河南师大附中自主招生模拟专题

1、2013年全国高校自主招生数学模拟试卷十二、选择题(36分)1.已知数列Xn满足Xn+1=XnXni(n>2),Xl=a,X2=b,记Sn=Xl+X2+Xn，则下列结论正确地-(A)Xi00=_a,So0=2bq(B)Xi00=_b,Si00£b-a(C)Xi00=-b,S00=b-a(D)xi00=-a,Si00=b-a(A) 如图，正四面体ABCD中,E在棱AB上,F在棱CD上，使得AfC梧入(0<K+皿),EBFD记f(A=a?+6入其中a入表示EF与AC所成地角，。入表示EF与BD所成地角，则f(?)在(0,+8)单调增加f(凡在(0,+8)单调减少时在(0,1)

2、单调增加，而在(1,+8单调减少f(凡在(0,+8)为常数(A) 设等差数列地首项及公差均为非负整数，项数不少于3,且各项地和为972,则这样地数列共有2个(B)3个(Q4个(D)5个在平面直角坐标系中若方程m(x2+y2+2y+1)=(x2y+3)2表示地曲线为椭圆，则m地取值范围为(A)(0,1)(B)(1,+8)(C)(0,5)(D)(5,+8)_2.15,15_设f(x)=x一兀,a=arcs%,6orctan4,丫arcos(3),&arccot(4),则(A)f(a)>f(6)>f(奇>f(。(B)f(沪f(8)>f(3)>f(小(C)f(5&

3、gt;f(a)>f(沪f(9(D)f(6)>f(a)>f(d>f(3)如果空间三条直线a,b,c两两成异面直线，那么与a,b,c都相交地直线有(A)0条(B)1条(C)多于1地有限条(D)无穷多条.填空题(每小题9分，共54分)1.设x,y为实数，且满足(x-1)3+1997(x1)=1,(y1)3+1997(y1)=1.22. 过双曲线X22=1地右焦点作直线l交双曲线于A、B两点,若实数入使得|AB|=入地直线l恰有3条，则入.1，一、3. 已知复数z满足2z+Z=1,则z地幅角主值范围是4. 已知三棱锥S7BC地底面是以AB为斜边地等腰直角三角形,SA=SB=SC

4、2=,AB=2,设S、A、B、C四点均在以。为球心地某个球面上，则点O到平面ABC地距离为一. 设ABCDEF为正六边形，一只青蛙开始在顶点A处,它每次可随意地跳到相邻两顶点之若在5次之内跳到D点,则停止跳动；若5次之内不能到达D点,则跳完5次也停止跳动那么这只青蛙从开始到停止，可能出现地不同跳法共种.1115. 设a=logz+logx(yz)+1,b=togx+log(xyz+1),c=logy+log(xyz)+1,记a,b,c中取大数为M,则M地最小值为.三、(20分)设x>y>z>12,且x+y+z5，求乘积cosxsinycosz地最大值和最小值.四、（20分）设

5、双曲线xy=1地两支为G,C2（如图），正三角形PQR地三顶点位于此双曲线上.（1）求证：P、Q、R不能都在双曲线地同一支上；设P（1,】）在C2上，Q、R在G上，求顶点Q、R地坐标.五、（20分）设非零复数a,a2,a3,a4,a5满足a2a3a4a5=一=aia2a3a4ai+a2+a3+a4+a5=4(11111ai+a2+a3+a4+a5)=S其中S为实数且|S|<2.求证：复数ai,a2,a3,a4,a5在复平面上所对应地点位于同一圆周上.2013年全国高校自主招生数学模拟试卷十二参考答案一、选择题(每小题6分，共36分)1.已知数列Xn满足Xn+1=XnXni(n>2)

6、,Xl=a,X2=b,记Sn=Xl+X2+Xn，则下列结论正确地-(A)xio0=-a,Soo=2b乜(B)xioo=-b&oo=2b-a(C)Xi00=-b,S00=b-a(D)xi00=-a,Si00=b-a解：Xi=a,X2=b,X3=ba,X4=a,xs=-b,X6=ab,X7=a,X8=b,.易知此数列循环，Xn+6=Xn,于是xi00=X4=a,又Xi+X2+X3+X4+X5+X6=0,故Si00=2ba.选A.aecf2. 如图，正四面体ABCD中,E在棱AB上,F在棱CD上，使得EB=FD=入(0<K+8),记f(?)=a；+其中a入表示EF与AC所成地角，。入表

7、示EF与BD所成地角，则f(?)在(0,+8)单调增加f(凡在(0,+8)单调减少时在(0,i)单调增加，而在(i,+8单调减少f(A在(0,+8)为常数解：作EG/AC交BC于G,连GF,则代=滂竺,故GF/BD.故ZGEF=a北GFE=6a，ebgbfd972,则这样地数但ACLBD,故ZEGF=90°.故时为常数.选D.设等差数列地首项及公差均为非负整数，项数不少于3,且各项地和为列共有(A)2个(B)3个(Q4个(D)5个iOO解：设首项为a,公差为d,项数为n,则na+n(ni)d=972,n2a+(ni)d=2x972，即n为2X972地大于3地约数.n=972,2a+(

8、972i)d=2,d=0,a=i;d>i时a<0.有一解；(2)n=97,2a+96d=i94,d=0,a=97;d=i,a=a=49;d=2,a=i.有三解；n=2X97,n=2X972，无解.n=i,2时n<3.选C3. 在平面直角坐标系中若方程m(x2+y2+2y+i)=(x2y+3)2表示地曲线为椭圆，则m地取值范围为(A)(0,i)(B)(i,+8)(C)(0,5)(D)(5,+8)解：看成是轨迹上点到(0,一i)地距离与到直线x-2y+3=0地距离地比:x2+(y+i)25遥|丫2y+3广Wm<Um>5,选D-i2+(-2)2(A)f(a)>f(

9、沪f(&)>f(9(C)f(i)>f(a)>f(6)>f3设f(x)=x2兀Q=arcsin?,3orctan乎丫arcos(?),&arccot(：),则3434(B)f(a)>f(4>f(6)>f(d(D)f(6)>f(a)>f(沪f(6)解：f(x)地对称轴为X=2,易得,0<a<6<4<侪3<2<g<¥<U5"选B.如果空间三条直线a,b,c两两成异面直线，那么与a,b,c都相交地直线有(A)0条(B)1条(C)多于1地有限条(D)无穷多条解：在a、

10、b、c上取三条线段AB、CC、AD：作一个平行六面体ABCEHABCD,在c上取线段AD，上一点P,过a、P作一个平面，与DD，交于Q、与CC交于R,则QR/a,于是PR不与a平行，但PR与a共面.故PR与a相交.由于可以取无穷多个点P.故选D.填空题(每小题9分,共54分)1.设x,y为实数，且满足上一骨199*1)1,则x+y(y1)+1997(y-1)=1.y-31y)+1997(1-y)+1=0.解：原方程组即S”199*-1)+1=0'取f(t)=t3+1997t+1,f'(t)=3t2+1987>0.故f(t)单调增，现x1=1-y,x+y=2.22.过双曲线

11、x22=1地右焦点作直线l交双曲线于A、B两点,若实数入使得|AB|=入地直线l恰有3条，则入.解：右支内最短地焦点弦=卖-=4.又2a=2,故与左、右两支相交地焦点弦长A2a=2，这样a地弦由对称性有两条.故入4时设AB地倾斜角为。，则右支内地焦点弦与左支相交时，0甘arcco研时，入=2ab2入E航C?了4,当e，。时2ab2a2ccoS2042.13cos0=4.故入4.3.已知复数z满足2z+匚=1,则z地幅角主值范围是12z+z=1=4r4+(4cos201)r2+1=0,这个等式成立等价于关于x地二次方程4W+(4cos201)x+1=0有正根.=(4cos201)216>0

12、,由乂伏2=4>0,故必须x1+x2=4cos201>0.4333cos20<.(2k+1)Ttarccosv20<(2k+1)Tt+arcco.，.匹13.主13.k武2zarccosqVk2+2arccos4，(k=0,1)4. 已知三棱锥SABC地底面是以AB为斜边地等腰直角三角形,SA=SB=SC2=,AB=2,设S、A、B、C四点均在以。为球心地某个球面上，则点O到平面ABC地距离为.解：SA=SB=SC2=S在面ABC上地射影为AB中点H".SHU平面ABC.SH上任意一点到A、8C地距离相等.SH=,3,CH=1,在面SHC内作SC地垂直平分线M

13、O与SH交于O,则O为SABC也外接球球心.SM=1,.SO=233,.OH=W，即为O与平面ABC地距离.5. 设ABCDEF为正六边形，一只青蛙开始在顶点A处,它每次可随意地跳到相邻两顶点之一.若在5次之内跳到D点,则停止跳动；若5次之内不能到达D点,则跳完5次也停止跳动那么这只青蛙从开始到停止，可能出现地不同跳法共种.解：青蛙跳5次只可能跳到B、D、F三点(染色可证).青蛙顺时针跳1次算+1,逆时针跳1次算一1,写5个“口1”，在口中填“+”号或"”号：口1口1口1口1口1规则可解释为：前三个口中如果同号，则停止填写；若不同号，则后2个口中继续填写符号.前三同号地方法有2种；前

14、三个口不同号地方法有23-2=6种,后两个口中填号地方法有22种.共有2+6X4=26种方法.111设aTogz+logx(yz)+1,bTogx+log(xyz+1),c=logy+log(xyz)+1,记a,b,c中取大数为M,则M地最小值为.x11解：a=log(y+z),b=log(yz+x),c=log(yz+y).,J1-a+c=log(yz+x+yz+x)>2log2.于是a、c中必有一个>log2.即M>log2,于是M地最小值Alog2.但取x=y=z=1,得a=b=c=log2.即此时M=log2.于是M地最小值<log2.-所求值=log2.三、(

15、本题满分20分)设x>y>z>12,且x+y+z=2，求乘积cosxsinycosz地最大值和最小值.JIcX2h.123左力JJE"兀解：由于x>y>五，故6Vx<21121.'.12二1-cosxsinycosz=cosxx2【sin(y+z)+sin(yz)=2cosx+2cosxsin(yz)>2cos3=g.即取小值.1(由于g<x<3,y>乙故cosxsin(y-z)>0),当y=z=12,x=3时,cosxsinycosz=.cosxsinycosz=coszx；sin(x+y)sin(xy)=2

16、cos2z；coszsin(x-y).1212二1-2+3由于sin(xy)>0,cosz>0,故cosxsinycosz<2cosz=2cos12=2(1+cos6)=、，5:二当x=y=12，z=五时取得最大值.最大值"3,最小值1OO四、(本题满分20分)设双曲线xy=1地两支为G,C2(如图)，正三角形PQR地三顶点位于此双曲线上.(1)求证：P、Q、R不能都在双曲线地同一支上；设P(1,T)在C2上，Q、R在G上，求顶点Q、R地坐标.解：设某个正三角形地三个顶点都在同一支上.此三点地坐标为P(Xl，!),Q(X2，X1),R(X3，X；).不妨设0<

17、X1<X2<X3,则1>£>£>0.人IX2X3XIX2X3形.y2yi,1kPQ=y=一vv；X2XiX1X2kQR=-X】3；1+X1X2X2X3tanZPQR1<0,从而ZPQR为钝角.即PQR不可能是正三角1+X1X3X221.一P(-1,-1),设Q(X2-),点P在直线y=X上.以P为圆心，|PQ为半径作X2圆,此圆与双曲线第一象限内地另一交点R满足|PQ|=|PR|,由圆与双曲线都是y=X对称，知Q与R关于y=X对称.且在第一象限内此二曲线没有其他交点(二次曲线地交点个数).于是1%凶)-X2PQ与y=X地夹角=30

18、6;,PQ所在直线地倾斜角=75°._PQ所在直线方程为y+1=(2+3)(X+1),代入Xy=1，解得3).31+3tan75°=2+3.31-13Q(2一寸3,2+0)，于是R(2+,3,2-五、(本题满分20分)设非零复数a,a2,a3,a4,a5满足a2a3a4a5=?a1a2a3a411111一a+a2+a3+a4+a5=4(a+32+33+34+as)=S其中S为实数且|S|<2.求证：复数a,a2,a3,a4,a5在复平面上所对应地点位于同一圆周上.a2a3a4a52344234证明：以M=3=3=a4=q，则由下式碍a1(1+q+q+q+q)=(1+q+q+q+q)242342234