完全平方数(初中数学竞赛教案)

1、页脚课题：完全平方数一、本课知识点和能力目标1.知识点：个位数的计算或判断，需要掌握由一般到特殊的归纳思想、方法，通过知识的传授培养学生的数学能力。完全平方数是一种特殊的整数，有其独特的性质，通过学习，学生要学会判断一个数是否完全平方数，并能利用完全平方数的性质解决一些数学问题。2.能力目标：本讲采用举例的办法，介绍以帮助同学们轻松地进行计算,从而提高运算能力，发展思维的敏捷性与灵活性。二、数学思想：一般到特殊，分类讨论思想。三、本次授课节次及内容安排第 1 课时：个位数的判定。第 2 课时：完全平方数第 3 课时：典型例题剖析第 4 课时：课堂反馈.四、课外延伸、思维拓展第一课时知识要点页脚

2、个位数知识：1.整数之和（差）的个位数等于其个位数之和（差）。2.整数之积的个位数等于其各个因数的各位数之积。3.正整数的籍的个位数有一定的规律。（a）n 次籍后，0,1,5,6 的个位数保持不变。（b）个位数为 4,9 的数，n 次籍后的个位数以 2 为周期变化。（c）个位数为 2,3,7,8 的数，n 次籍后的个位数以 4 为周期变化。【经典例题】例1.求19971999的个位数。答案：3。例2试证：（153533333是10的倍数；（2）3199841998是5的倍数。答案：（1）0;（2）3。例 3.数 310001g710002g310003的个位数字是什么?答案：91999例 4.

3、a1997,求 afi 勺个位数字。答案：1尝试练习：1.求333的侗位数字.(香港宵少年数孥精英5!拔赛20002001)2.78878778的侗位数字是?筋一屈奉耀庚杯香港小孥精英赛)3.219983199972000的侗位数字是?(199歼香港数孥奥林匹克)页脚4.200120012002200220032003的侗位数字是?(200件香港数孥奥林匹克)5.632(7313178)的侗位数字是?6.3211110勺绘数是多少？答案：(1)3;(2)1;(3)8;(4)2;(5)2;(6)7第二课时知识要点如果n是一个整数，则n2就叫完全平方数。性质：(1)平方数的个位数只能是0,1,4,

4、5,6,9.(2)平方数被3除的余数只能是0和1。(3)奇数的平方数为4m+1,偶数的平方数是4m.(4)平方数的个位数是奇数1,5,9时，十位数字一定是偶数。(5)平方数之积是平方数。(6)平方数的正约数个数为奇数。根据平方数的定义和性质，有如下非平方数的判定方法:(1)两相邻平方数再没有平方数。(2)个位数是2,3,7,8的正整数不是平方数。(3)正约数个数是偶数个的正整数不是完全平方数。(4)个位数字与十位数字都是奇数的数不是平方数。(5)若存在质数p|a,而p2?a,则a不是平方数。页脚【经典例题】例 1.试证：形如 3n+2 的数不是完全平方数。证明：整数被3除，余数分别为0,1,2

5、。易得：被3整除的数的平方数仍被3整除，被3除余1的数的平方(3k+1)2=9k2+6k+1余数仍为1.被3除余2的数的平方(3k+2)2=9k2+12k+4余数仍为1故任何形如 3n+2 的数都不是完全平方数。例 2.求证：奇数的平方数被 8 除余 1,偶数的平方数一定是 4 的倍数。证明：奇数(2n+1)2=4n2+4n+1=4n(n+1)+1,n、n+1 为连续整数，必有一个偶数.偶数(2n)2=4n2,为 4 的倍数。故得证。例 3.使得(n219n91)为完全平方数的白然数 n 的个数是多少？分析： 若 n2-19n+91处于两个连续的整数平方数中，就不可能是完全平方数。解：n219

6、n91(n9)2(10n),当 n10 时，(n219n91)不会为完全平方数当 n10 时，(n219n91)才能为为完全平方数。经计算： 当 n9 或 10 时， (n219n91)为完全平方数(n219n91)为完全平方数的值有2 个。例 4.一个白然数减去 45 后是一个平方数，这个白然数加上 44,仍是平方数，试求这个平方数。页脚解：设这个自然数为x,得2x-45=m其中1m,n为自然数。则n2m289.(nm)(nm)89.Q89是质数，nm89/曰碍nm1代入得:x=1981.尝试练习:1.判断 11、111、1111、111.11,这串数中是否有完全平方数(n1)个1答：没有完

7、全平方数。(由性质 4 可得)2已知A4ab3E是a2的算术平方根，B=3a+2b-92-b2b的立方根，求AB的n方根。4ab32,曰a2解：由题意得：喝*Qa 侍人 a3a2b93b3.所以 A=2,B=-1。当为奇数时，A+B 的 n 次方根为 1。当为偶数时，A+B 的 n 次方根为1。3.999L9999L91999L9的末尾有畿彳固零？2004彳固2004彳固2004彳固方法一：由特殊到一般研究规律得：末尾有4008个0。方法二:原式（10241）22（10241）1（102411）21048.4.已知 1176a 是一个完全平方数，求 a 的最小值。页脚解：a 的最小值为 6.5

8、.一个四位正数， 加上400后就成为一个自然数的完全平方数， 这样的四位数的个数有几个？解：设这个正数为X,则1000 x9999,1400 x10399.而382144414003721369,10121020110399102210404.故共有64个四位数。第三课时【典型例题剖析】例 1.已知四位数abcd是 11 的倍数，且有 b+c=a,bc是元全平方数，求此四位数。页脚解：Qabcd是11的倍数，则有ac(bd)11k(k1,0,1),c0,1,4.当c=0时,d=0,则a=b=O（不合题意，舍去）c=1时,d=2,bc是元全平方数，则b=8.当b=8时，a=9.即满足条件的四位数

9、为9812。当c=4时,d=8,bc是元全平方数，则b=6.当b=6时，a=10.舍去。c6或9.当c=6时,d=1,得b=1或3,当b=1时，a=7;当b=3时，a=9.满足条件的数有7161,9361当c=9时,d=7,bc是完全平万数，则b=4.此时a=13.（舍去）/、，acbd11人工当k1,2cd11,c0,舍去。Qbc是完全平方数,c0,1,4,5,6,9.(1肖k0,由:d2c.(2)当k1,由112cd11,页脚bca即满足条件的四位数是9812,7161,9361。例 2.设有四个正整数 2,5,13 和 d,其中d2,5,13.求证：在这四个数中存在两个数 a、b,使得（

10、ab-1）不是完全平方数证明：显然(25-1),(213-1),(513-1)皆为完全平方数，若(2d-1),(5d-1),(13d-1)均为平方数，设2d-1=x2,5d1y2,13d1z2.由2d-1=x2得妙奇数，设x2x11.2d1(2x11)24x124x11,d2x122x11为奇数。y、z均为偶数，设y=2y1,z2z1而z2y28d,即(z+y)(z-y)=(2z1+2y)(2z-2y)=4(召+)(zyD=8d(z1+yD(z1-y1)=2d,由(z1+y1),(z1-y1)同奇偶得d为偶数。矛盾。(2d-1),(5d-1),(13d-1)存在非完全平方数。例 3.一个四位数

11、场是一个平方数，且适合 x=y+z,x+z=10t，求这四个数。解：0 xz18,且xz10t,xz10,x10z乂Qyxz(xz)2z102z0,得：z5.乂x10z9,得z1,故(z,x,y)有以下可能：(1,9,8);(2,8,6);(3,7,4);(4,6,2);(5,5,0).对应的数为9811,8621,7431,6241,5051。由性质(4)9811,7431,5051不是完全平方数，页脚经验证：6241符合题意。【尝试练习】1.求证：四个连续整数的积加 1 是一个完全平方数。证明：连续白然数 n,n+1,n+2,n+3.则 n(n+1)(n+2)(n+3)+1=(n2+3n+

12、1)2.命题得证。2.试证：完全平方数个位数字是奇数时，其十位数上的数字必为偶数。证明： 当数为一位数时， 显然其完全平方数的个位数为奇数时， 十位数为偶数。 (完全平方数为个位数时也符合题意。)若这个数为多位数，设个位数为b,则该数可表示为10a+b,(10a+b)2=100a2+20ab+b2.显然偶数位数字为偶数。第四课时【课堂反馈】姓名得分1.能够整除511713的最小质数是(5)。A.2B.3C.5D.72.p124273(935)4的个位数字是0.3.a、b是自然数,旦1176a=t4,则a的最小值是2646.4. 下列四个数：921438,76186,750235,2660161

13、 中，只有 2660161是完全平方数。5. 能被 252 整除的最小完全平方数是 1764.提示：252=22*32*7,页脚6. 在下列括号中填入适当的正整数，2_2-_222_25(3)2(2)2;23(12)2(11)2;1985(993)2(992)2;从以上填空中，你发现了什么规律？请用等式表示出来。2k+1=(k+1)2-(k)27. 五个连续白然数的平方和不是平方数。证明：连续自然数n-2,n-1,n,n+1,n+2.(n-2)+(n-1)+n+(n+1)+(n+2)5(n2),Q5|5(n22),但52不整除5(n22)。5(n22)不是完全平方数。8.一个正整数若加上 50

14、 得一个完全平方数，若减去 31 又得一个完全平方数，求这个正整数。简解：类似于第二课时例 4.解得：正整数为 1631 或 175 或 319 试证：a(a+1)+1(a 是白然数)不能是某个整数的平方。证明：a2a(a1)1a2a1(a1)2a(a1)1不是某个数的平方。10 设 n 是整数，如果 n2的十位数字是 7,那么 n2的个位数字是多少？解：设n10 xy,x,y为整数，且0y9,则n2100 x220 xyy2.若n2的十位数字为奇数，则y2的十位数字也为奇数，y216或36。页脚则n2的个位数字为6.四.课外延伸、思维拓展1.若 n 是正整数，3n+1 是一个完全平方数，试证

15、：n+1 是 3 个完全平方数的和。证明：设3n1m2,显然M整除m,因此，m3k1或m3k2(k是自然数)。m1(3k1)12有m3k1,则n3k22k33此时n13k22k1k2k2(k1)2.若m3k2,则nm_1(3k2)13k24k3.33此时：n13k24k31k2k2(k2)2.综上所述,n1是3个完全平方数的和。2. 证明：当 n 为白然数时，2(2n+1)形式的数不能表示为两个整数的平方差。证明：(反证法)若 2(2n1)x2y2(x,y 为正整数)(xy)(xy).由 xy 和 xy 的奇偶性相同，得 4|(xy)(xy).页脚但 4 不整除 2(2n1)，矛盾。3. 正整数 n