(完整word版)全等三角形证明中考题精选(有答案)

1、新人教版八年级上学期全等三角形证明题一.解答题（共10小题）1. （泉州）如图，已知AD是ABC的中线，分别过点B、C作BE±AD于点E,CF±AD交AD的延长线于点F,求证：BE=CF.2.（1）如图，S2,则S1与S2的数量关系是翩1（河南）如图1,将两个完全相同的三角形纸片ABC和DEC重合放置，其中ZC=90°,/B=/E=30°.操作发现2, 固定ABC，使DEC绕点C旋转，当点D恰好落在AB边上时，填空： 线段DE与AC的位置关系是 设BDC的面积为S1,AEC的面积为（2）猜想论证C旋转到如图3所示的位置时,小明猜想（1）中S1与S2的数量

2、关系仍然成立，并尝试分当DEC绕点别作出了BDC和AEC中BC、CE边上的高，请你证明小明的猜想.（3）拓展探究已知ZABC=60。，点D是角平分线上一点，BD=CD=4,DE/AB交BC于点E（如图4）.若在射线BA上存在点F,使，dcf=SaBDE,请直接写出相应的BF的长.3. (大庆)如图，把一个直角三角形ACB(/ACB=90°)绕着顶点B顺时针旋转60°,使得点C旋转到AB边上的一点D,点A旋转到点E的位置.F,G分别是BD,BE上的点，BF=BG，延长CF与DG交于点H.(1) 求证：CF=DG;(2) 求出/FHG的度数.4. (阜新)(1)如图，在ABC和

3、ADE中，AB=AC,AD=AE,ZBAC=ZDAE=90°. 当点D在AC上时，如图1,线段BD、CE有怎样的数量关系和位置关系？直接写出你猜想的结论； 将图1中的ADE绕点A顺时针旋转a角(0°VaV90°),如图2,线段BD、CE有怎样的数量关系和位置关系？请说明理由.(2)当ABC和ADE满足下面甲、乙、丙中的哪个条件时，使线段BD、CE在(1)中的位置关系仍然成立？不必说明理由.甲：AB:AC=ADAE=1,/BAC=，/DAES;乙:AB:AC=ADAE祠，/BAC=z匕DAE=90丙：AB:AC=ADAE祠，/BAC=z匕DAES.5. (仙桃)如图

4、所示，在ABC中，D、E分别是AB绕A点顺时针旋转一定角度，得到图，然后将BD、得到图，请解答下列问题：AC上的点，DE/BC,如图，然后将ADECE分别延长至M、N,使DM=JLbD,EN=【CE,22(1) 若AB=AC，请探究下列数量关系： 在图中，BD与CE的数量关系是; 在图中，猜想AM与AN的数量关系、/MAN与BAC的数量关系，并证明你的猜想；，请继续探究：AM与AN的数量关系、/MAN(2) 若AB=k?AC(k>1)，按上述操作方法，得到图与ZBAC的数量关系，直接写出你的猜想，不必证明.6. （四川）CD经过/BCA顶点C的一条直线，CA=CB.E,F分别是直线CD上

5、两点，且ZBEC=/CFA=/a.（1）若直线CD经过ZBCA的内部，且E,F在射线CD上，请解决下面两个问题： 如图1,若ZBCA=90°,/芹90°,则BECF;EF|BE-AF|（填5”，七”或=”）； 如图2,若0°vZBCAv180°，请添加一个关于/a与ZBCA关系的条件，使中的两个结论仍然成立，并证明两个结论成立.（2）如图3,若直线CD经过/BCA的外部，/时/BCA，请提出EF,BE,AF三条线段数量关系的合理猜想（不要求证明）.7. （绍兴）课外兴趣小组活动时，许老师出示了如下问题：如图1,己知四边形ABCD中，AC平分ZDAB,/D

6、AB=60°,/B与ZD互补，求证：AB+AD=J1AC.小敏反复探索，不得其解.她想，若将四边形ABCD特殊化，看如何解决该问题.（1）特殊情况入手添加条件：ZB=/D”，如图2,可证AB+AD=J∾（请你完成此证明）（2）解决原来问题受到（1）的启发，在原问题中，添加辅助线：如图3,过C点分别作AB、AD的垂线，垂足分别为E、F.（请你补全证明）8. （常德）如图，已知AB=AC,（1）若CE=BD,求证：GE=GD;（2）若CE=m?BD（m为正数），试猜想GE与GD有何关系.（只写结论，不证明）9. (泰安)(1)已知：如图，在AOB和COD中，OA=OB,OC

7、=OD,/AOB=/COD=60°,求证：AC=BD;ZAPB=60度；(2) 如图，在AOB和COD中，若OA=OB,OC=OD,/AOB=/COD=a,贝UAC与BD间的等量关系式为;/APB的大小为;(3) 如图，在AOB和COD中，若OA=k?OB,OC=k?OD(k>1),ZAOB=ZCOD=a,贝UAC与BD间的等量关系式为;ZAPB的大小为屋DB奥座螫10.（南宁）（A类）如图，DE±AB、DF±AC.垂足分别为E、F.请你从下面三个条件中，再选出两个E、F,AB=AC,BD=CDE、F,AB=AC,BE=CFE、F,BD=CD,BE=CF作为

8、已知条件，另一个为结论，推出一个正确的命题（只需写出一种情况）AB=AC;BD=CD;BE=CF已知：DE±AB、DF±AC,垂足分别为求证：BE=CF已知：DE±AB、DF±AC,垂足分别为求证：BD=CD已知：DE±AB、DF±AC,垂足分别为求证:AB=AC（B类）如图，EG/AF,请你从下面三个条件中，再选两个作为已知条件，另一个为结论，推出一个正确的命题（只需写出一种情况）.AB=AC;DE=DF;BE=CF已知：EG/AF,AB=AC,DE=DF久求证：BE=CF/新人教版八年级上学期全等三角形证明题参考答案与试题解析一.

9、解答题（共10小题）1.（泉州）如图，已知AD是ABC的中线，分别过点B、C作BE±AD于点E,CF±AD交AD的延长线于点F,求证：BE=CF.考点：全等三角形的判定与性质.专题：证明题.分析：根据中线的定义可得BD=CD，然后利用角角边”证明BDE和CDF全等，根据全等三角形对应边相等即可得证.解答：证明：AD是ABC的中线，BD=CD,.BE±AD,CF±AD,/BED=/CFD=90°,在BDE和CDF中，ZBED=ZCKD=90"ZBDE=ZCDF,BD=CDBDEACDF（AAS）,BE=CF.点评：本题考查了全等三角形的

10、判定与性质，利用三角形全等证明边相等是常用的方法之一，要熟练掌握并灵活运用.2. （河南）如图1,将两个完全相同的三角形纸片ABC和DEC重合放置，其中/C=90°,/B=/E=30°.（1）操作发现如图2,固定ABC，使DEC绕点C旋转，当点D恰好落在AB边上时，填空：线段DE与AC的位置关系是DE/AC;设BDC的面积为S1,AEC的面积为S2,则S1与S2的数量关系是S1=S2.(2) 猜想论证当DEC绕点C旋转到如图3所示的位置时，小明猜想(1)中Si与S2的数量关系仍然成立，并尝试分别作出了BDC和AEC中BC、CE边上的高，请你证明小明的猜想.(3) 拓展探究已

11、知ZABC=60。，点D是角平分线上一点，BD=CD=4,DE/AB交BC于点E(如图4).若在射线BA上存在点F,使，D0F=SaBDE,请直接写出相应的BF的长.考点：全等三角形的判定与性质.专题：几何综合题；压轴题.分析：(1)根据旋转的性质可得AC=CD，然后求出ACD是等边三角形，根据等边三角形的性质可得ZACD=60°,然后根据内错角相等，两直线平行解答；根据等边三角形的性质可得AC=AD，再根据直角三角形30。角所对的直角边等于斜边的一半求出AC=AB,然后求出AC=BE，再根据等边三角形的性质求出点C到AB的距离等于点D到AC2的距离，然后根据等底等高的三角形的面积相

12、等解答；(2) 根据旋转的性质可得BC=CE,AC=CD,再求出/ACN=/DCM,然后利用角角边”证明ACN和DCM全等，根据全等三角形对应边相等可得AN=DM,然后利用等底等高的三角形的面积相等证明；(3) 过点D作DF1/BE,求出四边形BEDF1是菱形，根据菱形的对边相等可得BE=DF1,然后根据等底等高的三角形的面积相等可知点F1为所求的点，过点D作DF2BD,求出/F1DF2=60°,从而得到DF1F2是等边三角形，然后求出DF1=DF2,再求出/CDF1=ZCDF2,利用边角边”证明CDF1和CDF2全等，根据全等三角形的面积相等可得点F2也是所求的点，然后在等腰BDE

13、中求出BE的长，即可得解.解答：解：(1).DEC绕点C旋转点D恰好落在AB边上，AC=CD,./BAC=90°-/B=90°-30=60°,ACD是等边三角形，/ACD=60°,又.ZCDE=ZBAC=60°,/ACD=/CDE,DE/AC;.ZB=30°,ZC=90°,八八1CD=AC=*AB,2BD=AD=AC,根据等边三角形的性质，ACD的边AC、AD上的高相等，BDC的面积和AEC的面积相等(等底等高的三角形的面积相等)即Si=S2；故答案为：DE/AC;Si=S2；(2) 如图，DEC是由ABC绕点C旋转得到，B

14、C=CE,AC=CD, /ACN+/BCN=90°,/DCM+/BCN=180°-90=90°,ZACN=ZDCM,.在ACN和DCM中，ZCMD=ZN=90°,AC=CD.ACNADCM(AAS),AN=DM,BDC的面积和AEC的面积相等(等底等高的三角形的面积相等)即Si=S2；(3) 如图，过点D作DFiHBE,易求四边形BEDF1是菱形，所以BE=DF1,且BE、DF1上的高相等，此时SADCF=SABDE,过点D作DF2LBD, /ABC=60°,ZF1DF2=ZABC=60°, DF1F2是等边三角形，DF1=DF2,B

15、D=CD,ZABC=60。，点D是角平分线上一点，/DBC=/DCB=>60=30°,ZCDF1=180-30=150°,/CDF2=360-150-60=150°,-/CDF1=ZCDF2,.在CDF1和CDF2中，FL二口七，ZCEFZCDFlcd=cd CDF1ACDF2(SAS),.,点F2也是所求的点,ZABC=60。，点D是角平分线上一点，DE/AB,ZDBC=ZBDE=ZABD=>60=30°,2又.BD=4,BE=£>4cos30°=2|=专,BF1-VBF2-BF1+F1F2+3333故BF的长为4

16、摘或目扼33££C(3)题图点评：本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的面积，等边三角形的判定与性质，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，熟练掌握等底等高的三角形的面积相等，以及全等三角形的面积相等是解题的关键，(3)要注意符合条件的点F有两个.3. (大庆)如图，把一个直角三角形ACB(/ACB90°)绕着顶点B顺时针旋转60°,使得点C旋转到AB边上的一点D,点A旋转到点E的位置.F,G分别是BD,BE上的点，BFBG，延长CF与DG交于点H.(1) 求证：CFDG;(2) 求出/FHG的度数.考点：全等三角形的判定与性

17、质.分析：(1)在CBF和DBG中，利用SAS即可证得两个三角形全等，利用全等三角形的对应边相等即可证得；(2)根据全等三角形的对应角相等，即可证得/DHF/CBF60°,从而求解.解答：(1)证明：.在CBF和DBG中，SED，ZCBF=ZBDG=60°,.BF二BG.CBFADBG(SAS),CFDG;(2)解：CBFADBG,/BCF/BDG,又.ZCFBZDFH,ZDHFZCBF60°,/FHG=180°-/DHF=180°-60=120°.点评：本题考查了全等三角形的判定与性质，正确证明三角形全等是关键.4. (阜新)(1)

18、如图，在ABC和ADE中，AB=AC,AD=AE,ZBAC=ZDAE=90°. 当点D在AC上时，如图1,线段BD、CE有怎样的数量关系和位置关系？直接写出你猜想的结论； 将图1中的ADE绕点A顺时针旋转a角(0°VaV90°),如图2,线段BD、CE有怎样的数量关系和位置关系？请说明理由.(2)当ABC和ADE满足下面甲、乙、丙中的哪个条件时，使线段BD、CE在(1)中的位置关系仍然成立？不必说明理由.甲：AB:AC=ADAE=1,/BAC=，/DAES;乙:AB:AC=ADAE祠，/BAC=z匕DAE=90丙：AB:AC=ADAE祠，/BAC=z匕DAES.考

19、点：全等三角形的判定与性质.专题：几何综合题；压轴题.分析：(1)BD=CE,BD±CE.根据全等三角形的判定定理SAS推知ABDAACE,然后由全等三角形的对应边相等证得BD=CE、对应角相等/ABF=/ECA;然后在ABD和CDF中，由三角形内角和定理可以求得/CFD=90。，即BD±CF;BD=CE,BD±CE.根据全等三角形的判定定理SAS推知ABDAACE,然后由全等三角形的对应边相等证得BD=CE、对应角相等/ABF=/ECA;作辅助线(延长BD交AC于F,交CE于H)BH构建对顶角/ABF=/HCF,再根据三角形内角和定理证得/BHC=90°

20、;(2)根据结论、的证明过程知，/BAC=/DFC(或ZFHC=90°)时，该结论成立了，所以本条件中的/BAC=/DAE为0°不合适.解答：解：(1)结论：BD=CE,BD±CE;结论：BD=CE,BD±CE-1分理由如下：./BAC=/DAE=90°ZBAC-ZDAC=ZDAE-ZDAC，即ZBAD=ZCAE-1分在ABD与ACE中，fAB=ACZBAD=ZCAEad=aeABDACE(SAS)BD=CE】分延长BD交AC于F,交CE于H.在ABF与HCF中，ZABF=/HCF,/AFB=/HFC/CHF=/BAF=90°BD&#

21、177;CE-3分(2)结论：乙.AB:AC=AD:AE,ZBAC=ZDAE=902分点评：本题考查了全等三角形的判定与性质.理.注意：在全等的判定中，没有SSS,SAS,ASA,AAS,HL均可作为判定三角形全等的定AAA（角角角）和SSA（边边角）（特例：直角三角形为HL,因为勾股定理，只要确定了斜边和一条直角边，另一直角边也确定，属于SSS）,因为这两种情况都不能唯一确定三角形的形状；另外三条中线（或高、角平分线）分别对应相等的两个三角形也全5. （仙桃）如图所示，在ABC中，D、E分别是AB、AC上的点，DEIIBC,如图，然后将ADE绕A点顺时针旋转一定角度，得到图，然后将BD、CE

22、分别延长至M、N,使DM=【BD,EN=CE,22得到图，请解答下列问题:（1）若AB=AC，请探究下列数量关系： 在图中，BD与CE的数量关系是; 在图中，猜想AM与AN的数量关系、/MAN与ZBAC的数量关系，并证明你的猜想；（2）若AB=k?AC（k>1），按上述操作方法，得到图，请继续探究：AM与AN的数量关系、/MAN与ZBAC的数量关系，直接写出你的猜想，不必证明.考点：全等三角形的判定.专题：压轴题；探究型.分析：（1）根据题意和旋转的性质可知AECAADB，所以BD=CE;根据题意可知/CAE=BAD,AB=AC,AD=AE,所以得到BADCAE,在ABM和ACN中，DM

23、=BD,EN=【CE,可证ABMAACN,所以AM=AN，即ZMAN=/BAC.22（2）直接类比（1）中结果可知AM=k?AN,/MAN=/BAC.解答：解：（1）BD=CE;AM=AN,/MAN=/BAC,ZDAE=ZBAC,ZCAE=ZBAD,在BAD和CAE中IAE=ADNCAENBAD"CAEBAD(SAS),AC=ABZACE=ZABD,DM=-BD,EN=-CE,22BM=CN,在ABM和ACN中，即二CNZACN=ZABMAB=AC.ABMACN(SAS),AM=AN,/BAM=/CAN，即/MAN=/BAC;(2)AM=k?AN,ZMAN=ZBAC.点评：本题考查三

24、角形全等的判定方法和性质.判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL.判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件.本题还要会根据所求的结论运用类比的方法求得同类题目.6. （台州）CD经过/BCA顶点C的一条直线，CA=CB.E,F分别是直线CD上两点，且ZBEC=/CFA=/a.（1）若直线CD经过ZBCA的内部，且E,F在射线CD上，请解决下面两个问题： 如图1,若ZBCA=90°,/芹90°,则BE=CF;EF=|BE-AF|（填”，七”或=”）； 如图2,若0

25、76;vZBCAv180°，请添加一个关于/a与ZBCA关系的条件Z计ZBCA=180°，使中的两个结论仍然成立，并证明两个结论成立.（2）如图3,若直线CD经过/BCA的外部，/a=/BCA，请提出EF,BE,AF三条线段数量关系的合理猜想（不要求证明）.考点：直角三角形全等的判定；三角形内角和定理.专题：几何综合题；压轴题.分析：由题意推出/CBE=/ACF,再由AAS定理证BCEACAF,继而得答案.解答：解：（1）BCA=90°,/0=90°,/BCE+/CBE=90°,/BCE+/ACF=90°,/CBE=/ACF,.CA=

26、CB,/BEC=/CFA;.BCEACAF,BE=CF;EF=|BE-AF|.所填的条件是：Za+ZBCA=180°.证明：在BCE中，ZCBE+ZBCE=180°-ZBEC=180°-Z膈:LBCA=180°-Za,/CBE+/BCE=/BCA.又.ZACF+ZBCE=ZBCA,/CBE=/ACF,又.BC=CA,ZBEC=ZCFA,.BCEACAF（AAS）BE=CF,CE=AF,又.EF=CF-CE,EF=|BE-AF|.（2）EF=BE+AF.点评：本题综合考查全等三角形、等边三角形和四边形的有关知识.注意对三角形全等，相似的综合应用.7. （绍

27、兴）课外兴趣小组活动时，许老师出示了如上问题：如图1,己知四边形ABCD中，AC平分ZDAB,/DAB=60°,/B与ZD互补，求证：AB+AD=J1AC.小敏反复探索，不得其解.她想，若将四边形ABCD特殊化，看如何解决该问题.（1）特殊情况入手添加条件：ZB=/D”，如图2,可证AB+AD=J∾（请你完成此证明）（2）解决原来问题受到（1）的启发，在原问题中，添加辅助线：如图3,过C点分别作AB、AD的垂线，垂足分别为E、F.（请你补全证明）考点：直角三角形全等的判定.专题：证明题；压轴题；开放型.分析：（1）如果：2B=/D”，根据ZB与ZD互补，那么/B=/D=

28、90。，又因为ZDAC=/BAC=30°,因此我们可在直角三角形ADC和ABC中得出AD=AB=二AC,那么AD+AB3AC.2（2）按（1）的思路，作好辅助线后，我们只要证明三角形CFD和BCD全等即可得到（1）的条件.根据AAS可证两三角形全等，DF=BE.然后按照（1）的解法进行计算即可.解答：证明：（1）./B与ZD互补，ZB=ZD,/B=/D=90°,ZCAD=ZCAB=1ZDAB=30°,2,._,AD.在ADC中，cos30=*,AC在ABC中，cos30°AC.AB=Ac,AD=2_.AB+AD=扼虻.（2）由（1）知，AE+AF=VAC

29、,AC为角平分线，CF±CD,CE±AB,CE=CF.而/ABC与ZD互补，/ABC与ZCBE也互补，/D=/CBE.在RtACDF与RtCBE中，rZCEB=ZCFD-ZD=ZCBERtCDF丝RtCBE.DF=BE.AB+AD=AB+（AF+FD）=（AB+BE）+AF=AE+AF=VIaC.点评：本题考查了直角三角形全等的判定及性质；通过辅助线来构建全等三角形是解题的常用方法，也是解决本题的关键.8. （常德）如图，已知AB=AC,（1）若CE=BD,求证：GE=GD;（2）若CE=m?BD（m为正数），试猜想GE与GD有何关系.（只写结论，不证明）考点：全等三角形的

30、判定与性质.专题：证明题；压轴题；探究型.分析：(1)要证GE=GD,需证GDFAGEC，由已知条件可根据AAS判定.(2)若CE=m?BD(m为正数)，那么GE=m?GD.解答：证明：(1)过D作DF/CE,交BC于F,贝U/E=ZGDF.AB=AC,/ACB=/ABCDF/CE,/DFB=/ACB,/DFB=/ACB=/ABC.DF=DB.CE=BD,DF=CE,在GDF和GEC中，ZENGDFZDCF=ZEGC,DF=EC.GDFAGEC(AAS).GE=GD.(2)GE=m?GD.E点评：本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL

31、.本题的辅助线是解决题目的关键.9. （泰安）（1）已知：如图，在AOB和COD中，OA=OB,OC=OD,/AOB=/COD=60°,求证:AC=BD;ZAPB=60度；（2）如图，在AOB和COD中，若OA=OB,OC=OD,/AOB=/COD=a,贝UAC与BD间的等量关系式为AC=BD;/APB的大小为;(3) 如图，在AOB和COD中，若OA=k?OB,OC=k?OD(k>1),ZAOB=ZCOD=a,贝UAC与BD间的等量关系式为AC=k?BD;/APB的大小为180°一E®B囹图考点：全等三角形的判定；三角形内角和定理.专题：探究型.分析：(1)分析结论AC=BD可知，需要证明AOCBOD,围绕这个目标找全等的条件；(2) 与图比较，图形条件发生了变化，仍然可以证明AOCABOD,方法类似；(3) 转化为证明AOCsxBOD.解答：解：(1)ZAOB=/COD=60°,/AOB+/BOC=/CO