一重二难三变谈三角求值1

1、一重二难三变谈三角求值浙江省绍兴县华甫中学(312039) 陈冬良三角局部在历年高考中每年约有34题，多数以选择题和填空题形式出现，考查有函数概念、性质、图象、三角变换，对于三角变换及应用主要是求值，主要考查公式的应用、 变换能力，一般要综合运用和角与差角、倍角等公式，尤其对公式应用考查为多，以下为笔 者在三角求值教学中的一些心得。.三角求值中的重点：公式(工具)的记忆公式是解题之本，学生对三角题的生疏主要是对三角公式的生疏，解决三角题必须以熟记公式为根底，所以公式的记忆是三角求值中的重点。在三角中须熟记的公式有：+ 1 1:cot =、sec =tancos(1)同角三角函数八个关系式：倒数

2、关系csc =sin商数关系:tansincotcoscos2.平万关系：sin sin2cos1 tan2sec2、1 cot2csc2(2)诱导公式：2k 前面加上一个把-，2 2, (k Z)的三角函数值等于的同名三角函数值,看成锐角时的原函数值符号。的三角函数值等于的余名三角函数值，前面加上一个把(3)成锐角时的原函数值符号。两角和与差的正弦、余弦、正切公式: cos( sin(tan(cos cossin sinsin coscos sintan tan1 tantan(4)二倍角公式：sin2 =2s incos(5)2cos2 = cos万能公式：.2sintan2 =1c2=2

3、 cos2 ta nta n2211 2si nsin2ta n 2costan2 2tan2ta n 21 tan26合一公式:asin +bcos = a2b2 sin(其中tan,所在象限由a,b符号确定a三角求值中的难点:范围讨论、函数名的选用(1)范围讨论：在求值过程中，往往需对角度范围的讨论来确定函数值的符号，学生对讨 论往往较难掌握又易被无视 .35例 1在 ABC 中，假设 si nA,cosB=,那么 cosC 为()5一5616 十 56C. 或65656535 /曰八,cosB= 得 cosA=51316A.-65B.13D.以上都不对4 12,si nB=5 13口16

4、卡56cosC= -cos(A+B)= -(cosAcosB-sinAsinB) 代入得 cosC= 或，那么答案 C6565错解：由题sin A1正解： sin A251cosB= <，贝U13 2自行解决以下一题：tan ,tan是方程x233x40的两根，且,(,),求+的值.2 2(2)函数名的选用：在三角函数值求复角中,不通过考虑角度范围来确定函数名.5都为锐角，且sin5245都为锐角，贝U cos= ,cos5学生对三角函数名的选用往往较随意,例2.错解：由所以sin()=sin cos +cos sin.10冲,那么 +=10 3、1010. ffJ>,5 3 10

5、2 5 . 10、 2+ =-5105102分析：无视了对角范围的讨论.33亠E'又A是三角形内角，得 30 <A<60 或120 <A<150 ，又5260 <B<90，所以 30 <A<60 ,那么 cosA= 4 ,5所以 cosC= -cos(A+B)= -(cosAcosB-sinAsinB)=16 只有一解.故答案选 A65评注：在一些三角求值中往往在题目的条件或在一些隐含的式子中限制着角的范围，随意的扩大会导致答案的增根，合理提取隐含条件来适当缩小范围是解题的关键，读者可为一或44分析：以上错因函数名选取不当，以上求解也可结

6、合缩小范围来解决<510 sin,cos >0 那么 0<<.同理 0<<,5266优解：由都为锐角，那么02：5cos=,cos55,又 sin,sin52 .5 3J0<510, 2得3、10所以 cos ( +)=10510510评注：由函数单调性可得函数值与角度一一对应，一般地：假设04，那么函数名选余弦；假设2,那么函数名选正弦三.三角求值中的三个变换(角度变换、公式变换、“1的变换)(1)角度的变换：角度的变换是三角求值中很灵活的一个技巧，也可谓是精髓局部，能敏锐 的捕捉到角度间的关系，通过角度间的变换对求值起到事半功倍的效果例3.(97全

7、国理)求sin 7cos 7cos15 sin 8sin 15 sin8分析：题中有3个角：7、8和15，其中7、8是非特殊角，为到达求值的目的可写成: 7 =15 -8，起到一个减元的效果，从而实现角的转换求解sin(15 8 ) cos15 sin8sin15 cos8解：原式=tan 15cos(15 8 ) sin 15 sin8cos15 cos8tan 45 tan 30厂=tan(45 -30 )=2、31 tan 45 tan 301J 3例 4函数 f(x)= sin(x-20 )-cos(x+40 )的最大值等于21-.31.3解：f(x)=sin(x-20 )-cos(x

8、+40 )=sin(x-20 )-cos(x-20 )+60 2 213=sin(x-20 )-cos(x-20 )cos60 +sin(x-20 )sin60)-丄 cos(x-20 )=sin (x-65 ),所以 f(x)最大值为 2 2 21=sin (x-202 2 2 2.角的变评注：以上两例经过适当的角度变换，又合理的选用了常用公式使得试题迎刃而解换如：二倍角公式中，不仅限于2是 的两倍，还有4 是2的两倍，一是一的两倍,24是的两倍；又例如：2 =() ()、2 =()()、22+= ()2()、=-一+ 等44(2)公式的变形：公式适当变形来考查公式对学生而言有一定难度，学生

9、很难灵活变形公式，学习文档仅供参考假设熟练掌握一些常见公式变形，对解题起到快、准的效果例 5. tan20 +tan40 + 寸3 tan20 tan40 的值是 解：原式=tan(20 +40 )(1- tan20 tan40 )+、3 tan20 tan40=.3 - ,3 tan20 tan40 + , 3tan20 tan40 =、. 3例6.)，化简，1 2V11cos22 2 2解：由二倍角余弦变形得1 cos 22cos1 cos2| cos1cos2V21cos|cos |=cos1 cos22cos 一2(,2 ),那么2(，)得4.2|cosiI= -cos2,所以评注：常用公式变形有：1 ccos2 = -COS .2 221 cos 221 cos 22cossin,1 sin=(sin cos )2222cossin 2丄,tantanta n()(1ta ntan),2 si n(3)数值“1的变换：1= tan 45o、1=s in2 2x+cos x等,“ 1 的逆代在三角中应用较为广泛,巧妙运用将会起到事半功倍的效果，熟练掌握“1的变换将会使你受益匪浅。1 tan 15例7利用和角公式计算的值。1 tan15“1 tan15ta n45tan15厂解：tan45 o=1,=tan