数形结合例题选集

1、数形结合一、在一些命题证明中的应用举例：1、证明勾股定理：4 （0.5ab）（ a22b2c2b） a解析：上图中，四个小三角形（阴影部分）的面积加上中间小正方形的面积等于大正方形的面积，化简后得到勾股定理a2b2c 2 。2、证明乘法公式（平方差与完全平方） ：a2b2（ ab）（ ab）（ a2a2b22abb）解析：在上图中，利用正方形和小正方形面积的转化， 能更进一步理解平方差公式与完全平方公式的运算过程以及公式的本质问题。3、证明基本不等式：解析：如上图所示，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，长度为ab ，2根据直角三角形的相似关系，可以得到直角三角形斜边上的高的长度为ab ，显

2、然在直角三角形中， 斜边上的中线的长度会大于等于高， 利用这样简洁明了的几何图解，对基本不等式的理解也就更加简单了。4、证明正（余）弦定理：解析：（ 1）如上图所示，ABC 的面积 S1 a h1 a bsinCbsinCcsinB ；即 bc ，同理可得ab2c2；sinBsinCsinAsinBsinCa ，即a根据圆的性质（等弧对等角）AD，sinAsinD2R ；abc2RsinA综上，得正弦定理：2R。sinAsinBsinC（ 2）根据勾股定理AB2BE2AC2222b2（a2CE ，即c（c cosB）c cosB）；整理可得余弦定理： cosBa2c2b2；同理得出 cosA、

3、cosC 的余弦定理。2ac5、证明结论tan xxsinx，x（0， ）2解析： 如上图所示，根据y=tanx、 y=x 、 y=sinx 在 x （0， ）上的图像可看出2tanxxsinx， x （0， ）。当然，实际考试作图不可能如此精确，那么转化到右2图的单位圆中，当x （0， ）时，角的终边始终在第一象限内，根据三角函数线2可知，蓝线表示正弦线，红线表示正切线，再根据弧长公式 l R x 1 x ，即图中黑色弧线的长度表示 x ，显而易见。红线长度 弧线长度 蓝线长度，即tanxxsinx， x （0， ）。26、证明两角差的余弦公式：解析：如上图所示，根据三角比的定义及单位圆的定

4、义可知单位圆上的点的坐标222表示。左图中， AB（cos cos ）（sinsin ），将 B 点旋转至（ 1，0）处（右图所示）。此时， AB2cos（） 12sin（）2 ，因为线段 AB 的长度没有发生变化，即（cos2sin2） 12sin（2，化简：cos ） （sin） cos（）cos（） cos cossin sin 。当然也可以用向量的方法证明，利用向量数量积定义，证明更加简洁。如左图， （） OAOB（，sin）（，）coscossincosOA OB1 1cos cossin sin。二、在考试中的具体应用：1、与函数的综合运用，主要体现在求零点、交点、解的个数及参数范

5、围等方面：例 1 （ 14 奉贤）已知定义在R 上的函数 y=f （x）对任意 x 都满足 f（ x+2）=-f（ x），当 - 1x1时， f （x ）x 3，若函数g（x） f （x） log a x 只有四个零点，则 a 的取值范围是1 1答案：（ ，）（3，5）5 3解析：根据已知条件， f（x）的周期为 4，先画 f （x）一个周期图像，当1x3时， f （ x2）（ x2-f （ x）， f （ x） （-2，3）的图像，2）x 2），由此画出 -1此为一个周期，图像如下，g（x） f（ x）log a x 只有四个零点即f （ x ）与y= loga x 只有四个交点，需分类讨论

6、：（ 1）当 0a1 时，也有两个界值，如下图所示：此时 3 个交点，代入（ -3，1），解得 a=3。评注：数形结合体型， 一定要结合图像分析， 并且一些用于定位的特殊点要善于把握；另一方面，必须熟悉初等函数的所有性质及函数图像的变换。，x 4log2 x 0例 2 （ 14 闵行） f （x）2 x 28x70，若 a、b、c、d 互不相同，且 f，x 433（ a）=f （b） =f（c）=f （d），则 abcd 的取值范围是答案：（32， 35）解析：根据题意，如下图所示，ab=1，abcd=cd=c（12c） 12c2 ， 4c0 时， y=f （x）单调递减且无最值；方程 f（x

7、）=kx+b （k0）一定有解；如果方程 f （x）=k 有解，则解的个数一定是偶数； y=f（ x）是偶函数且有最小值。则其中真命题是答案： 、解析：含绝对值、分类讨论。先画 x1 和 0x0 且 a1，已知函数 f （x）= ax2sin2 x（2 x 0）至少有 5 个零点，则 a 的取值范围为答案：（0，1） （ 1， 2）解析：就是求函数 y2 sin2 x 与函数 y2ax 在 x （0，）上的交点个数，分两种情况：（ 1）当 0a1 时，在 x （0，）两个函数图像有无数个交点，如下图所示：所以 0a1 时，如下图所示，在x （0，）要至少 5 个交点， 函数 y2ax 在x=1

8、 处要大于 0即 2-a0，a0，不等式 f（x）恒成立，则实数k 的取值范围是 9，）x8则其中所有命题的序号是答案： 、解析：根据下图所示可知：选项是2k ，选项反比例函数图像至少要满足点（ 5, 1 ）上，此时， k5224评注：数形结合的思想，国家题意画图帮助理解，然后利用一些特殊点定位，图像尽量做到精确，才能避免差错3、与解析几何的综合运用：例 1 （ 14 闸北）设曲线C： x 2y222 （3xy），则曲线 C 所围封闭图形的面积为答案： 328 33解析：因为图像关于 x 轴、 y 轴对称，所以可以先画第一象限的图像，第一象限x0，y0，绝对值直接去掉，可得一段圆弧，然后关于

9、x 轴、 y 轴对称翻折，如下图所示，根据题目数据，可得ABC150 ，AB=2 ，可以先算第一象限的面积，由一个扇形与一个四边形构成，然后再乘以4，全面积为 328 3 。3评注：方程图像问题，含绝对值，所以根据象限分类讨论，根据相关性质画出方程图像，割补法求面积。变式 由曲线 x2 y 2 x y 所围成的封闭图形的面积为答案： 2+例 2 （14 金山）已知直线 l ：4x-3y+6=0，抛物线P 到直线 l 与 y 轴的距离之和的最小值是C： y 24x 图像上的一个动点答案： 1解析：结合题意，画出直线与抛物线的草图，找到点P 到直线l与 y 轴的距离之和，如下图所示，即PH+PA=

10、PH+PB-1=PH+PF-1PH 1, PH 用点到直线距离公式求出来等于 2，所以答案为 1。评注：注意圆锥曲线的相关定义，进行巧妙的转化，如本题中用到了“抛物线上的点到焦点的距离等于这个点到准线的距离”这个性质，然后结合图像进行转化。例 3 （14 金山）已知有相同焦点、F2的椭圆 x 22（）和双曲线 x2y2F1y1 m1nm（ n0），点 P是它们的一个交点，则SF1 PF2（）=0A. 1 ；B.2 ；C.2；D.122答案：解析：法一：如下图所示，由题意得： c2m1 n1， PFPF2 m， PF122PF12 n，两式平方相减得： PF1 PF2mn22（ PF122，所以

11、 PF1PF2PF2）PF1PF24m 4 4c 2F1 F22，即 PF1PF2，得 S1法二：对于椭圆而言，焦点三角形的面积为Sb2 tan，对于双曲线而言焦点三2角形面积Sb2 cot，而这是同一个三角形，所以tancot，即，所2222以 S F1PF2。评注：熟悉圆锥曲线的定义非常重要， 根据条件找到变量之间恒定的关系， 做数学题时，很多时候要辩证思考，透过变化的表象，发现不变的内在联系，动静结合，有机分析，以静制动，以不变应万变。例（14 金山）设双曲线 nx2（）2，（）Q（1，0）n 1 y1nN 上动点到定点的距离三最小值是 d n，则 lim d n（）nA. 1 ；B.

12、2 ；C.0；D.122答案：解析：双曲线方程两边同时除以n，得到2（12110 ，x1n）yn，当 n，n即方程 x2y 20，这就是方程的极限位置 ，即求点 Q（1，0）到直线 yx 的距离，选评注：这是一类要考虑极限位置的极限体型， 在高考中出现过类似的题目， 一般找到了极限的位置，题目就很容易解的，很多同学不会因为没有想到极限的位置，而像想把 dn 用 n表示出来就复杂了。例（14 闵行）若曲线 f（ x， y） 0 上存在两个不同点处的切线重合，则称这条切线为曲线的自公切线，下列方程的曲线有自公切线的是（）A. x 2y10 ；B. x4y 210 ；C. x 2y 2xx10 ；D

13、. 3x 2xy1 0答案：解析： A、B、 C、D 选项图像依次如下图所示，根据题意，选评注：利用数形结合的方法， 考查了含绝对值曲线方程的画法， 一般根据图像的对称性，或者分区间、 分象限进行分类讨论函数方程在各个象限的图像， 再结合题意解题。、与向量的运用：例（14 徐汇）如下图所示，已知点 G是ABC 的重心，过 G作直线与 AB 、 AC 两边分别交于 M 、 N 两点去，且 AMx AB，ANy AC，则xyx y答案： 13解析：法一：M 、 G、N三点共线，设 AGAMAN，有1，xAB，AMANyACAGAMANx AB1yAC ，因为 G是重心，所以 AG3AB1 AC，即

14、 xy1，111，化简xy1333x3yxy3法二：取特殊值， 取xy2 。3评注：作为填空题，本题的第一做法是法二，同时也要知道具体过程，注意向量一些常用知识点及一些转化技巧。例（14 闵行）设 i 、j 依次表示平面直角坐标 系 x轴、 y轴上的单位向量，且 a ja2j5,则i 的取值范围是a 2答案： 6 5，35解析：根据题意， aja2 j5 的几何意义为一个点到 （1，0）的距离加上这个点到（0，2）的距离等于5 ，如下图所示， 即到点的距离加上到点的距离等于 5 ，而 AB 5 ，所以这个点的轨迹为线段 AB ，而我们要求的取值范围的几何意义即转化成线段 AB 上的点到点（ -

15、 2，0）的距离的取值范围，最短距离是下图中 CD 的长度，用点到直线的距离公式或等面积法可求得CD65 ,因为 BC52 2， AC 3，距离的最大值为 3 。评注：用代数的方法计算， 因为有根号，过程很复杂，结合向量的模的几何意义，转化成图形问题就简明了，易于理解，教学过程中注意引导数形结合的使用。例 3 （14 徐汇）如下图所示，在边长为的正六边形ABCDEF 中，动圆 Q 的半径为，圆心在线段 CD （含端点）三上运动，P是圆 Q上及内部的动点，设向量APm ABnAF（ m、 nR），则 mn的最大值为答案： 5解析：如上图所示， AP5AF）。（AB2评注：本题结合动态图像考查了向

16、量的分解， 要求能够理解题意， 本题也可建系分析5、与其他知识点的综合运用：例 1（14 浦东）用 S集合 S中的元素的个数，设 A 、 B、C为集合，称（ A ，B，C）有序三元组。如果集合A、B、C满足 ABBCAC1，且 ABC，则称有序三元组（A 、 B、 C）为一最小相交，由集合1，2，3，4的子集构成的所有有序三元组中，最小相交的有序三元组的个数为答案： 96解析：设 A 、 B、 C为 1，2，3，4的三个子集 ，如下图所示，因为 ABC，所以 S不含任何元素，因为，所以，中个各有ABBCAC1M 1M 2M 3一个元素，将 1，2，3，4中 的元素排入，有 C 34 P33 P

17、43 种方法，由题意得，还剩下的一个元素，可排在 P、 Q、R，也可不排入，共有 1 P31 4 种方法，由分步原理得4P4396 。评注：本题要注意分步原理与分类原理的综合运用，抽象出解题模型， 从而使问题得到解决，当然也可以用列举法，1，2，3，4有15个非空子集 ，显然 A 、B、C 中为含有1个或者 4个元素的子集不符合题意， A 为含有 2个或者 3个元素的子集，列举即可求解。 对于新定义题型， 要善于将陌生问题化为熟悉模型， 注重基本原理的运用。例 2 （14 十三校联考） 集合 S（ x， y， z）| x、 y、 zN 且 xyz、 yzx、z x y恰有一个成立 ，若（ x， y， z） S且（ z， w ， x） S ，则下列选项正确的是（）A（.y，z，w） S，（x，y，w） S；B（.y，z，w） S，（ x，y， w） S ；C（. y， z，w） S，（ x， y， w ） S ； D. （ y， z， w ） S，（ x， y， w ） S答案：解析：根据题意，可将题目中的定义画成直方图，如下图所示，各个元素只要在顺时针方向，即满足题目要求，就可得到答案。评注：这是一个非典型的数形结合题型， 题目的定义很抽象， 但可以用图