江苏省高等数学竞赛试题[1]2

1、2010 年江苏省高等数学竞赛试题（民办本科）一 填空题（每题4 分，共 32 分）1.sin xsin(sin x)limsin xx02.yarctanx2ex tan x ， y /3. 设由 x yy x 确定 yyx ，则 dydx4. ycos2 x ， y(n) ( x)5.1 2x exdxx6.1xarctan x2dx01x47.圆2x2 y z20的面积为x2y2z24x 2 y 2z 198. zf (2 xy, x) ， f可微， f1/ (3,2)2, f2/ (3,2) 3，则 dz ( x, y)(2,1)y二 .（10 分）设 a 为正常数，使得 x2eax

2、对一切正数 x 成立，求常数 a 的最小值三.（10分）设 fx 在 0,1 上连续，且11f (x)dxxf ( x)dx ，求证：存在点000,1 ，使得f ( x)dx0 .0四 . （ 12 分）过原点 0,0作曲线 yln x 的切线，求该切线、曲线 yln x 与 x轴所围成的图形绕 x 轴旋转一周所得的旋转体的体积 .五（12 分）已知正方体ABCDA1BC11D1 的边长为， E为 D1C1 的中点，F 为侧2面正方形 BCC1B1 的中点，（ 1）试求过点 A1, E, F 的平面与底面 ABCD 所成二面角的值。（2）试求过点 A1, E, F 的平面截正方体所得到的截面的

3、面积 .六、（12 分）已知 ABCD 是等腰梯形， BC / AD , ABBCCD8 ,求 AB,BC, AD的长，使得梯形绕 AD 旋转一周所得旋转体的体积最大。七（ 12 分）求二重积分cos2 x sin 2 ydxdy ，其中 D : x2y21, x0, y 0D2006 年江苏省高等数学竞赛试题（本科三级、民办本科）一 .填空（每题 5 分，共 40 分）1. lim1222n2323232nn1n2nn2.x1et21 dtlimx3x0 03.limx23x2axb0 ，则 a,bx4.fx1xx2esin x , f05.设由 xzeyz 确定 zz(x, y) ，则 d

4、z e,06.函数 fx, ye xaxby2中常数 a, b 满足条件时，f 1,0 为其极大值 .2exe.7.交换二次积分的次序dx 1f x, y dy1x8.设 D : 2x x2y2 ,0 yx2 ，则1dxdyD x2 y2二 .（8 分）设 f xax2bsin xcx0 ，试问 a, b, c 为何值时， fx 在 x 0ln 1xx0处一阶导数连续，但二阶导数不存在 .三 .（9 分）过点 1,5作曲线: y3的切线L，（ ）求 L 的方程；（ ）求与Lx12所围成平面图形 D 的面积；（ 3）求图形 D 的 x0 部分绕 x 轴旋转一周所得立体的体积 .四（ 8 分）设

5、f ( x) 在,上是导数连续的函数， f 00， f xf x1，求证：fxex1.x0,五（ 81 arctanx分）求2 dx0 1xxy2 tan x2y2x, y0,0六（ 9分）本科三级做：设f x, yx2y，0x, y0,0证明 fx, y 在点 0,0 处可微，并求 df x, y 0,0民办本科做：设圆柱面 x2y 21(z 0)被柱面 z x22x 2 截下的有限部分为 .为计算曲面的面积，用薄铁片制作的模型， A(1,0,5), B( 1,0,1), C1,0,0 为上的三点，将沿线段 BC 剪开并展成平面图形 D ，建立平面在极坐标系，使 D位于 x 轴正上方，点 A

6、 坐标为0,5 ，写出 D 的边界的方程，并求 D 的面积 .七（ 9 分）本科一级考生做： 用拉格朗日乘数法求函数f x, y x22xy 2 y2 在区域 x22 y24 上的最大值与最小值 .八（ 9 分）设 D 为 y x, x, y 0 所围成的平面图形，求cos x y dxdy .2D2004 年江苏省高等数学竞赛试题（本科三级）一 .填空（每题 5 分，共 40 分）1.fx 是周期为的奇函数，且在x0 处有定义，当x0,时，2fxsin xcosx2 ，求当 x, 时， fx 的表达式 .22.x0 时， xsin xcos x 与 cxk 为等价无穷小，则 c3. lims

7、in xtan2 xx24.limnnn2222nn1n4nn5.f xx2 ln 1 x , n 2 时 f n 0ex1 x6.xx2 dxe7.zarctan x , dz1, 1.y8.设 f xg xx0 x1x,y，则0其他， D 为fy fxy dxdy.D二（ 10 分）设 f x在 a,b上连续， fx 在 a, b内可导， f (a)a, ，bx dx1b2a2,求证：a, b 内至少存在一点使得 ff1fa2三 .（10 分）设 D : y2x24, y x,2xy4 ，在 D 的边界 yx 上任取点 P ,设 P 到原点距离为 t ，作 PQ 垂直于 yx ，交 D 的

8、边界 y2x24 于 Q1）试将 P,Q 的距离 PQ 表示为 t 的函数；2）求 D 饶 yx 旋转一周的旋转体的体积四（10 分）设 fx在,上有定义， fx在 x0 处连续，且对一切实数 x1 , x2有 fx1x2fx1f x2，求证： f x 在,上处处连续。110在 0,恰有一个根，求 k 的取值范五（ 10 分）上 k 为常数，方程 kxx围。六（ 10 分） 已知点 P(1,0,-1), Q (3,1,2) , 在平面 x- 2 y + z = 12 上求一点 M ，使PM+ MQ最小2002 年江苏省高等数学竞赛试题（本科三级）一 .填空（每题 5 分，共 40 分）exex

9、， c1. limxkc c 0 ，则 kx 02. 设 f x 在 1,上可导，下列结论成立的是A. 若 lim fx0 ，则 fx 在 1,上有界xB. 若 lim fx0 ，则 fx 在 1,上无界xC. 若 lim fx1 ，则 fx 在 1,上无界x3. 设由 e yx yx1x 确定 yy( x) ，则 y04.arcsin xarccos x dx5.1dx4x 1 x6.设 zfyg ex ,sin y， f有二阶连续导数， g 有二阶连续偏导数，x则2 zx y13x7.交换二次积分的次序0dxx2f x, y dy.8.函数 fx, y2xy1 满足方程 x2y25 的条件

10、的极大值为极小值为二.（8分）设 fx在 0,上连续，单调减少，0ab ，求证 abf ( x)dxba0f ( x)dx0三.（8分）设 fxkxsin x ， 1）若 k1 ，求证 fx在,上恰有一个零点； 2）若 k0 ，且 fx在,上恰有一个零点，求常数k 的取值范围 .四.（8分）求 2 ex1sin x dx01cos x1x, y0,0.（9y arctany2讨论 fx, y 在点 0,0五分）设 fx, yx2处0x, y0,0连续性，可偏导性？可微性 .六.（8 分）设 zfx, y， xy ， f 的二阶偏导数连续，可导，y0求全导数 d 2 zdx2七.（9分）设 fu

11、在 u0 可导， f00, D : x2y22tx, y0 ，求 lim1fx2y2ydxdyt 0t 4D八.（9 分）求sin x y dxdy, D : x 0, y 0, x yD2出师表两汉：诸葛亮先帝创业未半而中道崩殂， 今天下三分， 益州疲弊， 此诚危急存亡之秋也。然侍卫之臣不懈于内，忠志之士忘身于外者，盖追先帝之殊遇，欲报之于陛下也。诚宜开张圣听，以光先帝遗德，恢弘志士之气，不宜妄自菲薄，引喻失义，以塞忠谏之路也。宫中府中，俱为一体；陟罚臧否，不宜异同。若有作奸犯科及为忠善者，宜付有司论其刑赏，以昭陛下平明之理；不宜偏私，使内外异法也。侍中、侍郎郭攸之、费祎、董允等，此皆良实，

12、志虑忠纯，是以先帝简拔以遗陛下：愚以为宫中之事，事无大小，悉以咨之，然后施行，必能裨补阙漏，有所广益。将军向宠，性行淑均，晓畅军事，试用于昔日，先帝称之曰“能 ”，是以众议举宠为督：愚以为营中之事，悉以咨之，必能使行阵和睦，优劣得所。亲贤臣， 远小人， 此先汉所以兴隆也； 亲小人， 远贤臣， 此后汉所以倾颓也。 先帝在时，每与臣论此事， 未尝不叹息痛恨于桓、 灵也。 侍中、尚书、 长史、 参军，此悉贞良死节之臣，愿陛下亲之、信之，则汉室之隆，可计日而待也。臣本布衣，躬耕于南阳，苟全性命于乱世，不求闻达于诸侯。先帝不以臣卑鄙，猥自枉屈，三顾臣于草庐之中，咨臣以当世之事，由是感激，遂许先帝以驱驰。后值倾覆，受任于败军之际，奉命于危难之间，尔来二十有一年矣。先帝知臣谨慎，故临崩寄臣以大事也。受命以来，夙夜忧叹，恐托付不效，以伤先帝之明；