高中排列组合基础题(含标准答案)

1、排列、组合问题基本题型及解法同学们在学习排列、组合的过程中，总觉得抽象，解法灵活，不容易掌握然而排列、组合问题又是历年高考必考的题目本文将总结常见的类型及相应的解法一、相邻问题“捆绑法”将必须相邻的元素“捆绑”在一起，当作一个元素进行排列例1甲、乙、丙、丁四人并排站成一排，如果甲、乙必须站在一起，不同的排法共有几种？分析：先把甲、乙当作一个人，相当于三个人全排列，有A3=6种，然后再将甲、乙二人全排列有A；=2种，所以共有6X2=12种排法.二、不相邻问题“插空法”该问题可先把无位置要求的元素全排列，再把规定不相邻的元素插入已排列好的元素形成的空位中（注意两端）.例27个同学并排站成一排，其中

2、只有A、B是女同学，如果要求A、B不相邻，且不站在两端，不同的排法有多少种？分析：先将其余5个同学先全排列，排列故是A5=120.再把A、B插入五个人组成的四个空位（不包括两端）中，（如图。XOXOX0X0“X"表示空位，“0”表示5个同学）有A2=2种方法则共有A5A2=440种排法.三、定位问题“优先法”指定某些元素必须排（或不排）在某位置，可优先排这个元素，后排其他元素例36个好友其中只有一个女的，为了照像留念，若女的不站在两端，则不同的排法有种分析：优先排女的（元素优先）在中间四个位置上选一个，有a4种排法.然后将其余5个排在余下的5个位置上，有A5种方法则共A4A5=480

3、种排法还可以优先排两端（位置优先）四、同元问题“隔板法”例410本完全相同的书，分给4个同学，每个同学至少要有一本书，共有多少种分法？分析：在排列成一列的10本书之间，有九个空位插入三块“隔板”如图：XXIXIXXXIXXXX一种插法对应于一种分法，则共有c9=84种分法五、先分组后排列对于元素较多，情形较复杂的问题，可根据结果要求，先分为不同类型的几组，然后对每一组分别进行排列，最后求和例5由数字0,1,2,3,4,5组成无重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字的共有（）（A）210个（B）300个（C）464个（D）600个分析：由题意知，个位数字只能是0,1,2,3,4共5种类型，每

4、一种类型分别有A5个、A;A;a3个、A;A;a3个、a；a；3个、A;a3个，合计300个，所以选b例6用0,1,2,3,，9这十个数字组成五位数，其中含有三个奇数数字与两个偶数数字的五位数有多少个？【解法1】考虑。的特殊要求，如果对0不加限制，应有c3c5a5种，其中0居首位的有c3c4a4种，故符合条件的五位数共有C3C；A5C3C；A：=11040个【解法2】按元素分类：奇数字有1,3,5,7,9;偶数字有0,2,4,6,8.把从五个偶数中任取两个的组合分成两类：不含。的；含0的 不含0的：由三个奇数字和两个偶数字组成的五位数有c5c2a5个； 含。的，这时0只能排在除首位以外的四个数

5、位上，有a4种排法，再选三个奇数数与一个偶数数字全排放在其他数位上，共有c3c4a4a4种排法综合和，由分类计数原理，符合条件的五位数共有c3c:Ja5+c3c4a4a4=11040个例8由数字1,2,3,4,5可以组成多少个无重复数字,比20000大，且百位数字不是3的自然数？【解】设/=满足题设条件，且百位数字是3的自然数,B=满足题设条件，且比20000大的自然数，则原题即求cardBleuA，画韦恩图如图，阴影部分rj即BIeuA，从图中看出cardBleuAcardBAlB.°伊"i?又AlB?B，由性质2,有cardBAlBcardBcardAlB/Bl*car

6、dB即由数字1，2，3，4，5组成无重复数字，且比20000大的自然数的个数，易知cardBAaA4.cardAlB即由数字1，2，3，4,5组成无重复数字、比20000大，且百位数字是3的自然数的个数'易知cardAlBA：A：，所以cardBleuAA：A：A：A：=78.即可组成78个符合已知条件的自然数典型例题例1用。到9这10个数字-可组成多少个没有重复数字的四位偶数？解法1:当个位数上排“0”时，千位，百位，十位上可以从余下的九个数字中任选3个来排列，故有方个；当个位上在“2、4、6、8”中任选一个来排，则千位上从余下的八个非零数字中任选一个，百位，十位上再从余下的八个数字

7、中任选两个来排，按乘法原理有A4A8A2(个)-没有重复数字的四位偶数有AgA1a8As50417922296个.例2排一张有5个歌唱节目和4个舞蹈节目的演出节目单。(1) 任何两个舞蹈节目不相邻的排法有多少种？(2) 歌唱节目与舞蹈节目间隔排列的方法有多少种？解：(1)先排歌唱节目有A5种，歌唱节目之间以及两端共有6个位子，从中选4个放入舞蹈节目，共有/A中方法，所以任两个舞蹈节目不相邻排法有：/AA4=43200.先排舞蹈节目有A：中方5个空位,恰好供5个歌(2)法，在舞蹈节目之间以及两端共有唱节目放入。所以歌唱节目与舞蹈节目间隔排列的排法有：A:4=2880种方法。例3某一天的课程表要排

8、入政治、语文、数学、物理、体育、美术共六节课，如果第一节不排体育，最后一节不排数学，那么共有多少种不同的排课程表的方法.分析与解法1：6六门课总的排法是a6，其中不符合要求的可分为：体育排在第一书有A55种排法，如图中I;数学排在最后一节有K种排法，如图中n；但这两种排法，都包括体育排在第一书数学排在最后一节，如图中川，这种情况有A:种排法，因此符合条件的排法应是：>42A5a4504(种).例4现有3辆公交车、3位司机和3位售票员，每辆车上需配1位司机和1位售票员.问车辆、司机、售票员搭配方案一共有多少种？分析：可以把3辆车看成排了顺序的三个空：，然后把3名司机和3名售票员分别填入-因

9、此可认为事件分两步完成，每一步都是一个排列问题.解：分两步完成.第一步，把3名司机安排到3辆车中，有A6种安排方法；第二步把3名售票员安排到3辆车中，有/46种安排方法-故搭配方案共有AA36种.例5下表是高考第一批录取的一份志愿表.如果有4所重点院校，每所院校有3个专业是你较为满意的选择-若表格填满且规定学校没有重复，同一学校的专业也没有重复的话，你将有多少种不同的填表方法？学校专业112212312解：填表过程可分两步第一步，确定填报学校及其顺序，则在4所学校中选出3所并加排列，共有入3种不同的排法；第二步，从每所院校的3个专业中选出2个专业并确定其顺序，其中又包含三小步，因此总的排列数有

10、AAA种综合以上两步，由分步计数原理得不同的填表方法有：f(AA.AlA5184种.例67名同学排队照相.(1) 若分成两排照，前排3人，后排4人，有多少种不同的排法？(2) 若排成两排照，前排3人，后排4人，但其中甲必须在前排，乙必须在后排，有多少种不同的排法？(3) 若排成一排照，甲、乙、丙三人必须相邻，有多少种不同的排法？(4) 若排成一排照，7人中有4名男生，3名女生，女生不能相邻，有多少种不面的排法？解:(1)/4A:>45040种.(2)第一步安排甲，有A；种排法；第二步安排乙，有A4种排法；第三步余下的5人排在剩下的5个位置上，有A5种排法，由分步计数原理得，符合要求的排法

11、共有A；A：Af1440种.第一步，将甲、乙、丙视为一个元素，有其余4个元素排成一排，即看成5个元素的全排列问题，有A55种排法；第二步，甲、乙、丙三人内部全排列，有屁种排法-由分步计数原理得，共有AA72。种排法.（4）第一步，4名男生全排列，有A：种排法；第二步，女生插空，即将3名女生插入4名男生之间的5个空位，这样可保证女生不相邻，易知有A3种插入方法.由分步计数原理得，符合条件的排法共有：A：A1440种.例8a,b,c,d,e,f六人排一列纵队，限定a要排在b的前面（a与b可以相邻，也可以不相邻），求共有几种排法对这个题目，A、B、C、D四位同学各自给出了一种算式：A的算式是A,6;

12、B的算式是（AA；A3a4a5）A；C的算式是A;224D的算式是CeA-上面四个算式是否正确，正确的加以解释，不正确的说明理由.解：A中很显然，“a在b前的六人纵队”的排队数目与“b在a前的六人纵队”排队数目相等，而“六人纵队”的排法数目应是这二者数目之和-这表明：A的算式正确.B中把六人排队这件事划分为a占位，b占位，其他四人占位这样三个阶段，然后用乘法求出总数，注意到a占位的状况决定了b占位的方法数，第一阶段，当a占据第一个位置时，b占位方法数是A;当a占据第2个位置时，b占位的方法数是A4;；当a占据第5个位置时，b占位的方法数是A-1，当a,b占位后，再排其他四人，他们有4种排法，可

13、见B的算式是正确的.4C中A可理解为从6个位置中选4个位置让c,d,e,f占据，这时，剩下的两个位置依前后顺序应是a,b的-因此C的算式也正确.2D中把6个位置先圈定两个位置的方法数C6，这两个位置让a,b占据，显然，a,b占据这两个圈定的位置的方法只有一种（a要在b的前面），这时，再排其余四人，又有A：种排法，可见D的算式是对的例9八个人分两排坐，每排四人，限定甲必须坐在前排，乙、丙必须坐在同一排，共有多少种安排办法？解法1：可分为“乙、丙坐在前排，甲坐在前排的八人坐法”和“乙、丙在后排，甲坐在前排的八人坐法”两类情况.应当使用加法原理，在每类情况下，划分“乙丙坐下”、“甲坐下”；“其他五人

14、坐下,，三个步骤，又要用到分步计数原理，这样可有如下算法：a4A4a4a4a58640（种）解法2：采取“总方法数减去不命题意的所有方法数”的算法把“甲坐在第一排的八人坐法数”看成“总方法数”，这个数目是/VA-在这种前提下，不合题意的方法是“甲坐第一排，且乙、丙坐两排的八人坐法这个数目是a1c2a3a1a5,其中第一个因数a1表示甲坐在第一排的方法数，c2表示从乙、丙中任选出一人的办法数，表示把选出的这个人安排在第一排的方法数，下一个a:则表示乙、丙中沿未安排的那个人坐在第二排的方法数，芳5就是其他五人的坐法数，于是总的方法数为A：A；a4c2AsA：a58640（种）.说明：解法2可在学完

15、组合后回过头来学习.例10计划在某画廊展出10幅不同的画，其中1幅水彩画、4幅油画、5幅国画，排成一行陈列，要求同一品种的画必须连在一起，并且水彩画不放在两端，那么不同陈列方式有（）.A-Aa5B.A；A：A5C.c3A：A；DA：A：>4解：将同一品种的画“捆”在一起，注意到水彩画不放在两端，共有A；种排列.但4幅油画、5幅国画本身还有排列顺序要求所以共有A；AA；种陈列方式.应选D说明：关于“若干个元素相邻”的排列问题，一般使用“捆绑”法，也就是将相邻的若干个元素“捆绑”在一起，看作一个大元素，与其他的元素进行全排列；然后，再“松绑”，将被“捆绑”的若干元素，内部进行全排列本例题就是

16、一个典型的用“捆绑”法来解答的问题.例11由数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数的个数共有（）A-210B.300C.464D-600解法1:（直接法）：分别用123,4,5作十万位的排列数，共有5A5种，所以其中个位1数字小于十位数字的这样的六位数有15A5300个2解法2：（间接法）：取0,1,5个数字排列有A6，而0作为十万位的排列有/4，所以其中个位数字小于十位数字的这样的六位数有1（A65a5）300（个）.2说明：（1）直接法、间接法是解决有关排列应用题的两种基本方法，何时使用直接法或间接法要视问题而定，有的问题如果使用直接法解决比较困难或者比

17、较麻烦，这时应考虑能否用间接法来解-（2）“个位数字小于十位数字”与“个位数字大于十位数字”具有对称性，这两类的六位数个数一样多，即各占全部六位数的一半，同类问题还有6个人排队照像时，甲必须站在乙的左侧，共有多少种排法-例12用1,2,3,4,5，这五个数字，组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有（）-A.24个B.30个C.40个D.60个分析：本题是带有附加条件的排列问题，可以有多种思考方法，可分类，可分步，可利用概率，也可利用本题所提供的选择项分析判断.解法1:分类计算.将符合条件的偶数分为两类-一类是2作个位数，共有A：个，另一类是4作个位数，也有A2个.因此符合条件的偶数共有A：A4

18、”24个.解法2:分步计算.先排个位数字，有A2种排法，再排十位和百位数字，有三位偶数应有A2A424个.解法3:按概率算.用15这5个数字可以组成没有重复数字的三位数共有2此三位偶数共有60-24个.5解法4：利用选择项判断.用15这5个数字可以组成没有重复数字的三位数共有A：种排法，根据分步计数原理,32A60个，其中偶点其中的一.因460个.其中偶数少于奇数,因此偶数的个数应少于30个，四个选择项所提供的答案中，只有A符合条件.应选A.（1）可以组成多少个无重复例13用0、1、2、3、4、5共六个数字，组成无重复数字的自然数,数字的3位偶数？（2）可以组成多少个无重复数字且被3整除的三位

19、数？分析：3位偶数要求个位是偶数且首位数字不能是0,由于个位用或者不用数字0,对确定首位数字有影响，所以需要就个位数字用0或者用2、4进行分类.一个自然数能被3整除的条件是所有数字之和是3的倍数，本题可以先确定用哪三个数字，然后进行排列，但要注意就用与不用数字0进行分类解：（1）就个位用0还是用2、4分成两类，个位用0,其它两位从1、2、3、4中任取两数排24432（个），列，共有A12（个），个位用2或4，再确定首位，最后确定十位，共有所有3位偶数的总数为：123244（个）.（012）、（2）从0、2、3、4、5中取出和为3的倍数的三个数,分别有下列取法:（015）、0,（024）、（045）、（123）、（135）、（234）、（345）'前四组中有后四组中没有0，用它们排成三位数，如果用前4组，共有42A：16（个），如果用后四组,共有4人324（个），所有被3整除的三位数的总数为162440（个）.例14一条长椅上有7个座位，4人坐，要求3个空位中，有2个空位相