一次函数与反比例函数

1、第一讲：一次函数与反比例函数知识梳理.一次函数：1 .正比例函数：一般地，形如ykx(k为常数,且k0)的函数叫做正比例函数，2 .正比例函数的图像是一条经过原点的直线。3 .正比例函数的性质：当k0时，直线ykx经过第一、三象限，从左向右上升，即y随x的增大而增大;当k0时，直线ykx经过第二、四象限，从左向右下降，即y随x的增大而减小。4 .一次函数：形如ykxb(k,b是常数,k0)的函数，叫做一次函数。5.一次函数的图像和性质：6 .常用直线的表达式：(1)平行于x轴的直线;(2)平行于y轴的直线;(3) x轴;(4) y轴;(5) 一、三象限角坐标轴夹角平分线解析式;(6)二、四象限

2、角坐标轴夹角平分线解析式;(7)过原点且与x轴夹角30的直线解析式(8)过原点且与y轴夹角30的直线解析式答案:(1)ya(2)xa(4)x=0(5)y=x(6)y=x3xx3(8)7.直线yik1xb1与直线y2k2xb2当当当当k与b满足k与b满足k与b满足k与b满足两直线相交，求交点坐标条件时，两直线平行;条件时，两直线重合;条件时，两直线相交;条件时，两直线垂直;8.如图，在直线L上找一点,k1卜2且"b2;k1k2;k1k2使它到点A和点B的距离和最小。Byk1xb1yk?xb2A.答案:PA+PB=PAPBAB9.如图，从点A出发,先到直线Li上某一点，然后再到直线L2上

3、某一点，最后回到点B,请你确定最短路线。答案:AMMNNB二.反比例函数：B1AL1AMMNNBAB1.反比例函数的三种表达形式：y.1kx；xyk（其中k是不等于2.y随x的增大而减小; y随x的增大而增大。零的常数）k反比例函数的性质：反比例函数y中，x当k>0时，图象在第一、三象限，在每个象限内,当k<0时，图象在第二、四象限，在每个象限内,3.4.5.6.反比例函数的图象是轴对称图形，对称轴有两条，即直线反比例函数的图象是中心对称图形，对称中心是坐标原点；过原点的直线与反比例函数图像的两个交点关于原点对称。反比例函数图象上到原点距离最近的点是它与对称轴的交点。y=±

4、;x。k7.k的几何意义：反比例函数y一的图象上任意一点向两条坐标轴引垂线，那么以这x点、两垂足及原点为顶点的矩形面积等于【典型例题】例1已知一次函数ymx(m1)的图像不经过第一象限，则m的取值范围是。例2在直角坐标系中，横纵坐标都是整数的点称为整点，设k为整数，当直线yx3与ykxk的交点为整点时，k的值可以取个。例3(1)直线yx1与直线y2x3与x轴围成的三角形面积为；(2)直线yx1与直线y2x3与y轴围成的三角形面积为；(3)直线y 2x4例4如图，直线y 3将 ABM沿AM折叠，点3与坐标轴围成的三角形面积为 。x 8与x轴，y轴分别父十点 A和点B, M是OB上的一点，若B恰好

5、落在x轴上的点B处，则直线AM的解析式为 r 了XM 一4.B °邕例5如图，直线y =kx(k>0)与双曲线y '交于A( x1xy1)，B ( x2, y2)两点,则2x1y27x2y1=100k例6如图，矩形OABC的面积为,它的对角线OB与双曲线y相交于点D,且OB:OD=5:3,则k=。k例7如图，已知双曲线 y （X 0）经过矩形OABC边AB的中点F,交BC于点E,且四边形OEBF的面积为2,X则k=例8两个反比例函数点 Pl, P2, P3,y3,y6在第一象限内的图象如图所示,xxP2009在反比仞函数y6图象上，它们的横坐标分别是X1,X2,X3,，

6、X2009,纵坐标分别X是1,3,5,，共2009个连续奇数，过点Pi,P2,P3,，P2009分另作y轴的平行线，与y3的图象交点依次是Qi（X1,yi）,Q2（X2,y2）,Q3（X3,y3）,，Q2009（X2009,y2X009),则y2009=O 1K-N例9如图，直线y x 1与x轴，y轴分别交于点 A, B,以线段 3AB为直角边在第一象限内作等腰直角三角形ABC，/ BAC=90 °,如果在第二象限内有一点1、 rP(a,-),且MBP的面积与 ABC的面积相等，求a的值。k、，一例10直线y=kx(kw°)与双曲线y交于点A(x1,y1),B(x2,y2)

7、，且yi、236;x点C(x3,y3)在双曲线上，且x10x3x2,求y3的取值范围。1k例11如图，直线yx与双曲线y(k0)交于A,B两点，且点A的横坐标为4。2xk.(1)求k的值；(2)右双曲线y(k0)上一点C的纵坐标为8,求4AOC的面积；xk(3)过原点O的另一条直线L父双曲线y(k0)于P,Q两点(P点在第一象限)，x且由点A,B,P,Q为顶点组成的四边形的面积为24,求点P的坐标。例12已知：在矩形AOBC中，OB4,OA3。分别以OB,OA所在直线为x轴和y轴，建立如图所示的平面直角坐标系。F是边BC上的一个动点(不与B,C重合)，过Fk,点的反比例函数y-(k0)的图象与

8、AC边交于点E。x(1)求证：zAOE与ABOF的面积相等；(2)记SSAoefSaecf,求当k为何值时，S有最大值，最大值为多少？(3)请探索：是否存在这样的点F,使得将4CEF沿EF对折后，C点恰好落在OB上？若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由。典型例题答案例1:解析:例2:解析:k1例3:答案：1m0答案：6yx3ykxkk31k4kk11,2,4,k3,1,0,2,3,5答案：(1)卷(1)2(3)91234解析:(1)(2)(3)SABESCDESOBD11AB|yE|221八2CD|Xe|1OBOD21212522325323325122394一1八例4:答案：yx32

9、解析：x2428x2x216x216x6416x48x3M(0,3),A(6,0)6kb0b3例5:答案：20y2解析；x1y1x2y24,x1x2,y12xiy27x2yi2x2y7x2y25x2y220例6:答案：12解析：S 0AB50S ODE3S OAB2ODSODEOB503SODE6例7:答案：2解析：双曲线与BC的交点E也是BC边的中点S EOBS BOF S FOA一一,2由已知，S0AF1k=2,yx4过点B的双曲线的解析式为y-x例8:答案:解析：40172要求y2009 ，yP9nnq2 2009 14017P2009只要求x2009 ,x2009624017 1339

10、只要求yP2009y200932133940172而 yP 2n 1Pn例 9:解：A (43,0), B (0, 1),AB=2-1c ccSABC22 22S ABPSOBPSOBASAOP2,382y kx例 10：解： k kxyx k 0 x2 1k 2 kx kxx 1 x1 0 xx11,x2y y236kx1 kx236 k2136k236k6y6x当k=6时，6A1,6,B1,6yxy36y6x当k66A1,6,B1,6y36例11:解：（1）在ygx中，当x=4时，y=2。1丁点A横坐标为4,且A点在直线yx上2 点A的坐标为（4,2）k.一 A点的双曲线y-k0的图象上x

11、 .k248（2）如图所示，过点C、A分别做x轴的垂线，垂足为E、F丁点C在双曲线y上，当y=8时，x=1x 点C的坐标为（1,8）8点C、A都在双曲线y-±S梯形 CEFAS COA SxAOFSCDESAOF4SCDESCDES梯形CEFAS COA 15S弟形cefa283152（3）.反比例函数图象是关于原点O中心对称的图形OP=OQ,OA=OB四边形APBQ是平行四边形1c1SPOA二SP行四边形APBQ二246448设P点横坐标为m（m>0且m4）,则P（m,）m过点P、A分别做x轴的垂线，垂足为E、F丁点P、A在双曲线上S BOQ S AOP 4若0 m 4,如图

12、S POAS AOFS POES梯形 PEFAS弟形 PEFAS POA6,解得m=2或m=8(舍去)P(2,4)若m4,如图,SAOFS梯形AEFPSAOPSPOE二S梯形PEFASPOA6-12-m462m解得m8或m2(舍去)P(8,1)点P的坐标是P(2,4)或P(8,1)说明：此题是反比例函数和一次函数以及四边形的综合题，考查学生灵活驾驶所学知识解决问题的能力。例12：(1)证明：设E(xi,y1)，F(x2,y),AOE与FOB的面积分别为Si,kS2,由题意得y,ky一X2c11,cSi-xiyi77k，S22212x2y22kSiS2,即zXAOE与AFOB的面积相等.一.kk

13、(2)由题意知：E,F两点坐标分别为E匕,3,F4,k34111Saecf-ECgCF-4-k22312kSAECF12kkSaecf22SAOEFSAECF-11112k2SAECF12k24k3k234112k2k6时，S有最大值12(3)解：设存在这样的点F,将4CEF沿EF对折后，C点恰好落在OB边点，过点E作ENOB,垂足为N由题意得：ENAO3,EM八1八1EC4k,MFCF3-k34QEMNFMBFMBMFB90°,EMNMFB又QENMMBF900ENMszMBF.ENEMMBMF3MB41k_3_31k4141k12112k21-3 -k ，解得k2189MB-42

14、22QMB2BF2MF2,BFk21432存在符合条件的点F,它的坐标为2132【模拟试题】一.选择题：1 .设ba,将一次函数ybxa与yaxb的图象画在平面直角坐标系内，则有组a,b的取值，使得下列 4个图中的一个为正确的是（）ABCDabbcca,、.2 .已知abc0,并且p,则直线ypxp一定通过（）cabA.第一、二象限B.第二、三象限C.第三、四象限D.第一、四象限3 .下列图象中，不可能是关于x的一次函数ymxm3的图象的是（）ykx b,当 3 x 1时，对应的y值为1y 9 ,则kb的值为（）A.4B.6C.4或21D.6或145 .如图，一次函数ykxb的图象经过A、B两

15、点，则kxb0的解集是（）A.x>0 B. x>2a-ab一6 .已知ab,且a0,b0,ab0,则函数yaxb与y在同一坐标系x中的图象不可能是（）7.如图，已知A是一次函数y=x的图象与反比例函数 y 2的图象在第一象限内的交点, x点B在x轴的负半轴上，且OA=OB,那么AOB的面积为（）A. 2B-i2k一一8 .函数ykxbk0与y-k0在同一坐标系中的图象可能是（）9 .如图，正方形OABC、ADEF的顶点A、D、C在坐标轴上，点F在AB上，点B、，一1-.在函数y-x0的图象上，则点E的坐标是（）xB.D.5151A.,22,5151C.,2210.如图，P是函数y2

16、x0图象上一点，直线 yx 1交x轴于点A ,交y于点B,PMOx轴于M,交AB于E,PNXOy轴于N,交AB于F,则AF-BE的值为()A. 2 B. 2C. 11D.2E二.填空题:1.若一次函数ym 3的图象如图所示，则 m的取值范围是2 .设直线nx n(n为自然数)与两坐标轴围成的三角形面积为Sn (n=1,2,，2005),贝U S1+S2+S2005的值为()3 .如图，一次函数 y kx b的图象过点P(1, 4),且分别与x轴、y轴的正半轴交于点A、B,当 AOB的面积最小时，k,b的值为4.函数y1x 1与y2么使yi, y的值都大于零的5.在平面直角坐标系中,ax b的图

17、象如图所示，这两个函数图象的交点在y轴上，那x的取值范围是o已知 A ( J3,1 ) , O (0, 0), C ( J3 , 0)三点，AE 平分/ OAC,交OC于E,则直线AE对应的函数表达式是k6 .如图，li是反比例函数y在第一象限内的图象，且过点A(2,1),12与li关于XX轴对称，那么图象12的函数解析式为(x>0)。7 .如图，函数yX与y4的图象交于A、B两点，过点A作AC，y轴于C点,X则BOC的面积为。8 .若反比例函数yk3的图象位于第二、四象限，则满足条件的正整数k的值是xk9 .已知双曲线y经过点(一1,3),如果A(ai,bi),B(a2,b2)两点在该

18、双曲线x上，且aa20,那么b|b2。，上一a，一,4八一10 .如图，PiOAi、P2A1A2都是等腰直角三角形，点Pi、P2在函数y-x0的图X象上，斜边OAi、A1A2都在x轴上，则点A2的坐标是。三.解答题:1.如图，已知直线PA是一次函数yxnn0的图象，直线PB是一次函数y2xmmn的图象。(i)用m,n表示出A、B、P点的坐标;(2)若点Q是PA与y轴的交点，且四边形PQOB的面积是5,AB=2。试求P点的6坐标，并写出直线PA与PB的解析式。2.有一个RtAABC,/A=90°,/B=60°,AB=1,将它放在直角坐标系中，使斜边BC3在x轴上，直角顶点A在反比仞函数y的图象上，求C点的坐标。x【试题答案】1. B解析：两直线交点为（1, a b）,可排除A、C2. B解析：p 2或p 13. C 4. D 5. C 6. B 7. C 8. A 9. A10. C解析：设P （ x, y）, AF= V2y , BE= J2x, AF BE= &y &x 2xy 11. 2 m 32