰三角形是等边三角形3. 含有30°角的直角三角形定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半.要点四、反证法在证明时，先假设命题的结论不成立，然后从这个假设出发，

6、经过逐步推导论证，最后推出与学过的概念、基本事实，以证明的定理、性质或题设条件相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立，这种证明命题的方法叫做反证法要点诠释：反证法也称归谬法，是一种间接证明的方法，一般适用于直接证明有困难的命题.一般证明步骤如下：(1) 假定命题的结论不成立；(2) 从这个假设和其他已知条件出发，经过推理论证，得出与学过的概念、基本事实,以证明的定理、性质或题设条件相矛盾的结果；(3) 由矛盾的结果，判定假设不成立，从而说明命题的结论是正确的【典型例题】类型一、等腰三角形中有关角度的计算题【高清课堂：389301等腰三角形的性质及判定：例1】1、如图，在ABC中，D在BC上，

7、且AAAOBRZ1=30,求/2的度数.【答案与解析】解：.AAACZB=/CAABD2=Z3Z2=Z1+ZC/2=Z1+/B.Z2+Z3+ZB=180°ZB=180°-2/2Z2=Z1+180°-2Z23Z2=/1+180°.Z1=30°Z2=70°【总结升华】解该题的关键是要找到Z2和Z1之间的关系，显然Z2=Z1+ZC,只要再找出ZC与Z2的关系问题就好解决了，而ZCZB,所以把问题转化为ABD的角之间的关系，问题就容易的多了.关于角度问题可以通过建立方程进行解决.【高清课堂：389301等腰三角形的性质及判定：例1练习】举一反

8、三：【变式】已知：如图，以E分别为ABAC上的点，ABBOBD,AAAE,D已CE求ZB的度数.【答案】解：.AOBOBD,AAAE,DACE设/ECA/ED孚x,/BCS/BD孚y,则ZAESZAD&2x,ZA=ZB=180°-4x在ABC中，根据三角形内角和得，x+y+180°4x+180°4X=180°又.A、以B在同一直线上，.2x+x+y=180°由，解得x=36°B=180°-4x=180°144°=36°.类型二、等腰三角形中的分类讨论C2、在等腰三角形中，有一个角为40&

9、#176;,求其余各角.【思路点拨】由一个等腰三角形内角为40。，分别从40。是等腰三角形顶角与40。是底角的角度去分析求解即可求得答案.【答案与解析】解：(1)当40°的角为顶角时，由三角形内角和定理可知：两个底角的度数之和=180°-40°=140°,又由等腰三角形的性质可知：两底角相等，1故每个底角的度数-14070;2(2)当40°的角为底角时，另一个底角也为40°,则顶角的度数=180°-40°40°=100°.其余各角为70°,70°或40°,100&#

10、176;.【总结升华】此题考查了等腰三角形的性质.此题比较简单，注意掌握分类讨论思想的应用，小心别漏解.【高清课堂：389301等腰三角形的性质及判定：例2(2)】3、已知等腰三角形的周长为13,一边长为3,求其余各边.【答案与解析】解：(1)3为腰长时，则另一腰长也为3,底边长=13-3-3=7;(2)3为底边长时，则两个腰长的和=133=10,则一腰长105.2这样得两组：3,3,75,5,3.3+3V乙故不能构成三角形，应舍去.由三角形三边关系可知：两边之和大于第三边，-等腰三角形的周长为13,一边长为3,其余各边长为5,5.【总结升华】唯独等腰三角形的边有专用名词“腰”“底”，别的三角

11、形没有，此题没有说明边长为3的边是腰还是底，所以做此题应分类讨论.同时结合三角形内角和定理、三角形两边之和大于第三边、两边之差小于第三边，来验证讨论哪些情况符合，哪些情况不符合，从而决定取舍，最后得到正确答案.举一反三：【变式】已知等腰三角形的底边BO8cm,且|ACBC|=2cm，那么腰AC的长为（）.A.10cm或6cmB.10cmC.6cmD.8cm或6cm【答案】A;解：.|ACBC|=2cm,ACBO±2.又BO8.AC=10或6.AB=10（cm）或（6cm）.类型三、等腰三角形的性质及其运用4、如图，在ABC中，边AB>AC.求证：ZACEWABC【思路点拨】在A

12、B上截取AE=AC连接CE根据等腰三角形的性质推出ZAEC£ACE根据三角形的外角性质求出ZAEEZABC即可.【答案与解析】证明：证明：在AB上截取AE=AC连接CE,.AE=ACAEC£ACE.ZAEOZB,.ZACtWABC【总结升华】本题主要考查了等腰三角形的性质、三角形的外角性质，能推出ZAEC£ACE和ZAEOZABC是解此题的关键.举一反三：【变式】已知：如图，在ABC中，AB=AC/A=60°,BD是中线，延长BC至点E,使CE=CD求证：DB=DE【答案与解析】证明：如图，在ABC中，.AB=ACZA=60°,ABC是等边三角

13、形，ABCW2=60°,BD是中线，BD是ZABC的平分线，1=30°,.CE=CDE=Z3,./E=【/2=30。，/E=Z1,DB=DE类型四、等腰三角形的判定C5、(2014春?宜宾校级期末)如图1,在AABC中，BO平分ZABCCO平分ZACB过点O作DE/BC交AB于点D,交AC与点D,交AC于点E.(1) 试找出图中的等腰三角形，并说明理由；(2) 若BD=4CE=3求DE的长；(3) 若AB=12、AC=9求AADE的周长；(4) 若将原题中平行线DE的方向改变，如图2,OD/AROE/ACBC=16,你能得出什么结论呢？【思路点拨】(1)运用两三角形两底角相

14、等得出等腰三角形；(2) 由等腰三角形两腰相等求解；(3) 由AADE的周长=AD+DO+OE+AE=AB+AC军；(4) 由OD/AROE/ACBO平分ZABCCW分ZACB得出BD。和ECO等腰三角形,利用等腰三角形两腰相等得出ODE的周长等于BC的长度.【答案与解析】解：(1)。8。和EOC是等腰三角形.BOW/ABCZDBO=CBQ.DE/BC/CBO=DOB/DBO=DOBDB=DODBO是等腰三角形，同理EOC是等腰三角形；(2) .句=4CE=3.由(1)得出DO=4EO=3,DE=DO+OE=4+3=7(3) AADE的周长=AD+DO+OE+AE.DO=DBOE=ECADE的

15、周长=AB+AC.AB=12AC=9,.ADE的周长=AB+AC=12+9=21(4) .OD/AB,OE/ACBO平分ZABCCO¥分ZACBBDOAECO是等腰三角形，.BD=DOCE=OE.BC=16ODE的周长为16.即ODE的周长等于BC的长度.【总结升华】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质及平行线的性质，解题的关键是熟练掌握等腰三角形的两角相等或两边相等.举一反三【变式】(2014秋?花垣县期末)如图，ABC中，以E分别是AGAB上的点，BD与CE交于点O.给出下列四个条件：ZEBD£DCOZBEO£CDOBE=CDOB=0C上述四个条件中，哪两个条

16、件可判定ABC是等腰三角形，选择其中的一种情形，证明AABC是等腰三角形.【答案】；都可以组合证明ABC是等腰三角形；选为条件证明ABC是等腰三角形；证明：.在EB。和ADCO中，ZE0B=ZD0CZebo=Zdco,EB=CDAEB(ADCO(AA0,.BO=C。/OBC=OCB/EBO+OBC=DCO+OCB即ZABC=ACBAB=ACABC是等腰三角形.类型三、含有30°角的直角三角形GelaM/6.如图所小，ABC中，ZACB=90,C8AB,垂足是D,ZA=60.求证：BD=3AD.【答案与解析】证明：CtUAB,ADC=90,又.A=60°,ZACD=30_1_

17、.在RtACD中，AD=AC2又.ZACB=9CT,在RtACB中，ZB=30°,八1AC=AB.AD=1AB,2415贝UAD=BD,即3【总结升华】根据直角三角形中而出推出AB=4BD从而不难证得形的性质：在直角三角形中，30°举一反三：BD=3AD.30。角所对的边是斜边的一半可得到BD与AD的数量关系.此题主要考查含角所对的直角边等于斜边的一半.BC=2BDAB=2BC从30°角的直角三角【变式】（2014秋?丰都县校级期中）如图，已知，在四边形ABCg,AD/BGBD平分ZABCZA=120°,CD=4cmZABC£DCB求BC的长.

18、【答案】解：.AD/BCZA=120°,ABC=180-120°=60°,.BD平分/ABCDBCZABCX60°=30。，22又.ABC£DCB=60,.ZBDC=18030°-60°=90°,.BC=2CD=14=8cm类型四、反证法C7.求证：在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60°。【答案】已知：ABC求证：ABC中至少有一个内角小于或等于60°证明：假设ABC中没有一个内角小于或等于60°则ZA>60°,/B>60°,/C>60."A+ZB+ZC>60°+60°+60°=180°即ZA+ZB+ZC>180