6第六章--将军饮马

1、第六章将军饮马“将军饮马问题主要利用构造对称图形解决求两条线段和差、三角形 周长、四边形周长等一类最值问题，会与直线、角、三角形、四边形、圆、 抛物线等图形结合，在近年的中考和竞赛中经常出现，而且大多以压轴题的 形式出现。模型1定直线与两定点 模型A*l作法结论PA+ PB的最 小。当两定点 A、B在直线I异侧 时，在直线I上找一点 P,使 PA+PB最 小。连接AB交直线I于点P,点 P即为所求作的点。PA+PB的最小 值为AB。BABIAPA PB 的最大值为AB当两定点A、B在直线I同侧 时，在直线I上找一点P,使PA+PB最 小。oAB：I当两定点A、B在直线I同侧 时，在直线I上找一

2、点P,使PA PB最大。A*作点B关于直线I的对称点B,连接 AB交直线于点 P,点P即为所求作的点。连接AB并延长交直线I于点 P,点P即为所求作的点。BPA PB 的 最大值为 AB。I*B当两定点A、B在直线I同侧 时，在直线I上找一点P,使PA PB最大。作点B关于直线I的对称点 B,连接AB并延长交直 线于点P,点P即为所求作 的点。A:Ay iPA PB的BlP最小值为0。当两定点A、B在直线l同侧连接AB,作 ；AB的垂直时，在直线1上找一点P,使平分线交直线l于点P,点PPA PB|最小。即为所求作的点。模型实例例1.如图，正方形 ABCD勺面积是12,A ABE是等边三角形，

3、点 E在正方形ABCD内，在对角线 AC上有一点P,贝V PD+PE的最小值为 。DC例2.如图， ABC为等腰直角三角形， AC=BC=4 Z BCD=15 , P为CD 上的动点，贝V PA PB的最大值是多少？热搜精练1. 如图，在 ABC中，AC=BC=2 Z ACB-90, D是BC边的中点，E是AB边 上一动点，那么 EC+ED勺最小值是 。B2. 如图，点C的坐标为3, 丫，当厶ABC的周长最短时，求 y的值A (3, 0)B (2 , 0)3. 如图，正方形 ABCD中, AB-7, M是DC上的一点，且 DM-3, N是AC上的一 动点，求 DN MN的最小值与最大值。模型2

4、角到定点模型作法结论 PCD周长最小为PP。点P在/ AOB的内部， 在0B上找点D,在OA 上找点C,使得 PCD周 长最小。分别作点P关于OA OB 的对称点P、P，连接 P P，交OA OB于点 C、D,点C、D即为所 求。PC+CD勺最小值为PCo点P在/ AOB的内部， 在OB上找点D,在OA 上找点C,使得PD+CD 最小。作点P关于OB的对称点 P,过点P作P C丄OA交OB于点C,点C、D 即为所求。点P、Q在/ AOB勺内 部，在OB上找点D,在 OA上找点C,使得四边 形PQDC周长最小。分别作点P、Q关于OA OB的对称点P、Q , 连接P Q ,交OA OB 于点C、D

5、,点C、D即为 所求。PC+CD+D的最小值为P Q，所以四边形PQDC勺周长的最小值为P Q +PQ模型实例例1.如图，/ AOB=30，/ AOB内有一定点 P,且OP=10在0A上有一 点Q OB上有一点R。假设 PQF周长最小，那么最小周长是多少？CD热搜精练1如图，/ MON=40 , P为/ MON内一定点，A为OM上的点，B为ON上的点, 当 PAB的周长取最小值时：1找到A、B点，保存作图痕迹；2求此时/ APB等于多少度。如果/ MON=, Z APB又等于多少度？2.如图，四边形 ABCD中, Z BAD=110 , Z B=Z D=90,在 BC CD上分别 找一点M汕使

6、厶AMN周长最小，并求此时Z AMNZ ANM勺度数。3如图，在X轴上找一点C,在y轴上找一点D,使AD+CD+B最小，并 求直线CD的解析式及点C、D的坐标。y4 .如图/ MON=2 , A B分别为射线 OM ON上两定点，且 OA=2 OB=4 点P、Q分别为射线OM ON上两动点，当P、Q运动时，线段AQ+PQ+PB的最小值是多少？模型3两定点一定长模型作法结论dA*B*JdAA； J1AM+MN+NS 小为AB。如图，在直线l上找M N两 点M在左，使得AM+MN+N最小，且 MN=d。:M JNA将点A向右平移d个单位 到A,作A关于直线l 的对称点A，连接AB交 直线l于点N,

7、将点N向左 平移d个单位到M点M N即为所求。A.I,AM人AM+MN+N的 最小 值为A B+d。I 1I.*B如图，l1 II l2 , l1 , l2 之间 距离为d，在l1, l2分别找 M N两点，使得MNL l1 , 且 AM+MN+NS小。B将点A向下平移d个单位 到A,连接A B交直线 l2于点N,将点N向上平移 d个单位到M点M N即 为所求。模型实例例1.在平面直角坐标系中，矩形 OABC如以下图， 点A在X轴正半轴上，点 C在y轴正半轴上， 且OA=6 OC=4 D为0C中点，点E、F在线段OA上，点E在点F左侧，EF=2当四边形BDEF 的周长最小时，求点 E的坐标。热搜精练1.在平面直角坐标系中，矩形 OACB勺顶点0在坐标原点，顶点 A B分别在, X轴、y轴的正半轴上，A3, 0，B 0, 4，D为边OB的中点。1假设E为边OA上的一个动点，求 CDB的周长最小