长沙一中第五次考理数

1、炎德 英才大联考 长沙市一中2011届高三月考试卷（五）数学（理科）长沙市一中高三理科数学备课组组稿命题人：蒋楚辉审题人：胡雪文时量：120分钟满分：150分（考试范围：集合、逻辑、算法、函数、导数、三角函数、平面向量与复数、数列、推理与应用、不等式、不等式证明、计数原理、二项式定理、概率）本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共6页。时量120分钟。满分150分。一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知集合A = 2,0,1,集合B = x|XI<a且x Z,则满足A B的实数a可以取的一 个值是（）A.4234 i-

2、t r2. 若(1 2x) = a°+ a1x+ a2x + a3x + a4x，贝U |a°|+ |a1|+ |a2|+ |a3|+ |a4|的值为()p-2乂A.3. 如图，设D是图中边长分别为 2和4的矩形区域，E是D内位于函数 y= x2图象下方的区域（阴影部分）,向D内随机抛掷30个点，则落在E内的 点的个数约为（）4. 已知命题p:" a = 1是x>0, x+ a> 2的充分必要条件”，命题 q：xx° R, x0+ X。一 2>0”，则下列命题正确的是（）A. 命题“ pA q”是真命题B. 命题“ pA （n q）”是

3、真命题C. 命题"（n p）A q”是真命题D. 命题“ （n p）A （n q）”是真命题5. 已知 cos。a=¥，则 sinza% （）A.B. 3C.3D.33 36. 已知函数f(x)=才& >2)则f(log 45)等于(B)J(x+2)(x<2),A.2 5B.4 . 5C.3.5D. 5x-y+2 > 07. 已知实数x, y满足线性约束条件w x+y-4 > 0 ,目标函数z= y ax（a R）,若z取最大gx-y-5 w 0值时的唯一最优解是（1,3），则实数a的取值范围是（）A.（0,1）B.（ 1,0）C.（1 ,+

4、s ）D.（卩一1）8. 形如45132这样的数称为“波浪数”，即十位数字，千位数字均比它们各自相邻的数字大，则由1、2、3、4、5可构成的数字不重复的五位“波浪数”的概率为（）1 3112冒亦.面D不二、填空题：本大题共 7小题，每小题5分，共35分，把答案填在答题卡中对应题号后 的横线上9幕函数f(x) = xa( a为常数)的图象经过(3, - 3)，贝U f(x)的解析式是.10. 函数f(x) = exlnx 1的零点个数是个.11. 按下图所示的程序框图运算：若输出 k = 2，则输入x的取值范围是.开 jtfi彳辅入工 /T 仁0丫1 *肚+ I * *“十1 I_岀-/ ：结束

5、112. 数列an满足：a1= 2, a*= 1 (n= 2,3,4，)，贝U a12=.an 113. 已知函数f(x)=|x 2|,若 a工0且a, b R,都有不等式|a+ b|+ |a b|a|f(x)成立, 则实数x的取值范围是.14. 在厶ABC中有如下结论：“若点 M ABC的重心，则 MA + MB + MC = 0”，设a, b, c分别为 ABC的内角 A, B, C的对边，点M ABC的重心.如果a MA + b MB+ 丁 CMC = 0,则内角A的大小为；若a = 3，则 ABC的面积为.15. 给定集合 A= a1, a2, a3,an(n N , n>3)，

6、定义 ai+ 引(1 w i<j w n, i, j N )中所有不同值的个数为集合A两元素和的容量，用L(A)表示，若A = 2,4,6,8，则L(A)=;若数列an是等差数列，设集合 A= a1, a2, a3，am(其中m N*, m为常数)，则L(A) 关于m的表达式为.三、解答题：本大题共 6小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16. (本小题满分12分)若盒中装有同一型号的灯泡共12只，其中有9只合格品，3只次品.(1) 某工人师傅有放回地连续从该盒中取灯泡3次，每次取一只灯泡，求 2次取到次品的概率；(2) 某工人师傅用该盒中的灯泡去更换会议室的一只已坏

7、灯泡，每次从中取一灯泡，若是正品则用它更换已坏灯泡，若是次品则将其报废(不再放回原盒中)，求成功更换会议室的已坏灯泡前取出的次品灯泡只数X的分布列和数学期望.17. (本小题满分12分)已知函数f(x) = 2sin®xcos( 3汁+ *( w >0的最小正周期为 4n(1) 求正实数w的值；(2) 在厶ABC中，内角 A、B、C的对边分别为 a、b、c,且满足2bcosA = acosC+ ccosA, 求f(A)的值.18. (本小题满分12分)已知数列an的前三项与数列 bn的前三项对应相等，且a1 + 2a2 + 22a3+ 2n 1an = 8n 对任意的n N*都

8、成立，数列g+1 bn是等差数列.(1)求数列an与bn的通项公式；是否存在k N，使得bk ak (0,1)?请说明理由19. (本小题满分13分)某化工厂生产某种产品，每件产品的生产成本是3元，根据市场调查，预计每件产品的出厂价为x元(7< xw 10)时，一年的产量为(11 x)2万件；若该企业所生产的产品全部销售， 则称该企业正常生产；但为了保护环境，用于污染治理的费用与产量成正比，比例系数为常 数 a(1 w a w 3).(1) 求该企业正常生产一年的利润L(x)与出厂价x的函数关系式；(2) 当每件产品的出厂价定为多少元时，企业一年的利润最大，并求最大利润20. (本小题满

9、分13分)x, y (0, +1 1 +设函数y= f(x)的定义域为(0,+),且在(0, + 上单调递增，若对任意1 1g都有：f(xy) = f(x) + f(y)成立，数列an满足：a1= f(1) + 1, f(右)+ f(+ 27) = 0.2an +1 2an2an + 1 2an设 Sn= a1a2 + aja2 + a3a2 + + a：恂：+ a2+1.(1) 求数列 an的通项公式，并求 Sn关于n的表达式；(2) 设函数 g(x)对任意 x、y 都有：g(x+ y)= g(x) + g(y) + 2xy，若 g(1) = 1,正项数列bn 满足：bn= g(),Tn为数

10、列bn的前n项和，试比较4Sn与Tn的大小.21. (本小题满分13分)定义 F(x, y) = (1 + x)y,其中 x, y (0, + g).(1) 令函数f(x)= F(1 , Iog2(x3+ ax2 + bx+ 1)，其图象为曲线 C,若存在实数b使得曲线C 在X0( 4<X0< 1)处有斜率为8的切线，求实数 a的取值范围；(2) 令函数 g(x) = F(1, log2(ln x 1)ex+ x)，是否存在实数x° 1 , e,使曲线 y= g(x)在点x= x0处的切线与y轴垂直？若存在，求出x0的值；若不存在，请说明理由.(3) 当 x, y N ，

11、且 x<y 时，求证：F(x, y)>F(y, x).数学(理科)教师用卷一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1已知集合A = 2,0,1,集合B = x|xi<a且x Z,则满足A B的实数a可以取的一 个值是(A)2. 若(1 2x)4= a°+ a1x+ a2x2+ a3x3+ a4x4,则 |a°|+ |a1|+ |a2|+ |a3|+ |a4|的值为(C)3. 如图，设D是图中边长分别为 2和4的矩形区域，E是D内位于函数y= x2图象下方的区域(阴影部分),向D内随机抛掷30个点，

12、则落在E内的点的个数约为(D)4. 已知命题p:“ a = 1是 x>0, x+ a> 2的充分必要条件”，命题 q：xx0 R, x0+ x0 2>0”，则下列命题正确的是(C)A. 命题“ pA q”是真命题B. 命题“ pA (n q)”是真命题C. 命题"(n p)A q”是真命题D. 命题“ (n p)A (n q)”是真命题5. 已知 cosd a=¥，则 $"(¥2 0)的值为(B)6361 12 2A.3B. 3C.3D. 36. 已知函数 f(x) = 2a(x >2)则 f(log45)等于(B)Yj(x+2)

13、(x<2),A.2 5B.4 . 5C.3 , 5D. 5解：'-1<log 45<2 , /.f(log45) = f(log 45 + 2) = f(log480) = 2log480= 4書.厂 x-y+2 > 07. 已知实数x, y满足线性约束条件yx+y-4 > 0 ,目标函数z= y ax(a R),若z取最大匚 2x-y-5 < 0值时的唯一最优解是(1,3)，则实数a的取值范围是(C)A.(0,1)B.( 1,0)C.(1 ,+s )D.(-m, 1)解：约束条件对应的平面区域如下图，而直线x+ y 4= 0与x y+ 2 = 0交

14、于点A(1,3),此时取最大值，故 a>1.8. 形如45132这样的数称为“波浪数”，即十位数字，千位数字均比它们各自相邻的数字大，则由1、2、3、4、5可构成的数字不重复的五位“波浪数”的概率为（D）13112a.6b.20c.面D.石解：当十位与千位是4或5时，共有波浪数为 a2a3= 12个.当千位是5,十位是3时，万位只能是4，此时共有2个波浪数.当千位是3，十位是5时，末位只能是 4.此时共有2个12+ 2 + 2 2波浪数.故所求概率P =A5=石选择题答题卡题号12345678答案ACDCBBCD二、填空题：本大题共 7小题，每小题5分，共35分，把答案填在答题卡中对应题

15、号后 的横线上.19幕函数f(x) = xa( a为常数)的图象经过(3,3)，则f(x)的解析式是f(x)=込10. 函数f(x) = exlnx 1的零点个数是 1个11. 按下图所示的程序框图运算：若输出 k = 2，则输入x的取值范围是(28,571开姐T输久耳/上0丫1，*心打I/输出一讥7T结束解：当输出k= 2时，应满足.2x+1 <115，解得28<xw 57.2(2x+1)+1>115112. 数列an满足：a1= 2, a*= 1 (n= 2,3,4，)，贝U a12= 1.an 1解:1 1由已知 a1 = 2, a2= 1 =,a12a3 = 1 1a

16、2= 1,1a4=1ar2,可知an是周期为3的周期数列，贝Ua12 = a3x4 = a3= 1.13. 已知函数f(x)= |x 2|,若 a工0且a, b R,都有不等式|a+ b|+ |a b|a|f(x)成立, 则实数x的取值范围是0,4.解:|a+ b|+ |a b|> |a| f(x)及 aO得 f(x)<|a + b|+ |a b |a恒成立,|a+ b|+ |a b| |a + b + a b|> =2,|a|a|则f(x)< 2，从而|x 2|< 2，解得0< x< 4.14.在厶ABC中有如下结论：“若点M ABC 的重心，则 M

17、A + MB + MC = 0”，设a, b, c分别为 ABC的内角A, B, C的对边,点M ABC的重心.如果a MA + b MB解:由 a MA + b MB + 于c MC = a MA + b MB +c( MA MB ) = (a- f+3c MC = 0,则内角A的大小为才；若a= 3,则厶ABC的面积为.c) MA + (b 亍)MB = 0.又MA与MB不共线，则a一 3 c= b,由余弦定理可求得cosA =，故 a=nS- |bcsinA = |x3 X3 3 冷-牛15. 给定集合 A= a1, a2, a3,，an (n N , n3)，定义 ai+ %(1 &l

18、t; i<j < n, i, j N ) 中所有不同值的个数为集合 A两元素和的容量，用 L(A)表示，若A= 2,4,6,8，则L(A)= 5; 若数列an是等差数列，设集合 A= a1, a2, a3，am(其中m N*, m为常数)，则L(A) 关于m的表达式为2m 3.解：总 + 4 = 6,2 + 6 = 8,2 + 8= 10,4 + 6= 10,4 + 8 = 12,6 + 8 = 14,/-L(A)= 5.不妨设数列an是递增等差数列可知 a1<a2<a3<-<am,则a1 + a2<a1 + a3<<a1+ am<a

19、2+ am<<am-1+ am,故ai + aj(1 < i<j< m)中至少有 2m 3个不同的数.又据等差数列的性质：当i + j< m时，ai + aj = ai+ ai+ji;当 i + j >m 时，a + aj = ai+ j m + am,因此每个和 ai + aj(1 < i<j< m)等于 ai+ ak(2< k< m)中一个,或者等于 ai + am（2w l w m 1）中的一个.故 L（A）= 2m 3.三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16. （本小题满

20、分12分）若盒中装有同一型号的灯泡共12只，其中有9只合格品，3只次品.（1）某工人师傅有放回地连续从该盒中取灯泡3次，每次取一只灯泡，求2次取到次品的概率；（2）某工人师傅用该盒中的灯泡去更换会议室的一只已坏灯泡，每次从中取一灯泡，若是正品则用它更换已坏灯泡，若是次品则将其报废（不再放回原盒中），求成功更换会议室的已坏灯泡前取出的次品灯泡只数X的分布列和数学期望.c1 1解：（1）每次取到一只次品的概率P1=Ct=4,则有放回连续取 3次，其中2次取得次品的概率 p= c3（£）2（1 4） = 64.（5分）（2）依题知X的可能取值为0、1、2、3.（6分）93且 p（x =0）

21、=4，399P（X = 1） =X-=,12 1144'3299P（X = 2）=石巾勺=220，32191八P（X = 3）=石勺巾筍=莎（8分）则X的分布列如下表：X01233991P1444220220(10 分)39913EX =0 X4+1X4+2 五+ 3X210=石.(12 分)17. (本小题满分12分)n 1已知函数f(x) = 2sin® xcos( 3汁g)+ 2( ° >0的最小正周期为 4n(1) 求正实数3的值；(2) 在厶ABC中，内角 A、B、C的对边分别为 a、b、c,且满足2bcosA = acosC+ ccosA, 求f(

22、A)的值.nn 1解:(1) t f(x) = 2sin 3 x(30S3 xos sin 3 xs) + (2 分) 2 1= 3sin 3xcos3x sin ®x+ =n2 3x1(1 cos2 3 x卅? = sin(2 3C.(5 分)2 n 1又f(x)的最小正周期 T = 23= 4 n贝U 3= 4.(6分)(2)由 2bcosA = acosC+ ccosA 及正弦定理可得 2sin BcosA = sinAcosC+ sinCcosA = sin(A + C).又 A + B + C= n 贝U 2sinBcosA = sinB.(8 分)1n而 sinBM0 贝

23、U cosA = 3.又 A (0, n,故 A = 3.(10 分)丄，八. ，xn十n 1 nn y3八由(1)f(x) = Sin(2+ 6)，从而 f(A) = sin(3%+ 6)= sin =云(12 分)18. (本小题满分12分)已知数列a(的前三项与数列 bn的前三项对应相等，且a1 + 2a2 + 22a3+ 2n 1an = 8n 对任意的n N*都成立，数列bn+1 bn是等差数列.(1) 求数列an与bn的通项公式；(2) 是否存在k N*，使得bk ak (0,1)?请说明理由.解：(1)已知 a1 + 2a2+ 2备3+ 21 an = 8n(n 3N ).2n

24、2*n2 时，a1 + 2a2 + 2 a3+ + 2 an1 = 8(n 1)(nN ).一得2n- 1an = 8，解得an= 24-n,在中令n = 1,可得a1 = 8= 24-1,所以 an= 24 n(nJ*).(4 分)由题意 b1= 8, b2= 4, b3= 2,所以 b2 b1 = 4, b3 b2= 2,数列bn +1 bn的公差为2 ( 4)= 2,'bn+ 1 bn= 4+ (n 1) >2= 2n 6,bn= b1 + (b2 b"+ (b3 b2)+ + (bn bn1)2 *=8 + (- 4) + (-2) + + (2n 8)= n

25、- 7n+ 14(n N ).(8 分)(2)bk ak = k2- 7k+ 14-24-k,当 k> 4 时，f(k)= (k-1)2+ 7- 24-k单调递增，且 f(4) = 1,所以 k> 4 时，f(k)= k2- 7k+ 14-24-k> 1.又 f(1) = f(2)= f(3)= 0，所以，不存在 kej*，使得 bk- ak(0,1).(12 分)19. (本小题满分13分)某化工厂生产某种产品，每件产品的生产成本是3元，根据市场调查，预计每件产品的出厂价为x元(7< xw 10)时，一年的产量为(11 -x)2万件；若该企业所生产的产品全部销售， 则

26、称该企业正常生产；但为了保护环境，用于污染治理的费用与产量成正比，比例系数为常 数 a(1 w a w 3).(1) 求该企业正常生产一年的利润L(x)与出厂价x的函数关系式；(2) 当每件产品的出厂价定为多少元时，企业一年的利润最大，并求最大利润解：(1)依题意，L(x)= (x-3)(11 -x)2- a(11 -x)2= (x- 3- a)(11 -x)2, xq7,10.(4 分)(2)因为 L '刈=(11-x)2- 2(x- 3- a)(11 - x)= (11 - x)(11 - x-2x+ 6+ 2a)=(11 - x)(17 + 2a - 3x).“、17+2a由 L

27、 'x(= 0，得 x=7,10或 x =3.(6 分)1917+ 2a 23因为 1 w aw 3，所以"3"w3 w -3-.当-3"w 17：气 7,即1 w aw 2时，L'x)在7,10上恒为负，则L(x)在7,10上为减函数,3 3所以L(x)max= L(7)= 16(4 - a).(9 分)17+ 2a 2317 + 2a 43当 7<3 w亏，即 2<aw3 时，L(x)max= L( 3 )=刃(8 a)3.(12 分)即当1w aw 2时，则每件产品出厂价为 7元时，年利润最大，为16(4- a)万元.当 2<

28、;aw 317+ 2a43时，则每件产品出厂价为元时，年利润最大，为 方(8- a)3万元.(13分)20. (本小题满分13分)设函数y= f(x)的定义域为(0,+g),且在(0,+g上单调递增，若对任意x, y (0, +g都有：f(xy) = f(x) + f(y)成立，数列an满足:1 1 1 1ai= f(1) +1，f(207；石)+ f(2 + 鬲)=0.设 Sn= a2a2 + a3a2 + + a：&+ a2+1.(1)求数列 an的通项公式，并求 Sn关于n的表达式；设函数g(x)对任意X、y都有：g(x+ y)= g(x) + g(y) + 2xy，若g(1)

29、= 1,正项数列bn满足：b= g&), Tn为数列bn的前n项和，试比较4Sn与Tn的大小.解：(1)当 x, yqo, + g时，有 f(xy) = f(x) + f(y),令 x= y= 1 得 f(1)= 2f(1)，得 f(1) = 0,所以 a1 = f(1) + 1 = 1.(1 分)因为f(2an +112an)=0，所以f(14a2+111 1 11又因为y = f(x)在(0,+g上是单调增函数，所以1 - 2= 1,即 一 -2= 4, (3分)4an +1 4anan+1an所以数列右是以1为首项，4为公差的等差数列，所以1益4n - 3,所以an ='

30、4n- 3.2 2 1 1 1_1anan +1 = *一,(4n 3)(4n+ 1)4 4n 3 4n + 1111110= 41 5+ 5 6+14n 314n+ 11=4114n+ 1.(5 分)2由于任意 x, y 取 都有 g(x+ y) = g(x) + g(y) + 2xy，则 g(2x)= 2g(x) + 2x ,11 211212111g(1)=2gq+ 2 (?) = 2【2g(4)+ 2(4)+寸2 gq+尹221121131111=2 2g(23) + 2 (卫+ 尹 2= 2 g(列 + 尹歹 + ?= + 寺 += 1,1 1 2 17(歹)=辺，即卩bn=尹.厂丄

31、八14n+ 1又 bn>0,.bn = 2* , (9 分)1 丄11 Tn= 2 + 22 + + 2“= 1 2“，又 4Sn = 1 当 n= 1,2,3,4 时，4n+ 1>2n,.4Sn>Tn； (10 分)当n5时,2n=c+cn+ cn+n 1 n + Cn + Cn>1 + 2n+ 2n(n 1)2/ 2=1+ n + n.22而 n + n+ 1 (4n+ 1) = n 3n=n(n 3)>0，故 4Sn<Tn.(13 分)(用数学归纳法证明参照计分)21. (本小题满分13分)定义 F(x, y) = (1 + x)y,其中 x, y (

32、0, +).(1) 令函数f(x)= F(1 , log2(x3+ ax2 + bx+ 1)，其图象为曲线 C,若存在实数b使得曲线C 在xo( 4<xo< 1)处有斜率为8的切线，求实数 a的取值范围；(2) 令函数 g(x) = F(1, log2(ln x 1)ex+ x)，是否存在实数 x° 1 , e,使曲线 y= g(x)在点x= x0处的切线与y轴垂直？若存在，求出x0的值；若不存在，请说明理由(3) 当 x, y N ，且 x<y 时，求证：F(x, y)>F(y, x).解：(1)f(x) = F(1, log2(x3 + ax2 + bx+ 1) = x3 + ax2 + bx+ 1,设曲线 C 在 x0( 4<xo< 1)处有斜率为8的切线，又由题设知 Iog2(x3+ ax2 + bx+ 1)>0 , f' x