《数值计算办法》试题集及参考答案

1、1、一4-1：0数值计算方法、填空题:ir0-14J,则A的LU分解为答案:一1TA=-1/410-4/151'-11540-156153、"1)=Tf(2)=2，f(3)=1,则过这三点的二次插值多项式中2.x的系数为，拉格朗日插值多项式为。答案：-1,11L2(x)=2(x-2)(x-3)-2(x-1)(x-3)-(x-1)(x-2)、_.4、近似值x=0.231关于真值x=0.229有(2)位有效数字;5、设f(x)可微，求方程x=f(x)的牛顿迭代格式是()；xn-f(xn)xn1-xn一：答案1一f的)6、X寸f(x)=x3+x+1，差商f0,1,2,3=(1),f

2、0,1,2,3,4=(0)；7、计算方法主要研究(截断)误差和(舍入)误差;8、用二分法求非线性方程f(x)=0在区间(a,b)内的根时，二分b-an次后的误差限为(2n七)；10、已知f(1)=2,11、解线性方程组f(2)=3,f(4)=5.9,则二次Newton插值多项式中x2系数为(0.15);Ax=b的高斯顺序消元法满足的充要条件为(A的各阶顺序主子式均不为零)。y=1012、为了使计算21,、3x-1(x-1)(x-1)的乘除法次数尽量地少，应将该表达式改写为一一，一、1y=10(3(4-6t)t)t,tx-1,为了减少舍入误差，应将表达式 ,1999-V1999改写为13、用二分

3、法求方程f(x)=x3+x1=0在区间0,1内的根，进行一步后根的所在区间为0.5,1，进行两步后根的所在区间为0.5,0.75。3xi+5x2=1小狗=(1_5x2k)/3'cc.C'(D(kM一14、求解方程组°2x1+4x2=0斯高斯塞德尔迭代格式为普=-x1/20，该迭代格式的迭1代矩阵的谱半径：?(M)=12015、设f(0)=0,f(1)=16,f(2)=46，则l1(x)=l1(x)=-x(x-2),f(x)的二次牛顿插值多项式为N2(x)=16x+7x(x1)f(x)dx:、Akf(xk)16、求积公式ak田的代数精度以(高斯型)求积公式为最高，具有(

4、2n+1)次代数精度。21、如果用二分法求方程x3+x-4=0在区间1,2内的根精确到三位小数，需对分(10)次。0MxM1S(x)=132(x-1)a(x-1)b(x-1)c1_x_3口rr22、已知2''''"是三次样条函数，则a=(3),b=(3),c=(1)23、l0(x),l1(x)，ln(x)是以整数点Xo，X1，xn为节点的Lagrange插值基函数，则nV lk(x)=k-(1)，nn'Xklj(Xk)(X4X23)lk(x)=42k田(Xj),当n之2时"(x+x+3)。24、25、区间a,国上的三次样条插值函数”刈

5、在a,b1上具有直到2阶的连续导26、改变函数f(x)=Mx+17'x(x1)的形式，使计算结果较精确f(X)4不+、晨。27、若用二分法求方程f(x)=0在区间1,2内的根，要求精确到第3位小数，则需要对分10_次。x1+1.6x2=128、写出求解方程组0.4x1+X2=2的Gauss-Seidel迭代公式'X(k*)=1-1.6x2k)'0-1.6、；书2.小=0,1，制)=2+0.40)，迭代矩阵为0-0.64此迭代法是否收敛收敛。,5 A =31、设 "44 3；,则网比=9。32、33、4A= 2设矩阵 148 21U = Io5 7I3 6一的

6、A = LU，贝UU ="若 f(x)=3x4+2x +1,则差商 f2,4,8,16,32 = 3。34、101线性方程组J21110丁52一3一的最小二乘解为36、A 二设矩阵一32J11r304l 一 .05分解为A=LU ,贝U U =-24一30110三21-2 _、单项选择题:1、Jacobi迭代法解方程组Ax=b的必要条件是(C)A.A的各阶顺序主子式不为零B.P(A)<1Can"i=1,2,nDA<122-3A=0512、设00一7一，则P(A)为(C).A.2B.5C.7D.34、求解线性方程组A(二b的LU分解法中，A须满足的条件是(B)A.

7、对称阵B.正定矩阵C.任意阵D.各阶顺序主子式均不为零5、舍入误差是(A)产生的误差。A.只取有限位数B.模型准确值与用数值方法求得的准确值C.观察与测量D.数学模型准确值与实际值6、3.141580是冗的有(B)位有效数字的近似值。A.6B.5C.4D.77、用1+x近似表示ex所产生的误差是(C)误差。A.模型B.观测C.截断D.舍入8、解线性方程组的主元素消去法中选择主元的目的是(A)oA.控制舍入误差B.减小方法误差C.防止计算时溢出D.简化计算9、用1+3近似表示3；=所产生的误差是(D)误差A.舍入B.观测C.模型D.截断10、-324.7500是舍入得到的近似值，它有(C)位有效

8、数字。A.5B.6C.7D.811、设f(-1)=1,f(0)=3,f(2)=4,则抛物插值多项式中x2的系数为(A)A.-0.5B.0.5C.2D.-212、三点的高斯型求积公式的代数精度为(C)oA.3B.4C.5D.213、(D)的3位有效数字是0.236X102(A)0.0023549义103(B)2354.82义10-2(C)235.418(D)235.54X10114、用简单迭彳t法求方程f(x)=0的实根，把方程f(x)=0表示成x=?(x),则f(x)=0的根是(B)(A)y=/x)与x轴交点的横坐标(B)y=x与y=?(x)交点的横坐标(C)y=x与x轴的交点的横坐标(D)y

9、=x与y=?(x)的交点3xi。x24x3=1，Xi+2x29x3=015、用列主元消去法解线性方程组4x1-3x2+X3=-1,第1次消元，选择主元为(A)0(A)4(B)3(C)4(D)916、拉格朗日插值多项式的余项是(B),牛顿插值多项式的余项是(C)。(A)f(x,x0,x1,x2,xn)(xx1)(xx2)(xxn1)(xxn),Rn(x)=f (x) -Pn(x)=(B)f(n 1)() (n 1)!(C)f(x,x0,x1,x2,xn)(xx0)(xx1)(xx2)(xxn1)(xxn),f(n1)(ARn(X)=f(X)-Pn(X)=-f(L，n1(X)(D)(n'1

10、)!18、用牛顿切线法解方程f(x)=0,选初始值x0满足(A),则它的解数列xnn=0,1,2,一定收敛到方程f(x)=0的根。19、为求方程x3x21=0在区间1.3,1.6内的一个根，把方程改写成下列形式，并建立相应的迭代公式，迭代公式不收敛的是(A)。21,-1x=，迭代公式：Xk+=-=(A)x-1xk-1(B)(C)X=1+4,迭代公式：Xk4=1+2XXk(D)-1 =x2，迭代公式：Xk4=1 +2Xk2XkXk 1X00.511.522.5f(x)-2-1.75-10.2524.25所确定的插值多项式的次数是(21、解方程组Ax=b的简单迭代格式x(«) =Bx(k

11、)+g收敛的充要条件是(1) ；(A) < 1,( 2) ：(B) ： 1 ,(3) ：(A) 1,(4) ：(B) 123、有下列数表)°(1)二次；(2)三次；(3)四次；(4)五次25、取出球1.732计算x=(点-1)4,下列方法中哪种最好？(161611.522.533.5-10.52.55.08.011.5(A)28-16向；(B) (4 一2 网)2； (C) (4+2 拘2 . (D) (V3+1)4。27、由下列数表进行Newton插值，所确定的插值多项式的最高次数是(A) 5; (B)4； (C)3； (D)2。29、计算百的Newton迭代格式为()xk

12、1(A)xk3xk 3xk2xk3 xk 1 =xk 1 = xk -=2xk; (B)22%;(C)2xk; (D)3xk131030、用二分法求方程x3+4x2-10=0在区间1,2内的实根，要求误差限为2,则对分次数至少为()(A>10; (B)12; (C)8; (D)9。32、设卜是以(A) x ； ( B) k ；xk=k(k =0，1川，9)为节点的Lagrange插值基函数，则 (C) i ； (D) 1。9' kh(k) =k印()35、已知方程x3 -2x -5=0在x =2附近有根，下列迭代格式中在x0 = 2不收敛的是()(A) xk # =也xk +5

13、. (B)36、由下列数据2 x k + 5xk3x2-2 o012341243-52+3xk ; (C) xk由=xk-xk -5; (D)确定的唯一插值多项式的次数为()(A>4； (B)2 ； (C)1 ; (D)3。三、是非题(认为正确的在后面的括弧中打？，否则打？)=1+X2，迭代公式：Xk4=(1+X2)1/31、已知观察信区，yi)(i=0，1,2,，m)，用最小二乘法求n次拟合多项式Pn(x)时，Pn(x)的次数n可以任意取。()2x2、用1-2近似表示cosx产生舍入误差。()(x-X0)(X-X2)3、(x1-x0)(x1-x2)表示在节点xi的二次(拉格朗日)插值基

14、函数。(？)4、牛顿插值多项式的优点是在计算时，高一级的插值多项式可利用前一次插值的结果。(？)5、矩阵A=具有严格对角占优。()四、计算题：4x12x2x3=11«x1+4x2+2x3=181、用高斯-塞德尔方法解方程组、2x1+x2+5x3=22,取x(0)=(Q0,0)T,迭代四次(要求按五位有效数字计算)。答案：迭代格式k000012.75003.81252.537520.209383.17893.680530.240432.59973.183940.504202.48203.70192、已知13452654分别用拉格朗日插值法和牛顿插值法求f(x)的三次插值多项式P3(x)

15、,并求f(2)的近似值(保留四位小数)。(x-3)(x-4)(x-5)(x-1)(x-4)(x-5)L3(x)26答案：(1-3)(1-4)(1-5)(3-1)(3-4)(3-5)差商表为一阶均差二阶均差三阶均差1236245-1-154-10-2-1012421355、已知求f(x)的二次拟合曲线p2(x),并求f'(0)的近似值答案：解：0-244-816-8161-121-11-22201000003131113342548161020015100343415a010a2=15，10al=3正规方程组为10ao+34也=416、已知sinx区间0.4,0.8的函数表0.40.50

16、.60.70.80.389420.479430.564640.644220.71736如用二次插值求sin0.63891的近似值，如何选择节点才能使误差最小？并求该近似值。答案：解：应选三个节点，使误差尽量小，即应使|O3(x)|尽量小，最靠近插值点的三个节点满足上述要求。即取节点H.5。6,0.7最好，实际计算结果sin0.63891%0.596274,且7、构造求解方程ex+10x2=0的根的迭代格式xn由=中2),L012,，讨论其收敛性，并将4根求出来，|xn+-xn|<100答案：解：令f(x)=ex+10x2,f(0)=2<0,f(1)=10+e>0.且f(x)=

17、ex+10A0对Vxq-巴+刃，故f(x)=0在(0,1)内有唯一实根.将方程f(x)=0变形为则当xW(0,1)时力2*)x e10故迭代格式且满足 |x7 一4 |0.000 000 95 < 10-6 .所以 x8、利用矩阵的LU分解法解方程组一1A = LU =答案：解:213 -5x1 2x2 3x3 = 14«2xi +5x2 +2x3 =183x1 + x2 + 5x3 = 20LO一1 23 1-4-24收敛。取x0=0.5,计算结果列表如下:n01230.50.0351278720.0964247850.089877325n45670.0905959930.0

18、905173400.0905259500.090525008*0.090525008令Ly=3my=(14,10,-72)t,3x12x210x3=159、对方程组«10x1-4x2-x3=5、2x1+10x2-4x3=8(1)试建立一种收敛的Seidel迭代公式，说明理由;取初值x(0)=(0,0,0)T,利用(1)中建立的迭代公式求解，要求IIx(k+1)-x(k)h<10F解：调整方程组的位置，使系数矩阵严格对角占优故对应的高斯塞德尔迭代法收敛.迭代格式为取x=(0，0，0)T,经7步迭代可得:x*x=(0.999991459,0.999950326,1.000010)t

19、10、已知下列实验数据解：当 0<x<1 时，f "(x) =ex,则1f"(x) ",且Le dx有一位整数.要求近似值有5位有效数字，只须误差R1(n)( f) <10xi1.361.952.16f(xi)16.84417.37818.435试按最小二乘原理求一次多项式拟合以上数据。R1(n)(f) <(b -a)312n2f ()即可，解得所以n=68,因此至少需将0,168等份。11、解:一15用列主元素消元法求解方程组 -21-1 15-2-41-41-1211一51：2-1-41-4-11X2-12-411-12回代得x3=1,

20、X2=6,x1=3。12、取节点X0 =0，X1 =0.5，X2 =1,求函数f (X)e”在区间0,1上的二次插值多项式P2(X),并估计解:P2(x) =eq (x-0.5)(x-1)+ e-0.5 x(0-0.5)(0-1)(x-0)(x-1)(0.5-0)(0.5-1)f(x)=e二,f(x)二e：M3=maX|f(x)尸1又x.0,1|R2(x)|=|e"-P2(x)|<-|x(x-0.5)(x-1)|故截断误差3!O15、用牛顿(切线)法求人的近似值。取X0=1.7,计算三次，保留五位小数。解：正是f(x)=x2-3=0的正根，f'(x)=2x,牛顿迭代公式

21、为Xn 1 = Xnx2 -32xnxn3Xn d ='即2 2xn(n =0,1,2,)取X0=1.7,列表如下:1231.732351.732051.7320516、已知f(-1)=2,f(1)=3,f(2)=-4,求拉格朗日插值多项式L2(x)及f(1,5)的近似值，取五位小数。L2(x)=2且_3_3-4解：(-1-1)(-1-2)(11)(1-2)(21)(2-1)18、用Gauss-Seidel迭代法求解线性方程组X1x2X3,5、-18取X(0)=(0,0,0)T,列表计算三次，保留三位小数。解：Gauss-Seidel迭代格式为：系数矩阵严格对角占优，故Gauss-Se

22、idel迭代收敛.取x(0)=(0,0,0)T,列表计算如下：11.6670.889-2.19522.3980.867-2.38332.4610.359-2.526220、(8分)用最小二乘法求形如y=a+bx的经验公式拟合以下数据:1925303819.032.349.073.32.解：=span1,x解方程组ATAC=AYT43391T173.6AAAy=其中33913529603|(179980.70.9255577C=解得：一0.0501025所以a=0.9255577,b=0.050102511Xn ；(3)22、(15分)方程x3-x-1=0在x=1.5附近有根，把方程写成三种不同

23、的等价形式(1)3-二X=C+1Xn41二x=vx1对应迭代格式x =X3 -1对应迭代格式%中=*+1；(2)Xx对应迭代格式3,一Xn+=Xn-1。判断迭代格式在X0=1.5的收敛性，选一种收敛格式计算x=1.5附近的根，精确到小数点后第三位。解:(1)(x)(2)17：(X) = -(X 1)3= _12x2,1 Xb(1.5)=0.18<1,故收敛;口(1.5)| =0.17<1,故收敛;(3)选择=3x20(15)| =3M.52>15故发散。X5(1):1.32476Xo =1.5X1 =1.3572X6 =1.32472x2 =1.3309X3 =1.3259x

24、4 =1.324923、(8 分)4 334I -1已知方程组-14AX其中(1)列出Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法的分量形式(2)求出Jacobi迭代矩阵的谱半径。x1(k加=-(24-3x2k)4泮，*。*”xji)(24+x2k)4解：Jacobi迭代法：、k=Q123Gauss-Seidel 迭代法:0Bj = -D 九L +U)=卜 I 0x1(k1)(24-3x2k)4x2k1)(30.3x1(k1) - x3k)4x3k1)(.24 x2k1)4k =Q1,2,3,-340340134010：(Bj) = ,：58 (或)=0.79056931、(12分)以100,121,144为插值节点，用插值法计算'布的近似值，并利用余项估计误差用Newton插值方法：差分表:1001211441011120.04761900.0434783