(word完整版)高中数学圆锥曲线结论(最完美版本)

1、1 .点P处的切线PT平分PF1F2在点P处的外角.2 .PT平分PF1F2在点P处的外角,那么焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆,除去长轴的两个端点.3 .以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相离.4 .以焦点半径PFi为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.225 .假设Po(Xo,yo)在椭圆与yY1上,那么过P0ab的椭圆的切线方程是警缪1.ab226 .假设P0(Xo,yo)在椭圆占41外,那么过abP0作椭圆的两条切线切点为P1、P2,那么切点弦P1P2的直线方程是xoxyoy-221.ab227.椭圆41(a>b>0)的左右焦点ab分别为F1,F2,点P为椭

2、圆上任意一点F1PF2,那么椭圆的焦点角形的面积为Sfpfb2tan-.122228 .椭圆=yr1(a>b>0)的焦半径公ab式：IMFi|aex0,|MF2|ae%(F1(c,0),F2(c,0)M(x0,y.).9 .设过椭圆焦点F作直线与椭圆相交P、Q两点,A为椭圆长轴上一个顶点,连结AP和AQ分别交相应于焦点F的椭圆准线于M、N两点,那么MFXNF.10 .过椭圆一个焦点F的直线与椭圆交于两点P、Q,Ai、A2为椭圆长轴上的顶点,AiP和A2Q交于点M,A2P和AiQ交于点N,那么MFXNF.2211. AB是椭圆与当1的不平行于对称轴ab的弦,M(x°,y&#

3、176;)为AB的中点,那么b2kOMkAB_2,a即Kab整.aV.双曲线1 .点P处的切线PT平分PF1F2在点P处的内角.2 .PT平分PF1F2在点P处的内角,那么焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆,除去长轴的两个端点.3 .以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相交.4 .以焦点半径PF1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.(内切：P在右支；外切：P在左支)225 .假设Po(%,y.)在双曲线与31(a>ab0,b>0上,那么过B的双曲线的切为AB的中点,那么KOMKAB线方程是粤.当1.ab226.假设RX°,y.在双曲线与匕ab1(a>0

4、,b>0外,那么过Po作双曲线的两条切线切点为PP2,那么切点弦P1P2的直线方程是X0Xy0y1.即KABb2X.-20ay.212.右Pqx.,y.在双曲线2ab2X.-2)ay.1(a>0,b>0内,那么被Po所平分的中点弦的方程是22XqXy°yX0y227.双曲线:ab右焦点分别为线上任意一点1a>0,b>o的左F2,点P为双曲F1PF2,那么双曲线2.22aba213.假设P0(x0,y0)在双曲线ab2yb71(a>的焦点角形的面积为S22F1PF2b2cot.20,b>0内,那么过Po的弦中点的轨22迹方程是3线誓岑.a2b2

5、a2b28 .双曲线:I1a>0,b>o的焦ab半径公式：F1c,0,F2c,0当MX0,y°在右支上时,|MF1|ex0a,|MF2|ex0a.当MX0,y°在左支上时,|MF1|eX0a,|MF2|eX0a9 .设过双曲线焦点F作直线与双曲线椭圆与双曲线的对偶性质-椭1.相交P、Q两点,A为双曲线长轴上一个顶点,连结AP和AQ分别2.交相应于焦点F的双曲线准线于M、N两点,那么MFXNF.10.过双曲线一个焦点F的直线与双曲3.线交于两点P、Q,AA2为双曲线22椭圆三-yy1a>b>o的两个顶ab点为Aa,0,A2a,0,与y轴平行的直线交椭圆

6、于PrP2时A1P1与A2P222交点的轨迹方程是3多1.ab22过椭圆与与1a>0,b>0上任ab一点AX0,y.任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于B,C两点,那么直线BC有定向且kBc骆常数.ay.22假设P为椭圆331a>b>0上ab实轴上的顶点,A1P和A2Q交于点异于长轴端点的任一点,F1,F2是焦M,A2P和A1Q交于点N,那么MF点,PFEPF2F1±NF.tancot.211.AB是双曲线三a2纭1(a>0,b>0)b4.设椭圆得a241(a>b>0)的两个b2的不平行于对称轴的弦,MX.,y°焦点为Fi、F2

7、,P异于长轴端点为椭圆上任意一点,在PF1F2中,记F1PF2,PF1F2,FiF2P,那么有点F作直线交该椭圆右支于M,N两点,弦MN的垂直平分线交x轴于p,贝E|MN|210.椭圆与ae.22yb21(a>b>0)since.sinsina,A、B、是椭圆上的两点,线段AB的垂直平分线与x轴相交于点25.假设椭圆与a2y_b21(a>b>0)的左、右焦点分别为Fi、F2,左准线为L,2.2P(x°,0),那么a211.设P点是椭圆三aX02,2abaa>b>0)那么当0<e<点1时,可在椭圆上求一点P,使得PFi是P到对应准线距离d

8、与PF2的比例中项.226.P为椭圆二与1(a>b>0)上任ab上异于长轴端点的任一点,Fi、F2为其焦点记F1PF2,那么八2b21)1P削0、一点,Fi,F2为二焦点,A为椭圆内一定点,那么2)Spf1f2b2tan-.122212.设A、B是椭圆与a1(a>b2a|AF211PA|PFi|2a|AF1|,当且仅当A,F2,P三点共线时,等号成立>0)的长轴两端点,P是椭圆上的一点,PAB,PBA,BPA,c、e分别是椭圆的半焦距离心率,那么有227.椭圆区舁1与直线abAxByC0有公共点的充要条件是A2a2B2b2(Ax0By0C)2.228.椭圆一41(a&g

9、t;b>0),Oab为坐标原点,P、Q为椭圆上两动点,且OPOQ.(1)|PA|tantanSPAB2.2ab|cos|2a2bb213.椭圆9.1)2)3)22ccos1e2.(3)2.(2)2a2xacot2yb21(a>b>0)的右准线l与X轴相交于点E,过椭圆1111.|OP|2|OQ|2a2b2;|OP2+|OQ|2的最大值为22SOPQ的最小值是告红ab右焦点F的直线与椭圆相交于A、B224a2b2.2,ab2冬i(a>b>0)的右焦b两点,点C在右准线l上,且BCx轴,那么直线AC经过线段EF的中点.2£1(a>0,b14 .过椭圆焦

10、半径的端点作椭圆的切线,与以长轴为直径的圆相交,那么相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直.15 .过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点,那么该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直.16 .椭圆焦三角形中,内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e(离心率).(注：在椭圆焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点.)17 .椭圆焦三角形中,内心将内点与非焦顶点连线段分成定比e.18 .椭圆焦三角形中,半焦距必为内、外点到椭圆中央的比例中项.椭圆与双曲线的对偶性质一双曲线221 .双曲线二41(a>0,b>0)ab的两个顶点为A(a,0),A2(a

11、,0),与y轴平行的直线交双曲线于P1、P2时A1P1与A2P2交点的轨迹2 2方程是x241.ab222 .过双曲线与41(a>0,b>o)ab上任一点A(x0,y0)任意作两条倾斜角互补的直线交双曲线于B,C两点,那么直线BC有定向且kBc辂(常数).aV.23 .假设P为双曲线与a>0)右(或左)支上除顶点外的任一点,F1,F2是焦点,PF1F2,PF2F1,那么c-atancot(或ca22caxtancot7.ca22224.设双曲线与与1(a>0,b>0)ab的两个焦点为FF2,P(异于长轴端点)为双曲线上任意一点,在PF1F2中,记F1PF2,PF1

12、F2,F2P,那么有since.(sinsin)a225 .假设双曲线-2-V2-1(a>0,b>0)ab的左、右焦点分别为FF2,左准线为L,那么当1<ewV21时,可在双曲线上求一点巳使得PF1是P到对应准线距离d与PF2的比例中项.226 .P为双曲线与41(a>0,b>ab0)上任一点,Fi,F2为二焦点,A为双曲线内一定点,那么2,SPF1F2bCOt二.22212.设A、B是双曲线与与ab1(aIAF2I2a|PA|PFi|,当且仅当>0,b>0)的长轴两端点,P是双曲线上的一点,PABa,F2,p三点共线且P和a,F2在yPBA,BPA,

13、C、e分别是轴同侧时,等号成立双曲线的半焦距离心率,那么有27.双曲线x2a与直线Ax2y21(a>0,b>0)bByC0有公共点的充要条件是A2a2B2b2C2.228.双曲线tI1(b>a>ab0),O为坐标原点,P、Q为双曲线上两动点,且OPOQ.1)2)3)2.2ab|cos|PA|2-N|accos|2tantan1e.SPAB2,22ab,2一2cotba213.双曲线占a2j1(a>0,b>(1)|OP|2|OQI2(2) |OP2+|OQ|2的最小值为2,2(3) Sopq的最小值是-2巴b2a224ab.22；ba229.过双曲线与匕1(a

14、>0,b>0)ab的右焦点F作直线交该双曲线的右支于M,N两点,弦MN的垂直平分线交x轴于P,那么|PF|e.|MN|22210.双曲线41(a>0,b>ab0),A、B是双曲线上的两点,线段AB的垂直平分线与x轴相2.2交于点P(x°,0),那么x.a或a2,2abx.a2211.设P点是双曲线与与1(a>a2b20,b>0)上异于实轴端点的任一点,F1、F2为其焦点记F1PF2,那么|PF1|PF2|产一.1cos0)的右准线l与x轴相交于点E,过双曲线右焦点F的直线与双曲线相交于A、B两点,点C在右准线l上,且BCx轴,那么直线AC经过线段E

15、F的中点.14.过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线,与以长轴为直径的圆相交,那么相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直.15 .过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线交相应准线于一点,那么该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直.16 .双曲线焦三角形中,外点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e(离心率).注：在双曲线焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点.17 .双曲线焦三角形中,其焦点所对的旁心将外点与非焦顶点连线段分成定比e.18 .双曲线焦三角形中,半焦距必为内、外点到双曲线中央的比例中项.圆锥曲线问题解题方法圆锥曲线中的知识综合性较强,因而解题时就需要运用多

16、种根底知识、采用多种数学手段来处理问题.熟记各种定义、根本公式、法那么固然重要,但要做到迅速、准确解题,还须掌握一些方法和技巧.一.紧扣定义,灵活解题灵活运用定义,方法往往直接又明了.例1.点A(3,2),F(2,0),双曲线2X2匕1,P为双曲线上一点.31求|PA|1|PF|的最小值.2解析：如下图,双曲线离心率为2,F为右焦点,由第1二定彳t知1|PF|即点P到准线距离.1 5|PA|PF|PA|PE|AM-2 2二.引入参数,简捷明快参数的引入,尤如化学中的催化剂,能简化和加快问题的解决.例2.求共焦点F、共准线l的椭圆短轴端点的轨迹方程.解：取如下图的坐标系,设点F到准线l的距离为p

17、(定值),椭圆中央坐标为M(t,0)(t为参数),叫.2.bpcpt再设椭圆短轴端点坐标为P(x,y),那么Xctyb.pt消去t,得轨迹方程y2px3 .数形结合,直观显示将“数与“形两者结合起来,充分发挥“数的严密性和“形的直观性,以数促形,用形助数,结合使用,能使复杂问题简单化,抽象问题形象化.熟练的使用它,常能巧妙地解决许多貌似困难和麻烦的问题.例3.x,yR,且满足方程x2y23(y0),又m-3,求m范围.解析：m-的几何意义为,曲线x3x2y23(y0)上的点与点(3,3)连线的斜率,如下图4 .应用平几,一目了然用代数研究几何问题是解析几何的本质特征,因此,很多“解几题中的一些

18、图形性质就和“平几知识相关联,要抓住关键,适时引用,问题就会迎刃而解.例4.圆(x3)2y24和直线ymx的交点为P、Q,那么|OP|OQ|的值为.解：OMPOQN|OP|OQ|OM|ON|5五.应用平面向量,简化解题向量的坐标形式与解析几何有机融为一体,因此,平面向量成为解决解析几何知识的有力工具.例5.椭圆：工y-1,直线l:2416y1281,P是l上一点,射线OP交椭圆于点R,点Q在OP上且满足|OQ|OP|OR|2,当点P在l上移动时,求点Q的轨迹方程.解：设所求圆的方程为：22_22_x2y26x4(x2y26y28)0(1)x2(1)y26x6y(284)0分析：考生见到此题根本

19、上用的都是解析几何法,给解题带来了很大的难度,而如果用向量共线的条件便可简便地解出.解：如图,OQ,OR,OP共线,设OROQ,OPOQ,OQ(x,y),贝U那么圆心为(_,_J_),在直线11xy40上解得7故所求的方程为x2y2x7y320OR(x,y),OP(x,y)2七.巧用点差,简捷易行在圆锥曲线中求线段中点轨迹方程,往往采用点差法,此法比其它方法更简捷一些.例7.过点A(2,1)的直线与双曲线2x21相交于两点P1、P2,求线段P1P2中点2的轨迹方程.解：设P,(x1,Yi),P2(x2,y2),那么2Xi2X22Yi22Y22|OQ|OP|OR|<2><1&g

20、t;得(X2Xi)(XiX2)12(Y2Yi)(Yi2Y2)222|OQ|22|OQ|22点R在椭圆上,P点在直线l上2222匕1,三1241612822即士L二y2416128化简整理得点Q的轨迹方程为：22_(x1)(y1)2-广1(直线yx上万55323局部)即Y2Yi2(XiX2)X2XiYiY2设P1P2的中点为M(Xo,y0),那么kP1P2Y2Yix2X12x0Yo又,而Pi、A、M、P2共线kP1P2kAM,即Xo2Yo的轨迹方程是2x2y24xy0P1P2中点M六.应用曲线系,事半功倍利用曲线系解题,往往简捷明快,收到事半功倍之效.所以灵活运用曲线系是解析几何中重要的解题方法

21、和技巧之一.例6.求经过两圆x2y26x40和22xy6y280的父点,且圆心在直线xy40上的圆的方程.解析几何题怎么解高考解析几何试题一般共有4题(2个选择题,1个填空题,1个解做题),共计30分左右,考查的知识点约为20个左右.其命题一般紧扣课本,突出重点,全面考查.选择题和填空题考查直线,圆,圆锥曲线,参数方程和极坐标系中的根底知识.解做题重点考查圆锥曲线中的重要知识点,通过知识的重组与链接,使知识形成网络,着重考查直线与圆车t曲线的位置关系,求解有时还要用到平几的基本知识,这点值得考生在复课时强化.例1点T是半圆O的直径AB上一点,AB=2、OT=t(0<t<1),以AB

22、为直腰作直角梯形AABB,使AA垂直且等于AT,使BB垂直且等于BT,AB交半圆于P、Q两点,建立如图所示的直角坐标系.写出直线AB的方程；(2)计算出点P、Q的坐标;(3)证实：由点P发出的光线,经AB反射后,反射光线通过点Q.饼斛：通过I卖图,看出A,B点的坐标.一''.'一,.(1)显然A1,1t,B1,1t,于是直线AB的方程为ytx1;222(3)kptkQT2t1t(it2昌(2)由方程组xy1,解出P(0,1)、Q(1/,)；ytx1,1t1t由直线PT的斜率和直线QT的斜率互为相反数知,由点P发出的光线经点T反射,反射光线通过点Q.需要注意的是,Q点的坐

23、标本质上是三角中的万能公式,有趣吗？22例2直线l与椭圆J1(ab0)有且仅有一个交点Q,且与x轴、y轴分别交于R、S,ab求以线段SR为对角线的矩形ORPS的一个顶点P的轨迹方程.讲解：从直线l所处的位置,设出直线l的方程,由,直线l不过椭圆的四个顶点,所以设直线l的方程为ykxm(k0).代入椭圆方程b2x2a2y2a2b2,得b2x2a2(k2x22kmxm2)a2b2.化简后,得关于x的一兀二次方程(a2k2b2)x22ka2mxa2m2a2b20.于是其判别式(2ka2m)24(a2k2b2)(a2m2a2b2)4a2b2(a2k2b2m2).由,得二0.即a2k2b2m2.在直线方

24、程ykxm中,分别令y=0,x=0,求得r(,0),S(0,m).kmI,yx,k令顶点P的坐标为(x,y),由,得k解得xym.my.2,2代入式并整理,得a2b21,即为所求顶点p的轨迹方程.x(2)考虑直线l的斜率的存在性,可分两种情况:y22.2方程土上1形似椭圆的标准方程,你能画出它的图形吗？22xy例3双曲线x241的离心率e.,过A(a,0),B(0,b)的直线到原点的距离是.a2b232(1)求双曲线的方程；(2)直线ykx5(k0)交双曲线于不同的点C,D且C,D都在以B为圆心的圆上,求k的值.讲解：:(1)£a2卡原点到直线AB:二1的距离dab.a21,ab2、

25、.3.abc、32故所求双曲线方程为x22Vy1.(2)把ykx5代入x23y23中消去y,整理得(1223k2)x230kx78设C(xi,yi),D(x2,y2),CD的中点是E(xo,yo),那么x.x1x2215kUy0kx05；:2,kBE13ky01x0x0ky0k0,即15k3k25k-k0,又k13k20,k故所求k=±a.为了求出k的值,需要通过消元,想法设法建构k的方程.例4椭圆C的中央在原点,焦点Fi、F2在x轴上,点P为椭圆上的一个动点,的最大值为90°,直线l过左焦点Fi与椭圆交于A、B两点,4ABF2的面积最大值为且/12.F1PF2(1)求椭圆

26、C的离心率;(2)求椭圆C的方程.讲解:(D设IPFiIi,|PF2|"FiF2|2c,对PFiF2,由余弦定理,得cosF1PF2122r1r24c2rj2(.L)22r1r24c22rj24a4c111r1r222(七壬解出ei)当k存在时,设l的方程为yk(xc)于是椭圆方程可转化为x22y22c20将代入,消去y得x22k2(xc)22c20,整理为x的一元二次方程,得._2、22_2.2、一(12k)x4ckx2c(k1)0.那么xi、x2是上述方程的两根.且|x2xi|2.2c1kAB边上的高h|fr|sinBF1F212c|k|,2,1k2kk2|x2xi|22c(1k

27、2)；2,12k厂也可这样求解:2c1cc/1k2、|k|cS-22c(2)|22c212k1k212产区|My2|2.2c2.rviki12k2k2k4k24k42'2"1142kk,2c2.c|k|xix2|ii)当k不存在时,把直线xc代入椭圆方程得y£c,|AB|由知S的最大值为V2c2由题意得2c2=12所以c262b2122故当ABF2面积最大时椭圆的方程为：上12.22V1.62卜面给出此题的另一解法,请读者比拟二者的优劣:设过左焦点的直线方程为：xmyc(这样设直线方程的好处是什么？还请读者进一步反思反思22椭圆的方程为：x1,A(x1,y1),B(

28、x2,y2)abx22y22c20(2由e字得：a22c2,b2c2,于是椭圆方程可化为:把代入并整理得：(m22)y22mcyc2于是yy2是上述方程的两根.|AB|(x1、2z、2x2)(y1v21m2|y2y1|1m24m22,2,2c4c(m2)2m2-222c(1m2)AB边上的高h一c1m2从而Sl|AB|h二22c(1m2)22m222c221m222c21m2c(m2)222c2m11122m212c2.当且仅当m=0取等号,即Smax收02.由题意知v2c212,于是b2c266,a212V2.1.故当ABF2面积最大时椭圆的方程为：上工12.26222例5直线yx1与椭圆之

29、与1ab0相交于A、B两点,且线段AB的中点在直ab线l:x2y0上.1求此椭圆的离心率；x1,y2行2_1b22假设椭圆的右焦点关于直线l的对称点的在圆x2y24上,求此椭圆的方程.y讲解：1设A、B两点的坐标分别为Ax1,yBM,y?.那么由x2-2a22、2222(ab)x2axaa根据韦达定理,得x1x2与,y2函abX2)2b2a2b2线段AB的中点坐标为2.2ab2-2,-22abab2由得二Ja2b22b-2a厂0,a22b22(a2c2)2c2,故椭圆的离心率为2由1知bc,从而椭圆的右焦点坐标为Fb,0,设Fb,0关于直线l:x2y0的对称点为(x°,y°

30、),那么也x0b2f0,解得X.3b且y°2b55由得4,32(b)522(-b)24,b24,故所求的椭圆方程为1.584.M:x2(y221,Q是x轴上的动点,QA,QB分别切.M于A,B两点,(DC,-4.2如果|AB|,求直线MQ的万程；2求动弦AB的3中点P的轨迹方程.、r4、2讲解：1由1ABi可,可得|MP|JMA|2(LA%2J12(迪)21,由射影定理,得2.33|MB|2|MP|MQ|,得|MQ|3,在RtAMOQ中,|OQ|<|MQ|2|MO|2、3222M5,故a盘或a<5,所以直线AB方程是2xJ5y2运0或2x岛2匹0;I_zI1z2y_2(2)连接MB,MQ,设P(x,y),Q(a,0),由点M,P,Q在一直线上,得一-一,(*)ax由射影定理得|MB|2|MP|MQ|,即&一(y2)2商41,(*)7c1把(*)及(*)洎去a,并注意到y2,可得x2(y-)2(y2).416适时应用平面几何知识,这是快速解答此题的要害所在,还请读者反思其中的微妙aDOLAB于.点,OA=OB,例-如图,在RtAB