椭圆专题复习

1、椭圆专题复习一、椭圆的定义：平面内到两个定点F1、 F2 的距离的和等于常数( 大于 F1F2) 的点的轨迹叫做_这两定点叫做椭圆的_，两焦点间的距离叫 _ 集合 PM|MF1MF2 2a ， F1F22c，其中 a>0，c>0，且 a， c 为常数：(1) 若 _，则集合 P 为椭圆；(2) 若 _，则集合 P 为线段；(3) 若 _，则集合 P 为空集二、椭圆的标准方程、参数方程和一般方程：1、焦点在轴：（参数方程，其中为参数）2、焦点在轴：（参数方程，其中为参数）一般方程可设为：（通常已知椭圆过两点时求椭圆方程，可设为一般方程）三、椭圆的几何性质（以为例）1、范围：，2、对称

2、性：两条对称轴，；一个对称中心3、顶点及焦点坐标： 椭圆与坐标轴的交点叫做双曲线的顶点，即四个顶点，；两个焦点，4、长短轴及焦距：长轴长为，短轴长为，焦距5、的关系及离心率：；离心率，越小椭圆越圆，越大椭圆越扁6、通径：过焦点并垂直于长轴的弦，弦长为例：1、分别求满足下列条件的椭圆的标准方程（1）长轴长是短轴长的3 倍，经过(2)椭圆经过两点2、求出椭圆的离心率x2y2若 P 是以 F1、 F2 为焦点的椭圆 a2 b2 1(a>b>0) 上的一点，且离心率为 _P1(6，1) ， P2( 3，2)1PF1· PF2 0，tan PF1F2 2，则此椭圆的x2y2设以 F

3、1、F2 为焦点的椭圆a2 b2 1(a>b>0) 上存在一点 P，使, 求离心率的范围3、求适合下列条件的椭圆的标准方程：（1）椭圆上点P 到两个焦点的距离分别为5、 3，过 P 且与长轴垂直的直线恰过椭圆的一个焦点；四、共焦点椭圆系方程与共焦点的椭圆方程可设为，再代点求参数例题：求经过点(2 ， 1) ，且与椭圆12x2 3y2 36 有共同焦点的椭圆方程.五、点与椭圆的位置关系（ 1）点在椭圆内（ 2）点在椭圆上（ 3）点在椭圆外六、直线与椭圆的位置关系（ 1）位置关系：相交 相切 相离（ 2）判断方法：联立直线与椭圆方程，通过判别式判断若直线与椭圆没有交点相离若直线与椭圆有

4、一个交点相切若直线与椭圆有两个交点相交例题：已知直线，椭圆试问当取何值时，直线与椭圆 C相交相切相离七、中点弦问题：与圆锥曲线的弦的中点有关的问题处理椭圆中的中点弦问题主要有三个途径：1、方程组法：联立直线与椭圆方程，通过韦达定理写出中点坐标进行求解（注意判别式要大于0）2、点差法：对直线与椭圆的两焦点设而不求，分别代入椭圆方程，两式相减既得弦的中点坐标和斜率的关系例： 1、已知直线与椭圆交于 A、B 两点， A、 B 中点坐标为，求直线的方程2、已知椭圆（1）求斜率为2 的平行弦的中点的轨迹方程（2）过点的直线与椭圆相交，求被截得的弦中点的轨迹方程八、焦点三角形：（椭圆上的一点与两焦点构成的

5、三角形）（ 1）焦点三角形的面积：中结合定义与余弦定理，将有关线段、和角结合起来，设，则例： 1、 . 已知是椭圆C:(a>b>0) 的两个焦点，P 是椭圆上一点，且, 若的面积是 16，则_2、已知点是椭圆上的一点，、为焦点，求点到轴的距离 .（ 2）焦点三角形的周长：利用椭圆的定义（为椭圆上的一点）例：已知、为椭圆的两个焦点，过的直线交椭圆于、两点 . 若，则.（ 3）有关的问题例题：设椭圆的两焦点分别为和，为椭圆上一点， 求的最大值， 并求此时点的坐标 .九、弦长问题（ 1）若直线与椭圆相交于两点、，推广：，再联立直线与椭圆方程，通过韦达定理进行求解，最后可得（为联立所得的一

6、元二次方程的二次项系数，为判别式）例题：已知斜率为2 的直线经过椭圆的右焦点，与椭圆交于A、 B 两点，求AB长十、三角形面积问题若直线与椭圆相交于两点、，直线外有一点，连接，则的求解方法是求出弦长求出点到直线的距离，那么例题：已知直线与椭圆相交于两点、，椭圆的右焦点为，求十一、椭圆的最值问题x2y2例题： 1、设 F1，F2 分别是椭圆 25 16 1 的左， 右焦点， P 为椭圆上任一点，点M的坐标为 (6,4) ，则 PM PF1的最小值为 _ 最大值为2、若椭圆内有一点,为右焦点，椭圆上有一点，的最大值为，最小值为 _综合练习1、已知椭圆C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，椭圆C上的

7、点到焦点距离的最大值为3，最小值为1.(1) 求椭圆 C的标准方程；(2) 若直线 l ：y kx m与椭圆 C 相交于 A， B 两点 (A， B 不是左右顶点 ) ，且以 AB为直径的圆过椭圆 C 的右顶点求证：直线 l 过定点，并求出该定点的坐标2 、设是椭圆上的 两点，且 满足，椭圆的离心率，短轴长为2， O为坐标原点（1）求椭圆的方程（2）若存在斜率为的直线 AB过椭圆的焦点（c 为半焦距），求直线AB的斜率的值（3）试问：的面积是否为定值？若是，请给出证明；若不是，请说明理由3、（2012 重庆高考21）已知椭圆的中点为原点O，长轴在 x 轴上，上顶点为A，左右焦点分别为，线段的中点分别为，且是面积为4 的直角三角形（ 1）求该椭圆的离心率及标准方程（ 2）过作直线交椭圆于点P,Q，求的面积4、已知直线l ：y x6，圆O： x2 y2 5，椭圆y2x2E：a2 b2 1(a b 0) 的离心率e3，直线3l被圆O截得的弦长与椭圆的短轴长相等（ 1）求椭圆E 的方程（ 2）在椭圆E 上是否存在三个点E、F、