(完整word版)2018届高三高考数学中求轨迹方程的常见方法

1、高考数学中求轨迹方程的常见方法一、直接法当所求动点的要满足的条件简单明确时，直接按“建系设点、列出条件、代入坐标、整理化简、限制说明"五个基本步骤求轨迹方程，称之直接法.例1已知点A(2,0)、B(3,0).动点P(x,y)满足PAPBx2,则点P的轨迹为()A.圆B.椭圆C.双曲线D.抛物线解：PA(2x,y),PB(3x,y),PApB(2x)(3x)y2x2x6y2.由条件，x2x6y2x2,整理得y2x6,此即点P的轨迹方程，所以P的轨迹为抛物线，选D.二、定义法定义法是指先分析、说明动点的轨迹满足某种特殊曲线(如圆、椭圆、双曲线、抛物线等)的定义或特征，再求出该曲线的相关参

2、量，从而得到轨迹方程例2已知ABC中，A、B、C的对边分别为a、b、c,若a,c,b依次构成等差数列，且acb,AB2,求顶点C的轨迹方程.解：如右图，以直线AB为x轴，线段AB的中点为原点建立直角坐标系.由题意，a,c,b构成等差数列，2ca即|CA|CB121AB|4,又CBCA,C的轨迹为椭圆的左半部分.在此椭圆中，a2,c1,22b43,故C的轨迹方程为1(x0,x2).43三、代入法当题目中有多个动点时，将其他动点的坐标用所求动点P的坐标x,y来表示，再代入到其他动点要满足的条件或轨迹方程中，整理即得到动点P的轨迹方程，称之代入法，也称相关点法、转移法例3如图，从双曲线C：x2y21

3、上一点Q引直线l:xy2的垂线，垂足为N,求线段QN的中点P的轨迹方程解：设P(x,y，Q(为，yj，则N(2xx1,2yy1).N在直线l上，2xx12yy12.又PNl得y11,即xyy1x1。.xx1联解得yi3xy22.又点Q在双曲线C上，(3xy2)2(3yx2)21,化简整理得:3yx222_2-2一2x2y2x2y10,此即动点P的轨迹方程.2四、几何法几何法是指利用平面几何或解析几何知识分析图形性质，发现动点的运动规律和要满足的条件，从而得到动点的轨迹方程.例4已知点A(3,2)、B(1,4),过A、B作两条互相垂直的直线k和12,求li和L的交点M的轨迹方程.解：由平面几何知

4、识可知，当ABM为直角三角形时，点M的轨迹是以AB为直径的圆.此圆的圆心1即为AB的中点(1,1),半径为1AB2,52、，八2,万程为(x1)2.-2(y1)13.故M的轨迹方程为22(x1)(y1)13.五、参数法参数法是指先引入一个中间变量(参数)，使所求动点的横、纵坐标求式子中消去参数，得到x,y间的直接关系式，即得到所求轨迹方程x,y间建立起联系，然后再从所例5过抛物线y2Px(p0)的顶点O作两条互相垂直的弦OA、OB,求弦AB的中点M的轨迹方程.解：设M(x,y),直线OA的斜率为k(k10),则直线OB的斜率为一.直线OA的方程为ykx,kykx由2y2px解得2P2k,即2P

5、k同理可得B(2pk2,2pk).由中点坐标公式,Pk2，消去k,得y2p(x2p),此即点M的轨迹方程.Pk六、交轨法求两曲线的交点轨迹时,可由方程直接消去参数，或者先引入参数来建立这些动曲线的联系，然后消去参数来得到轨迹方程，称之交轨法2x例6如右图，垂直于x轴的直线交双曲线aM、N两点，A,A2为双曲线的左、右顶点，求直线A2N的交点P的轨迹方程，并指出轨迹的形状解：设P(x,y)及M(Xi，yjN(Xi,y)，又A1(a,0),A2(a,0),可得直线A1M的方程为yy(xa)；直线&N的方程为y一小(xa).XiaXia2X得y22y12(x2a2)Xia2Xi-2a2yi1

6、,2yib2,22、八、/口(axi),代入得ab2x2(x2a2),化简得aa2yb2i,此即点P的轨迹方程当ab时，点P的轨迹是以原点为圆心、a为半径的圆；当ab时，点P的轨迹是椭圆高考动点轨迹问题专题讲解(一)选择、填空题椭圆2.2X25(C)已知Fi、F2是定点,|讦2|8,动点M满足|MFi|MF?|8,则动点M的轨迹是(A)(B)直线(C)圆(D)线段i693.与圆x24 .P在以5 .已知圆M(0,5),N(0,2yi692y255)，MNP的周长为MNP的顶点P的轨迹方程是i(x0)2x(B)一i442x(D)i694x0外切,又与Fi、F2为焦点的双曲线2yi692yi44y

7、轴相切的圆的圆心轨迹方程是i690)0)i上运动，则FiF2P的重心G的轨迹方程是C：(xJ3)2y2i6内一点A(J3,0),圆C上一动点Q,AQ的垂直平分线交CQ于P点，则P点的轨迹方程为y2i6.ABC的顶点为A(5,0)、B(5,0),4ABC的内切圆圆心在直线X3上，则顶22点C的轨迹方程是；Li(X3)9i622xy变式：若点P为双曲线一匚1的右支上一点，F1、F2分别是左、右焦点，则PF1F2的内切圆圆心916的轨迹方程是;x2y2推广：若点P为椭圆y-1上任一点，F1、F2分别是左、右焦点，圆M与线段F1P的延长线、线段259PF2及x轴分别相切，则圆心M的轨迹是；7 .已知动

8、点M到定点A(3,0)的距离比到直线x40的距离少1,则点M的轨迹方程是,y212x8 .抛物线y2x2的一组斜率为k的平行弦的中点的轨迹方程是k.k2、x(y)489 .过抛物线y24x的焦点F作直线与抛物线交于P、Q两点，当此直线绕焦点F旋转时,弦PQ中点的轨迹方程为解法分析：解法1当直线PQ的斜率存在时,设PQ所在直线方程为yk(x1)与抛物线方程联立,yk(x1),y24x消去y得22_22kx(2k4)xk0.设P(。y1),Q%,y2)，PQ中点为M(x,y),则有xX2x2k2消k得y22(x1).yk(x1)当直线PQ的斜率不存在时，易得弦PQ的中点为F(1,0),所求方程.故

9、所求轨迹方程为y22(x1).Mx也满足解法2设PM,0),Q(x2,y2),2y由2y2当x1X2时,有2y-4,xx2所以,即y22(x1).当x1X2时，易得弦PQ的中点为F(1,0),也满足所求方程.4x1,得(yy2)(yy2)4函x2),设pq中点为m(x,y),4x2.故所求轨迹方程为y22(x1).10.过定点P(1,4)作直线交抛物线c：y2x2于A、B两点，过A、B分别作抛物线C的切线交于点M,则点M的轨迹方程为4x解答题1.一动圆过点P(0,3),且与圆x2(y23)100相内切，求该动圆圆心C的轨迹方程.(定义法)2x2.过椭圆361的左顶点Ai作任意弦A1E并延长到F

10、,使|EF|AE|,A2为椭圆另一顶点,连结OF交A2E于点P,求动点P的轨迹方程.3.已知A、A2是椭圆2yb21的长轴端点，P、Q是椭圆上关于长轴AA2对称的两点，求直线PA1和QA2的交点M的轨迹.(交轨法)4.已知点G>AABC的重心，A(0,1),B(0,1),在X轴上有一点M,满足uujuruuuruuuu|MA|MC|,GMuurAB(1)求点C的轨迹方程;uuuuuur(2)若斜率为k的直线l与点C的轨迹交于不同两点P、Q,且满足|AP|AQ|,试求k的取值范围.解：(1)设C(x,y),则由重心坐标公式可得G(x,-y).33uuuuuuuGMAB，点M在x轴上，.M(

11、-,0)3uuur|MA|uuurr|MC|,A(0,1),2(2)设直线|的方程为ykxb(b故点C的轨迹方程为y21(y1).(直接法)31),P(x1,y1)、Q(x2,yz),PQ的中点为N.又x1N(kxb,2消y,得(13y23.22_36kb12(1x26kb13k23kbb13k2'13k_223k)x6kbx3(b2223k)(b1)0,yy2k(xx2)uuuuuur|AP|AQ|,ANPQ，-kAN，-2一一,2一13k2b,又由式可得2bb0,013k24且13k22,解得13k22b6k2b3k2b13k22b2b2,3k23kb13k21.故k的取值范围是1

12、k1且k5.已知平面上两定点M(0,2)、N(0,2),uuuruuur满足MPMNuuuruuuuPNMN.(I)求动点P的轨迹C的方程;(n)若A、B是轨迹C上的两动点,(直接法)uuur且ANUUTNB.过A、B两点分别作轨迹C的切线，设其交点为Q,UULT证明NQuurAB为定值.uuur解：(I)设P(x,y),由已知MP(x,yuuuuuuur2),MN(0,4),PN(x,2y),uuuuuuuMPMN4y8.uuuruuurPNMN4jx2(y2)2,uuuruuurrMPMNuuuruuurrPNMN4y84M(y2)2整理，得x28y.即动点P的轨迹C为抛物线，其方程为x2

13、xy.点M的轨迹W的万程为T-1(m1).mm17.设x,yR,i,j为直角坐标系内x,y轴正方向上的单位向量，若向量r-r,J,-bxi(y2)j,且|a|b|8.(1)求点M(x,y)的轨迹C的方程；(定义法)uuuuuuuur(2)过点(0,3)作直线l与曲线C交于A、B两点，设OPOAOB,是否存在这样的直线l,使得四边形OAPB是矩形？若存在，求出直线l的方程，若不存在，试说明理由.22解：(1)L幺1;1216(2)因为l过y轴上的点(0,3).若直线l是y轴，则A,B两点是椭圆的顶点.uuumuuuQOPOAOB0,所以P与。重合，与四边形OAPB是矩形矛盾.8y.0,uuinu

14、uuuuuuuuur6.已知。为坐标原点，点E(1,0)、F(1,0)，动点A、M、N满足|AE|m|EF|(mD,MNAFuuiriuuuuuruuuruuurON(OAOF),AM/ME.求点M的轨迹W的方程.uuuuuuuruuur1uuruur解：:MNAF0,ON-(OAOF),MN垂直平分AF.uuurunr又AM/ME，.一点M在AE上，uuuuuuuuuuuuruuurunr|AM|ME|AE|m|EF|2m,|MA|MF|,uuur|ME|uuurIMF|unr2m|EF|,点M的轨迹W是以E、F为焦点的椭圆，且半长轴am,半焦距c1,.2222raxi(y2)j,bacm1

15、.故直线l的斜率存在，设l方程为ykx3,A(x1,y1),B(x2,y2).y由y2x12kx3,2y16消y得(43k2)x218kx210,此时1,(18k)24(43k2)(21)>0恒成立,且Xix2uuuQOP4uuuOA18k3k2uur，X1X221243k2OB,所以四边形OAPB是平行四边形.若存在直线l,使得四边形OAPB是矩形，则OAOB,uur即OAuuuOB0.uuuuuuQOA(Xi,yJOB区*),uunuunOAOBx1x2y1y20.2即(1k)x1x23k(xix2)90.921(1k2)(2)3k(43k23,得k16故存在直线l:yx3,4使得四

16、边形OAPB是矩形.uuu8.如图，平面内的定点F到定直线l的距离为2,定点E满足：|EF|=2,且EFuuuuuuuuuuuruuruuuu一动点，点M满足：FMMQ，点P满足：PQ/EF,PMuuurFQ0.(I)建立适当的直角坐标系，求动点P的轨迹方程;(II)若经过点E的直线1i与点p的轨迹交于相异两点A、B,令AFB时，求直线li的斜率k的取值范围.解：(1)以FG的中点O为原点，以EF所在直线为y轴，建立平面直角坐标系xoy,设点P(x,y),则F(0,1),E(0,3),uuuuFMuuuuuuurunrMQ,PQEF,Q(x,1)，M(-,0).2uuuuuuurxPMFQ0,

17、(1)x(y)(2)0,即所求点P的轨迹方程为x24y.设点A(xi,yi),B(X2,y2)(XiX2)设AF的斜率为k1,BF的斜率为k2,直线11的方程为ykx3ykx3由26分彳#x24kx120x4y22X1X24kX1X2127分y1y2匣旦(XiX2)29444y1y2k(x1x2)64k268分FA(Xi，yi，1),FBg41)FAFBx31)区1)X1X2%y2(y1y2)11294k2614k28又|FA|FB|(y11)(y21)y1y2(y1y?)194k2614k21622FAFB4k8k2cos22|FA|FB|4k16k43由于71cos4k2222k22k42

18、，直线11斜率k的取值范围是k|k10分即1k211分2k242解得k我或k4r813分4'8,或k4;89.如图所示,已知定点F(1,0),动点P在y轴上运动,过点P作PM交x轴于点M,并延长MP到点N,uuuuLUUT且PMPF(1)求动点N的轨迹方程;(2)直线l与动点N的轨迹交于uuuA、B两点，若OAuuuOB4,且4J6|AB|4J30,求直线|的斜率uuuuuur0,|PM|PN|.k的取值范围.ujur解：(1)设N(x,y),由|PMuuur|PN|得M(x,0),P(0,，uuuuPMx,uuryPF(1,当,2uuiuumr又PMPF0,0,即动点N的轨迹方程为1

19、0.已知点F(0,1),占八、uuuuM在x轴上，点N在y轴上，P为动点，满足MNuuirMFuuuuMNuuirrMP0.(y1)21(1)求P点轨迹E的方程;.r_._.一一一(2)将(1)中轨迹E按向量a(0,1)平移后得曲线E,设Q是E上任一点，过Q作圆的两条切线，分别交x轴与A、B两点，求|AB|的取值范围.解：(1)设M(a,0)、N(0,b)、P(x,y),则uuuuMNa,b)、uuurMF(a,1)、uuirMP(xa,y)由题意得(a,b)(a,b)(a,(x1)0,a,y)(0,0).0,y,故动点P的轨迹方程为11.如图A(m,J3m)和B(n,J3n)两点分别在射线O

20、S、OT上移动,uuuuur且OAOBuuuuuuuuuO为坐标原点，动点P满足OPOAOB.(1)求mn的值；(2)求P点的轨迹C的方程，并说明它表示怎样的曲线?(3)若直线l过点E(2,0)交(2)中曲线C于M、uuurN两点，且MEuur3EN,求l的方程.uuruuu解：(1)由已知得OAOB(m,.3m)(n,3n)(2)设P点坐标为(x,y)uuu(x0),由OPuuuOA2mn12uurOB得1mn一4(x,y)(m,3m)(n,、3n)(mn,V3(mn),n,消去m,mn)一2n可得x又因mn4,.P点的轨迹方程为x21(x0).1的右支.y23它表示以坐标原点为中心，焦点在

21、x轴上，且实轴长为2,焦距为4的双曲线x2(3)设直线l的方程为xty2,将其代入C的方程得3(ty2)2y23即(3t21)y212ty90,易知(3t21)0(否则，直线l的斜率为J3,它与渐近线平行，不符合题意)2_22又144t36(3t1)36(t1)0,设M(。y1)，N(x2,y2),则V21咒,丫佻2913t13t1l与C的两个交点M,N在y轴的右侧22X1X2(ty12)(ty22)tyy22t(yy?)4t923t2123t2423t210,-23t10,即0t2J,又由X1X20同理可得3uuur由MEuuur3EN得(2x1,y1)3(2x2,y2)，Xiyi3(23y

22、2X2)由yiy23y2y212t由丫2(3y2)y23y23t23t29一得1彳得y22V26t3t213t21消去y2得36t2(3t21)233t21解之得：t2115t23-故所求直线i存在，其方程为：JT5xy2、,50.12.设A,、2、5B分别是直线yx和52.5j人上一yx上的两个动点，并且5uuir|AB|动点P满足uuuuuuOPOAuurOB.记动点P的轨迹为C.(I)求轨迹C的方程;(II)若点D的坐标为(0,16)uuuur,M、N是曲线C上的两个动点，且DMuuurDN,求实数的取值范围.解：(I)设P(x,y),因为A、B分别为直线y2近x和y52/5x上的点，故

23、可设52,5A(X1,-X1),5B(X2,2、,52).uuuuuu.OPOAuuuOB,X1X2,2.5,、-(X1X2).5XiXiX2X2x,.5uur又AB24(XX2)(x1520.,52.7即曲线C的方程为2x25(II)设N(s,t),M(x,y),则由DMDN,可得(x,y-16)=(s,t-16).16(t16).M、N在曲线C上,25161,2s2(t1616)225161.2_2一一2消去s得由题意知(16t)(t1616)11616.一17150,且1,解得t17-21715-11)又t4,171-4.解得235,故实数的取值范围是(1)5313.设双曲线1的两个焦点

24、分别为三、F2，离心率为2.(1)求此双曲线的渐近线11、12的方程；(yx)3(2)若A、B分别为|1、12上的动点，且21ABi5严正2|,求线段AB的中点M的轨迹方程，并说明是3y2251)提示：|AB|10J(xX2)2y1y2210,又y1,3工-X1,3y2,3工"X2,3X1),”2).又2xXX2,2yy1y2代入距离公式即可.(3)过点N(1,0)是否存在直线l,使l与双曲线交于P、uurQ两点，且OPuuurOQ方程；若不存在，说明理由.(不存在)14.已知点F(1,0),直线l:x2,设动点P到直线l的距离为d,已知223|PF|-d，且一d232(1)求动点P

25、的轨迹方程;0,若存在，求出直线l的x2215.如图，直线l:ykx1与椭圆C:axy2(a1)交于A、B两点，以OA、OB为邻边作平行四边形OAPB(。为坐标原点).(1)若k1,且四边形OAPB为矩形，求a的值；(a3)若a2,当k变化时(kR),求点P的轨迹方程.(2x2y22y0(y0)22一xy16.双曲线C：1(a0,b0)的离心率为2,其中A(0,b),B(a,0),且abuuuuur4uuuuuu|OA|2|OB|2|OA|2|OB|2.(1)求双曲线C的方程；3(2)若双曲线C上存在关于直线l：ykx4对称的点，求实数k的取值范围.c2,a解：(I)依题意有：a2b24a2b

26、2,解得：a1,bJ3,c2.32,22abc.2所求双曲线的方程为x22一1.6分3(n)当k=0时，显然不存在.7分1当kwo时，设双曲线上两点M、N关于直线l对称.由lMN,直线MN的万程为yxb则kM、N两点的坐标满足方程组,yxb,2222八由k消去y得(3k21)x22kbx(b23)k20.9分3x2y23.显然3k210,(2kb)24(3k21)(b23)k20.即k2b23k210.设线段MN中点D(x0,y0)Xo则yokb3k213k2b3k21Xo,y0)在直线l上,3k2b3k21k2b二b4.即k2b=3k213k1把带入中得k2b2+bk20,解得b0或b1.0

27、或<-1.即k正或kL且Ek2k232.3、11.,.3、k的取值氾围(,)U(,0)U(0,)U(,).3223uuir17.已知向量OA=(2,uuur.0),OC=AB=(0,1),动点M到定直线y=1的距离等于d,并且满足uuurruuuruuuruuurOMAM=K(CMBM-d2),其中O为坐标原点，K为参数.(I)求动点M的轨迹方程，并判断曲线类型；(n)如果动点M的轨迹是一条圆锥曲线，其离心率2一，一一,求实数K的取值范围.2uuruuuruuuruuuuuu18 .过抛物线y24x的焦点作两条弦AB、CD,若ABCD0,OM-(OAOB),uuir1uuruurON-(OCOD).(1)求证：直线MN过定点；(2)记(1)中的定点为Q,求证AQB为钝角；(3)分别以AB、CD为直径作圆，两圆公共弦的中点为H,求H的轨迹方程，并指出轨迹是什么曲线.219 .(05年江西