高考数学二轮复习专题二三角恒等变换与解三角形

1、-1-第2讲三角恒等变换与解三角形利用三角恒等变换化简、求值核心提炼1 .两角和与差的正弦、余弦、正切公式(1)sin(a,=sinacos。土cosasin6；(2)cos(a土,=cosacos。?sinasintanatan3(3)tan(af)=:厂.1 ?tanatan&2 .二倍角的正弦、余弦、正切公式(1)sin2a=2sinacosa;(2)cos2a=cos2asin2a=2cos2a1=12sin2a2tana(3)tan2a=-.1-tan2a典型例题即3；cos即.3sin所以sin=sin所以sin兀+6=45,例1(1)已知cos0-+sine=华,则5si

2、n9C.D.4,35若sin2a=普,sin(6a)=0,且7t4兀，学，则a+3的值是(A7K9_2B.4C.专或令【解析】.、-兀.(1)因为cos0+sin所以23cosA3A&e+2sine=号，4.5.故选C.-2-，一一兀-一.一兀，所以22，2兀，又sin2a(2)因为-3-4,亍，所以cos2a=一誓.又3cos(3一由=一10,所以cos(a+。)=cos2a+(3-a)=cos2航cos(阡由sin2asin(331F-平*栾=乎且好匹苓2冗【答案】(1)C(2)A三角函数恒等变换“四大策略”常值代换：特别是1”的代换，1=sin2。+cos2。=tan45等；项的

3、分拆与角的配凑：如sin2a+2cos2a=(sin2a+cos2a)+cos2a,(3)降次与升次：正用二倍角公式升次，逆用二倍角公式降次;(4)弦、切互化：一般是切化弦.对点训练(2019杭州市高三模拟)函数f(x)=3sinxcos|+4cos2x(xR)的最大值等于()A.B.C.D.解析：选B.因为f(x)=3sinxcos乡+4cos2x=3sinx+2cosx+2=5Isinx+cosx+222555=2sin(x+4)+2,其中sin(j)=4,cos忙f，所以函数f(x)的最大值为|.a.a._.一.一 5.，一2.(2019浙江五校联考)已知3tan+tan2=1,sin。

4、=3sin(2a+疆则tan(a+。)=()44A.3B-3八2-C.3D.3解析：选B.因为sin(3=3sin(2(x+趴所以sin(x+一o=3sin(x+6)+a,-4-5-所以sin(a+砰cosacos(a+6)sina=3sin(a+砰cosa+3cos(a+6)sina，所以2sin(a+,cosa=4cos(a+,sina,eex/,nxsin(a+食4sina所以tan(a+=2tan也,cos(a+护2cosa又因为3tan-+tan2=1,所以3tan-=1-tan2万,a所以tana=W，所以tan(a+=2tana=?1t2a331 +tanx7tsinxcosxV

5、41两边平方碍:sin2x+2sinxcosx+coSx=;4一13即1+sin2x=-，贝Usin2x=,sinx1+_,1+tanxcosx百二一sinxcosx42sinx(cosx+sinx)2222；28.2_sin2x33.43/）考点2利用正、余弦定理解三角形核心提炼1.正弦定理及其变形在ABC中，一土=一=一土=2R（RABC的外接圆半径）.变形：a=2RsinA,sinsinAsinBsinCA=,a:b:c=sinA:sinB:sinC等.2R3.（2019宁波诺丁汉大学附中高三期中检测1)右sin(兀+x)+cos(兀+x)=贝Usin2x=解析:sin(兀+x)+cos

6、(兀+x)=sinxcosx=12即sin x+cosx=12,sinxcosx.3答案：一3-6-2.余弦定理及其变形-7-在ABC中，a2=b2+c22bccosA;b2+c2-a2cosA=2bc3.三角形面积公式-111.SAABC=2absinC=bcsinA=2acsinB.典型例题例 2】(1)(2018高考浙江卷)在ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若a=,C1c取BC的中点D,贝UCA-CB=|DA|=2.在ADC中，AD2=AC2+CD22ACCDcosC,所以ab=2bc2bc9当且仅当b=c时取等号,故cosA的最小值为7.9当A=m时，可得m=sinB+

7、sinC,32+,2J2.3故m=sinB+-sinC=sinB+半in号一B33323.2.3.31=3sinB+32cosB+2sinB2、333 sinB+cosB+3sinB=V3sinB+cosB=2sinB+,因为BE0,271所以B+65兀，6所以TtsinB+-12-解析：选B.设角A,B,C所对的边分别为a,因为AC-AB=|AC-AB|=3,所以bccosA=a=3.又cosA=52a21-e=1-y,2bc2bc2.2所以cosA5,所以0sinA血,5所以ABC的面积S=1bcsinA=3tanA2ab,因此在解三角形中，若涉及已知条件中含边长之间的关系，且与面积有关的

8、最值问题，一般利用1,八S2absinC型面积公式及基本不等式求解，有时也用到三角函数的有界性.求三角形中范围问题的常见类型求三角形某边的取值范围.求三角形一个内角的取值范围，或者一个内角的正弦、余弦的取值范围.求与已知有关的参数的范围或最值.对点训练.点厂2一.一一,1.在ABC中，ACAB=|ACAB|=3,则ABC面积的最大值为(3214A.,21B：1C.2D.3.21B.2D.2+2-13-1_1解析：选C.根据题息，有，ABC=泌2=bcsinA,c应用余弦TE理，可碍b2+c22bccosA=2bcsinA，令t=于是t2+12tcosA=2tsinA.于b是2tsinA+2tc

9、osA=t2+1,所以22sinA+=t+，从而t+136,当且仅当tan0=艘时等号成立，即MP2+sin9costan2MQ2的最小值为36.9.已知2cos2x+sin2x=Asin(3x+(j)+b(A0),贝UA=,b=.解析：由于2cos2x+sin2x=1+cos2x+sin2x=V2sin(2x+-4)+1,所以A=戒，b=1.答案：.21.一 4 一一三JL10.若0,2,cos4-a所以m=tanA,=2,故选D.+cos2=2/2cos2a,则sin2a-18-所以cosa+sina=0或cosa-sina由cosa+sina=0得tana=1,因为长0,所以cosa+s

10、ina=0不满足条件；由cosasina=,两边平方得1sin2a=,416.15所以sin2a=16,15答案:籍11.(2019金丽衢十二校联考二模)在左ABC中， 内角A、B、C所对的边分别为a、b、c,acosB=bcosA,4芸2a2c2,其中，是/ABC的面积，贝UC的大小为.解析：ABC中，acosB=bcosA,所以sinAcosB=sinBcosA,所以sinAcosBcosAsinB=sin(AB)=0,所以A=B,所以a=b;1又ABC的面积为S=absinC,且4S=2a2c2,所以2absinC=2a2c2=a2+b2c2,a2+b2c2所以sinC=cosC,2ab

11、丸所以C=.4,兀答案：丁412.(2019绍兴市一中高三期末检测)ABC中，D为线段BC的中点，AB=2AC=2,tan/CAD=sin/BAC，贝UBC=.解析：由正弦定理可知sin/CAD=2，又tanZCAD=sin/BAC，则sin/CAD=sin(ZCADsinZBADcosZCAD+/BAD),利用三角恒等变形可化为解析:2由已知碍2(cosa+sina)=2寸2(cosasina)(cosa+sina),-19-1cosZBAC=2，据余弦7E理BC=4AC2+AB22ACABcosZBAC=廿 1+42=3.答案：.313. (2019惠州第一次调研)已知a,b,c是ABC中角A,B,C的对边，a=4,b(4,6),sin2A=sinC,贝Uc的取值范围为.c一4c.一一一一解析：由赢！=侍慕！=疝A所以c=8cosA，因为16=b2+c2-2bccosA，所-20-2以16b2=64cos2_16bcos2A，又b乒4,所以cos2A=64:16b=16(4b)=W4+b所以c2=64cos2A=64X言=16+4b.因为b(4,6),所以32c240,所以4/2c/3sinBcosC=sinBcos2-B3=