数值分析典型例题

1、第一章典型例题例 3，精确到 10 3 的近似值是多少？解 精确到 1030.001 ，即绝对误差限是 0.0005, 故至少要保留小数点后三位才可以。 ln2 0.693第二章典型例题例 1 用顺序消去法解线性方程组解 顺序消元于是有同解方程组回代得解x=1, x =1, x=1, 原线性方程组的解为 X(1,1, 1)T321例 2取初始向量 X(0) =(0,0,0)T, 用雅可比迭代法求解线性方程组解 建立迭代格式x( k 1)2x (k)2x( k)1123x2(k 1)x1(k )x3(k )3( k=1,2,3, )x( k 1)2x (k)2 x( k)5312第 1 次迭代

2、, k=0X(0) 0，得到 X(1) (1,3,5)T第 2 次迭代， k=1X(2) (5, 3, 3) T第 3 次迭代， k=2X(3) (1,1,1)T第 4 次迭代， k=3X(4) (1,1,1)T例 4 证明例 2 的线性方程组，雅可比迭代法收敛，而高斯赛德尔迭代法发散。证明 例 2 中线性方程组的系数矩阵为122A 111221100000022于是D 010 1001DDL 1 0U 0001220000雅可比迭代矩阵为B01 100022022D01010110 1(LU)001220220得到矩阵 B0 的特征根1,2, 30 ，根据迭代基本定理4，雅可比迭代法收敛。高

3、斯赛德尔迭代矩阵为G (D1L )U1001221000220220 110001110001023221000021000002解得特征根为1=0，2,3 =2。由迭代基本定理4 知，高斯赛德尔迭代发散。例 5 填空选择题：1. 用高斯列主元消去法解线性方程组作第 1 次消元后的第2，3 个方程分别为。答案：x20.5x31.52x21.5x33.5解答 选 a =2 为主元，作行互换，第1 个方程变为： 2x +2x+3x =3，消元21123得到是应填写的内容。3. 用高斯赛德尔迭代法解线性方程组的迭代格式中 x2(k 1)(k=0,1,2, )答案： 3 x1(k 1)x3(k )解答

4、：高斯赛德尔迭代法就是充分利用已经得到的结果，求x2 的值时应该用上 x1 的新值。第三章典型例题例 1 已知函数 y=f ( x) 的观察数据为xk2045yk5131试构造拉格朗日插值多项式Pn ( x) ，并计算 f ( 1) 的近似值。 只给 4 对数据，求得的多项式不超过3 次解 先构造基函数所求三次多项式为P3( x)=nyk lk ( x)k0x(x)( x) (x)( x)( x ) ( )x( x)( x) ( x) x(x)xxxf ( 1) P3( 1) 例 3 设 x , x , x ,., xn 是 n+1 个互异的插值节点，l k ( x)( k, , ,., n)

5、 是拉格朗日插值基函数，证明：(1)n(2)nl k (x)l k ( x)xkmx m (m, , ,., n)kk证明 (1) Pn( x)= yl( x)+ ynyk lk ( x)l ( x)+ +ynl n( x)=0011k0当 f ( x) 1 时，1 Pn (x) Rn (x)kf(n )( )(x)l k (x)nk( n)!n由于 f(n ) ( x)，故有 l k (x)k(2)对于 f ( x)= xm, m=0,1,2, n，对固定 xm(0m n), 作拉格朗日插值多项式，有当 n>m1 时， f ( n+1) ( x)=0，Rn( x)=0 ，所以注意：对于

6、次数不超过n 的多项式 Qn ( x)an xnanx n.a xa ,利用上结果，有=nnnnanl k (x)xknanl k (x)xkn.al k ( x) xk al k ( x)kkkk=nnlk ( x) an xknan 1xkn 1. axka0 Qn ( xk )l k ( x)k 0k0n)l k ( x) 正是 n( x) 的拉格朗日插值多项式。可见，Qn( x) 的拉格朗日上式Qn ( xkQk0插值多项式就是它自身，即次数不超过n 的多项式在 n+1 个互异节点处的拉格朗日插值多项式就是它自身。例 5 已知数据如表的第 2，3 列，试用直线拟合这组数据。解 计算列入

7、表中。 n=5。a0, a1 满足的法方程组是kxkykxkyk11414224.5493369184481632558.52542.5153155105.5解得 a =2.45,a =1.25 。所求拟合直线方程为y=2.45+1.25 x01例 6 选择填空题1. 设 y=f ( x), 只要 x0 , x1, x2 是互不相同的 3 个值，那么满足P( xk)= yk( k=0,1,2) 的 f ( x) 的插值多项式 P( x) 是(就唯一性回答问题 )答案：唯一的3.拉格朗日插值多项式的余项是 (), 牛顿插值多项式的余项是 ( )(A)f ( n ) ()(x)Rn (x) f (

8、 x) Pn (x)n(n )!(B) f ( x, x0, x1, x2, ,xn)( xx1)( xx2) (xxn1)( xxn)(C)f ( n) ( )Rn ( x) f ( x) Pn ( x)!(n(D) f ( x, x0, x1, x2, ,xn)( xx0)( xx1 )( xx2) (xxn 1)( xxn)答案：(A) ，(D) 。见教材有关公式。第四章典型例题例 1 试确定求积公式f ( x)dxf ()f () 的代数精度。 依定义，对 xk( k=0,1,2,3, ) ，找公式精确成立的 k 数值 解 当 f ( x) 取 1, x, x2, 时，计算求积公式何时

9、精确成立。(1)取 f ( x)=1, 有左边f (x) dxdx,右边 f ()f ()(2)取 f ( x)= x, 有左边f (x)dxdx,右边 f ()f ()(3)取 f ( x)= x2, 有左边 =f ( x)dxx dx,右边 = f ()f ()()()(4)取 f ( x)= x3, 有左边 =f ( x)dxx dx,右边 = f ()f ()()()(5)取 f ( x)= x4, 有左边 =f ( x)dxx dx,右边 = f ()f ()()()当 k3 求积公式精确成立，而x4 公式不成立，可见该求积公式具有3 次代数。例 5hh f (0) f ( h) a

10、h2 f (0) f ( h) 中的参数 a，并试确定求积公式f ( x)dx02证明该求积公式具有三次代数精度。解公式中只有一个待定参数a。当 f ( x)=1, x 时，有hh 1 1 0 , 即 h=h1dx0 2hh 0ah2 (11) ,h2h2hx1dx0222不能确定 a，再令 f ( x)= x2,代入求积公式，得到h2 dxh 0h 2 ah2 (2 0, 即 h3h32ah32h)x0232h2得 a1 .求积公式为h f (0)f (h)h f (0) f (h)f ( x)dx120212将 f ( x)= x3 代入上求积公式，有可见，该求积公式至少具有三次代数精度。

11、再将f ( x)= x4 代入上公式中，有所以该求积公式具有三次代数精度。例 6 选择填空题1. 牛顿科茨求积公式与高斯型求积公式的关键不同点是。解答：牛顿科茨求积公式的节点和求积系数确定后，再估计其精度；高斯型求积公式是由精度确定其节点和求积系数。第五章典型例题例 1 证明方程 1xsin x0 在区间 0,1 内有一个根，使用二分法求误差不超过 0.5 ×10 4 的根要迭代多少次？证明 令 f ( x) 1xsin x f (0)=1>0 ，f (1)= sin1<0 f ( x)=1xsin x=0 在0 ，1 有根。又f ( x)=1 cosx>0(x 0

12、 ，1), 故 f ( x) 0 在区间 0 ，1 内有唯一实根。给定误差限0.5 ×104，有只要取 n14。例 2 用迭代法求方程 x54x20 的最小正根。计算过程保留4 位小数。分析容易判断 1 ，2 是方程的有根区间。若建立迭代格式xx,即( x)x,(x)x( x( ,) ，此时迭代发散。建立迭代格式 x5 4 x2, ( x)5 4x2 , ( x)44 (1 x 2)，此时迭代55(4x2) 45收敛。解 建立迭代格式( x)44 (1 x 2), 取初始值 x01( 可任取 1，2 之间的值 )5(4 x2)455xx1.431 0xx.1.516 5xx.1.51

13、85取 x1.5185xx.xx.1.505 11.518 2例 3 试建立计算a 的牛顿迭代格式，并求.的近似值，要求迭代误差不超过 105 分析 首先建立迭代格式。确定取几位小数, 求到两个近似解之差的绝对值不超过 105。解令 xa , f ( x)xa，求 x 的值。牛顿迭代格式为迭代误差不超过10 5，计算结果应保留小数点后6 位。当3=343或512，f ( ) f ( ),而 f ( ) f ( )0有x=7 或 8 时， x, 取 x =8,xa.7.478 078xxxa.7.439 956x.xxa.7.439760x.xxa.7.439760x.x于是，取 x7.439760例 4 用弦截法求方程 x3x210，在 x=1.5 附近的根。计算中保留 5 位小数点。 分析 先确定有根区间。再代公式。解 f ( x)= x 3x21，f (1)= 1，f (2)=3 ，有根区间取 1,21迭代公式为取 x =1,xnf (xn ) ( n=1,2, )xn(xn xnf ( xn )f ( xn )x.( .) 1.37662.x.( .).x.( .).x.( .).取 x1.46553，f (1.46553)0.0001451.488811.46