平面向量基本定理及经典例题

1、.教学目标:了解平面向量基本定理，理解平面向量的坐标概念，会用坐标形式进行向量的加法、数乘的运算，掌握向量坐标形式的平行的条件；教学重点：用向量的坐标表示向量加法、减法、数乘运算和平行.二. 课前预习若a/b,则x的值为()V2C、&D()rr(B)a(2,3),b(3,2)rr(D)a(3,2),b(6,4)3.已知点A(2,4),B(3,1),C(3,4),且CM3CA,CN2CB,则MN4.已知点A(1,5)和向量a=(2,3),若AB=3a,则点B的坐标为三. 知识归纳uruu1.平面向量基本定理：如果e,e是同一平面内的两个量，那么对丁这一平面rrirururuu内的任意向量a,有且

2、只有一对实效1,2,使a传2e2成立。其中,巳叫做这一平面的_组即对基底的要求是向量L2.坐标表示法：在直角坐标系内，分别取与x轴，y轴方向相同的两个单位向量i,j作基底，则对任一向量a,有且只有一对实数x,y，使axiyj、就把叫做向量a的坐标，记作o3.向量的坐标计算：O(0,0)为坐标原点，点A的坐标为(x,y),则向量OA的坐标为OA=点P、P2的坐标分别为(x,y)，P2(x2,V2)，则向量PF2的坐标为pE=即平面内任一向量的坐标等丁表示它的有向线段的点坐标减去点坐标.平面向量基本定理1.已知a=(x,2),b=(1,x)A、J2B、2.下列各组向量，共线的是rr(A)a(2,3

3、),b(4,6)rr4.线段中点坐标公式：A(xi,y)，B(X2,y2)线段中点为M则有：OM=M点的坐标为:5.两个向量平行的充要条件是：向量形式：a/b(b0)；坐标形式：a/b(b0).-e一一a6-a=(x,y),刘a.与a共线的单位向重是：ea四. 例题分析：例1.(1)、已知M(2,7)、N(10,-2)，点P是线段M启的点，且PN=2PM，贝UP点的坐标为()A(14,16)(B)(22,11)(C)(6,1)(。(2,4)、已知两点A(4,1),B(7,-3),则与向量AB同向的单位向量是()(A)34(B)24(C)43(D)4255555555rr一.r,r、若a=(2,

4、3),b=(4,7),则a在b万向上的投影为。rrrrrrrr一rr例2.(1)已知向重a(1,2),b(x,1),ua2b,v2ab,且u/v，求头数x的值。(2)已知向量a=(也,1),b=(0,-1),c=(k,M)。若a-2b与c共线，贝Uk=v_v例3.已知a(1,0),b(2,1),(1)求|a3b|；(2)当k为何实数时，kab与a3b平行，平行时它们是同向还是反向?uuur一例4.如图，平行四边形ABCLfr,E,F分别是BC,DC的中点，G为交点，若ABa,ADrb,rruur(1)试以a,b为基底表小DE、BF；(2)求证：A、GC二点共线。例5.如图，平行四边形ABC呻，

5、BE=1BABF=1BD求证:45三点共线。(利用向量证明)E,F,C五. 课后作业:1.a(3,sin2r1一rr),b(cos,一)且a/b,则锐角3(A)30(B)60o(C)45(D)752.平面内有三点A(0,3),B(3,3),C(x,1),且AB/BC,贝Ux的值是(A)1(B)5(C)1(D)53.如果e1,7是平面内所有向量的一组基底，那么下列命题中正确的是(urinr(A)若实数1,2使偈2620,M120ruruu(B)空间任一向量a可以表示为ag2巳，这里i,2是实数iruu(C)对实数1,2,向量1I262不一定在平面内4.下列各组向量中： 61(1,2)62(5,7

6、)甘(3,5)62(6,10)61(2,3)其中能作为表示它们所在平面内所有向量的基底的是()5.若A(-1,-2),B(4,8),且AC3CB,则C点坐标为;6.已知a(3,2),b(2,1),若a也ab平行，则入=；rrr.7.已知向量a(1,2),b与a万向相反，且|b|2|a|,那么向量b的坐标是8.已知a(5,4),b(3,2)，则与2旨3b平行的单位向量的坐标为二一一一rrr,、irrrrrrir9.已知a(3,1),b(1,2),c(1,7)，求pabc，并以a,b为基底来表小p。Hr一史址10.向量OA(k,12),OB(4,5),OC(10,k),当k为何值时，A,B,C二点

7、共线？平面向虽的数虽积一、教学目标：掌握平面向量的数量积及其性质，掌握两向量火角及两向量垂直的充要条件和向量数量积的简单运用.教学重点：平面向量数量积及其应用r(D)对平面内任一向重a,使airuu1612佥的头数i,2有无数对A.B.C.D.1362侦，W)二、课前预习：rrrrr1.已知向量a(3,4),b(2,1),如果向量axb与b垂直，则x的值为(223(A)T(C)2(D)252.下列命题正确的是uuuuuurABBA0；ruuuiruuu0AB0；ABuuurACuurBC；uuir0AB0rr3.平面向量a,b中,rr已知a(4,3),|b|1,r5，则向量brr4.已知向量a

8、,b的万向相同，且|a|3,|b|7,rr则|2ab|5.已知向量a和b的火角是120,且|a|2,|b|5，贝U(2ab)a=三、知识归纳1.平面向量的数量积:(1)定义：a(a0,b,为a与b的火角，0)；特例:0-a0,a2=aa=|a|2；rra cosbrrcos叫做向量a在b方向上rba方向上的注:acos(2).坐标运算：若a=(x1,y1),b=(x2,2.两个向量的火角与长度已知向量a=(x1,y),b=(x2,y2)(1)两个向量a与b的火角：向量形式:坐标形式:注:coscos,cos20;即ab0,cos20,即ab00.即ab020,即同向时，abab；，即反向时，a

9、bab(2)向量a的长度|a|2=a2=aa=.(ab)2.ab2abcos其中Pi=(xi,y)，P2=(X2,y2).3.向量的平行、垂直如果，两个向量a=(x1,y1),b=(x2,y2)那么,(2)两个向量垂直的充要条件是：向量形式:坐标形式:四：例题分析:例1.已知平面上三个向量a、b、c的模均为1,(1)求证：(ab)c;(2)若|kab|1(k例2.已知：a、b、c是同一平面内的三个向量，其中a=(1,2).其中a=(x,y)；两点间的距离公式：|P1P2|=(1)两个向量平行的充要条件是：向量形式:ab(b0)坐标形式:a/b(b0)它们相互之间的火角均为120,R),求k的取

10、值范围.(A)1(B)5(C)1(D)5(1)若|c|245，且c/a，求c的坐标；5(2)右|b|=,且a2b与2ab垂直，求a与b的火角.例3.1.若向量a,b,c满足a/b且aLc,则c?(a2b)A.4B.3C.2D.02.已知单位向量,e2的火角为60,则蹈巳uuuuuur3.在正三角形ABC中，D是BC上的点，AB3，BD1,则ABAD04.已知向量a，b满足(ab)(ab)，且a1,b2,则a与b的火角为.uuuvuuuvuLuruuvlin/【w5.在边长为1的正三角形ABC中，设BC2BD，CA3CE,则ADBE例4.(1)已知由向量AB=(3,2),AC=(1,k)确定的Z

11、XAB0直角三角形，求k的值。(2)设OA=(3,1),OB=(1,2),OCOB,BC/OA,试求满足OD+OA=OC的OD的坐标(。为原点)。五.课后作业:(A)1(B)5(C)1(D)51.平面内有三点A(0,3),B(3,3),C(x,1),且AB/BC,则x的值是(b|=2,a与b的火角为60,则a+b在a上的投影为一，r2.已知arr3,则a与b的火角是(A、150、120、60、303.已知向量(cos75,sin75),(cos15,sin15)，那么|ab|的值是()4.已知向量(A)4.2,05.在ABC中,(A)?2(B)(cos,sin),向量bAB6.在ABC中,若A

12、BA、6.，一r7.已知向重a平面上有三个点r8.已知|a|=1,(B)AC4,4、.2(D)1(V3,I)则滨b|的最大值，最小值分别是(C)16,0(D)4,00,ABC的面积是15,若|AB|4(B)3(明_5(D)-63,AC4,-0BAC60，则BAAC、-65，贝UBAC、-4rr.(1,2),b与a方向相反，且|b|2|a|,那么向量b的坐标是A(1,3),B(2,2),C(7,x),若B=90，则x=+b与2ab互相垂直，贝Ub与a的火角=一，r9.已知ar(5,4),br(3,2),则与2a3b平行的单位向量的坐标为一，一r10.(1)已知向重ar(6,2)与b(3,k)的火角是钝角，则k的取值范围是r已知向量ar(6,2)与b(3,k)的火角大丁90,则k的取值范围是11.(1)已知向量rra(3,4),b(2,1)，则a在b上的投影为已知|a|=|12.设O,A,B,C为平面上四个点，OAa,OBb,OCc，且abc0,abbc=ca1,则|a|b|c|=、疙,(1)若