用不动点法求数列通项

1、用不动点法求数列的通项定义：方程f(x) x的根称为函数f(x)的不动点利用递推数列f (x)的不动点，可将某些递推关系anf (an 1)所确定的数列化为等比数列或较易求通项的数列，这种方法称为不动点法1：若f(x) ax b(a 0,a1), p是f(x)的不动点，an满足递推关系anf (an 1), (n 1)，则 anpa(an 1 p)，即an p是公比为a的等比数列.证明:因为p是f(x)的不动点ap 由 ana an 1 b 得 an p aan 1 b p a(an 1 p)所以anp是公比为a的等比数列.定理2:设 f(x) axbcx 詐 0，ad bc 0)，an满足递

2、推关系an f (an1), n 1，初值条件aif(ai )(i)：若af (x)有两个相异的不动点p, q，则anan 1an 1p(这里qa pc)a qc(2)：若f (x)只有唯一不动点 p，则(这里k2c证明:f(x) x得f(x) cx4(1)因为p,q是不动点，所以2cp2cqan(d(d所以2 cx(da)xananaan 1 b can 1 d b daan icanpc a qc则並an(2)(apc)ana)p ba)q bb pd(a qc)an 1 b qdkan 1pan 1qanpca qcan因为p是方程cx2 (da)x b 0的唯一解，所以cp2pd b

3、a pc qd b a qcpd1a pc qd b1a qc(d a)p所以pc a. 1 p a qc a. 1 q所以b2pd cpap ,p 电丄所以2canaan 1 b can 1 d(a cp)an 1 b pdC3n 1(a cp)an 1 cp2 apcan 1 d(a cp)(an 1 p)dC3n 1所以ana cpcan 1an 1上乞，则a d an pan设an满足a11,an 1例2:数列an满足下列关系:定理23:设函数f(x) 仝a cpexc(an 1 P)an 1 Pd cpcpan 2,nana1 2a, anbx c (a，求数列22a ana cpa

4、 cpan 1 P2can 1 P a dan的通项公式,a 0，求数列an的通项公式0,e0)有两个不同的不动点x1,x2 ,且由b 0,e证明：xk是f (x)的两个不动点axkbXkXk-£-即cXkf(e a)Xk2bXk (k1,2)exk fUn 1x-!aUn2 bUn cX(eUnf)aUn2 (bex) Uc x faUn2 (bex)Un(ea)x12bx.(Un 1X2 aUn2 bUn c%2仙f)aUn2 (bexDUc x? faUn2 (bexUn(ea)x22bx2f (Un)确定着数列Un,那么当且仅当Un 1Un 1 x-j2a时，亠 1Un 1

5、X2严为JUnX2于是,1 %0方程组有唯一解b 0,e 2a1 X2a 2 2 *例3：已知数列an中,a1 2,an 1 n ,n N，求数列an的通项2an，还可以解决如下问题：其实不动点法除了解决上面所考虑的求数列通项的几种情形例4：已知a10, a11且an 142,an6a n 1- 才，求数列an的通项4an (an1)解：作函数为f(x)x4 6x24x(x21)1，解方程f (X) X得f (X)的不动点为Xi1, X21,X3AX。込取p331,q1 ,作如下代换:逐次迭代后，得:an4n 14n 1 1)4(a1 1)444n 1(a1 1)(a1 1)已知曲线 Cn :

6、x2 2nx y20(n1,2,K ).从点P( 1,0)向曲线Cn引斜率为 厶(心 0)的切线In，切点为 巳(Xn°n) (1)求数列Xn与丫.的通项公式;(2)证明:Xi X3 X5X2n 11Xn1 Xn2s in'Yn设P,q为实数,是方程X2 pxq 0的两个实根，数列 Xn满足X12X2p q,XnpXnqXn 2 ( n 3,4,).(1)证明:q ； (2)求1若p 1, q，求xn的前n项和Sn .4已知函数f(x) X2 X 1 , 是方程f (x)0的两个根(严召n 1,2,L ).f (an)数列Xn的通项公式；(3)导数，设 a11, an 1an(1)(2)求，的值；证明：对任意的正整数n，都有an),f (X)是 f (x)的(3)记 bnIn an(nan1,2,L )，求数列bn的前n项和Sn13陕西文 21 .(题满分12分)已知数列an满足，an an 1a1=1>a22，% 尸 a，n令bn an 1 an ,证明:bn是等比数列;(n)求an的通项公式。山东文20.(本小题满分12 分)等比数列 an