第3章控制系统的时域分析答案

1、第 3 章习题及解答31已知某装置的电路如题图所示。输入信号为阶跃信号ui (t) = 1(t) 时，试计算输出响应uo (t)，画出uo (t)的草图，并计算响应时间ts 。题解：计算该电路的传递函数，由复数阻抗法计算得到5K 5Ku (t)ui(t)o1m习题 31G(s) = Uo (s) = 0.005s +1 = 1 × s + 200Ui (s)0.01s +12 s +100输出响应的拉氏变换为= 1 × s + 200 × 1 = 1 - 1 ×1U (s) = G(s)U (s)oiU ( s)=12 s + 100 ss2 s + 1

2、00is输出响应为u (t) = L-11 - 1 ×1 = 1(t) - 1 e-100t2os2 s + 100响应曲线。计算响应时间：由于系统的初值为 0.5，由公式ts = 3T ,± 5%计算响应时间是不对的。由定义有u (t ) = 1(t) - 1 e-100t= 0.98, ± 2%t =tso s2u (t ) = 1(t) - 1 e-100t= 0.95, ± 5%t =tso s2解出t = ln 25 = 0.032,± 2%s100t = ln10 = 0.023,± 5%s100程序num=0.005 1

3、;den=0.01 1;step(num,den); y,x,t=step(nun,den); ti1=spline(y,t,0.98)1t i0.0322解毕。ti2=spline(y,t,0.95)=t=20.0230i2132已知某检测元件响应特性为G(s) =为了将响应时间减小至原来的 0.1 倍， 图所示，100.2s + 1原增益不变，采用负反馈方法来实现如题C(s)R(s)Kh+ -Kf习题 32试计算图中各增益的值Kf 、Kh 。题解：结构图传递函数为C(s) =KhG(s)10Kh1=0.2R(s)1+ K f G(s)1+10K fs +11+10K f令增益不变，响应加快

4、 10 倍，有10Kh110=1 + 10K f0.20.02s + 1s + 11 + 10K f得到方程ìïí10Kh= 101 + 10K f0.2ï= 0.02ïî1 + 10K f解出K f = 0.9, Kh = 10程序t=0:0.001:1; num1=10; den1=0.2 1; num2=10; den2=0.02 1;y1,x1=step(num1,den1,t);y2,x2=step(num2,den2,t);subplot(2,1,1);plot(t,y1);subplot(2,1,2);plot(t,y2

5、);曲线解毕。，22G(s)3 3已知速度反馈系统如题图所示，为了保证系统阶跃响应的超调量M p < 20% ，过渡时间ts £ 0.3秒，试确定前向增益K1的值和速度反馈系数K2 的值。C(s)R(s)+ -11sK1s + 5+ -K2习题 33题解：闭环传递函数为K1G(s) =由 M p < 20% ，ts £ 0.3解出s2 + (5 + K K )s + K1 21z = 0.5, wn = 20由于s2 + 2zw s + w 2nn= s2 + 20s + 400z =0 5wn =20则有s2 + (5 + K K )s + K = s2 +

6、20s + 4001 21K1 = 400, K2 = 0.0375SIMULINK结构图比较系数，解出程序1.5num=400; den=1 20 400;step(num,den); y,x,t=step(num,den);阶跃响应)y(ans =xam计算峰值1.1630曲线。解毕。2334已知系统的闭环特征方程如下，试用代数稳定性判据判别系统的稳定性。（a） s3 + 20s2 + 9s + 200 = 0（b）(s + 2)(s + 4)(s2 + 6s + 25) + 666.25 = 0（c） s5 + 6s4 + 3s3 + 2s2 + s + 1 = 0（d） s4 + 8s

7、3 + 18s2 + 16s + 5 = 0题解：（a） s3 + 20s2 + 9s + 200 = 0作表s3 s2 s1 一列系数不，系统不稳定。变号两次，有两个不稳定根。（b）(s + 2)(s + 4)(s2 + 6s + 25) + 666.25 = 0写出多项式为s4 +12s3 + 69s2 +198s + 866.25 = 0作表s4 s3 s2 s1 s011252.50866.2569198866.25866.25第一列系数有 0 出现，系统为临界稳定。（c） s5 + 6s4 + 3s3 + 2s2 + s + 1 = 0作表s5 s4 s

8、3 s2 s1 s0162.670.13-19.71320.83111第一列系数不，系统不稳定。变号两次，有两个不稳定根。（d） s4 + 8s3 + 18s2 + 16s + 5 = 0作表s4 s3 s2 s1 s0181613.55181655第一列系数全部大于零，系统稳定。24语言求解语言中是直接求根来进行判别的。在（a） s3 + 20s2 + 9s + 200 = 0den=1 20 9 200;roots(den) ans =-20.04870.0243 + 3.1583i0.0243 - 3.1583i有一对共轭复数根位于 s 的右半平面，系统不稳420-2-4定。特征根的位置

9、。-30-20-10010（b）(s + 2)(s + 4)(s2 + 6s + 25) + 666.25 = 0d1=1 2;d2=1 4;d3=1 6 25;d=conv(d1,conv(d2,d3);d(5)=d(5)+666.25;roots(d) ans =-6.0000 + 4.0620i-6.0000 - 4.0620i0.0000 + 4.0620i0.0000 - 4.0620i有一对共轭复数根位于 s 平面的虚轴上，系统临50-5-10-50界稳定。特征根的位置。（c） s5 + 6s4 + 3s3 + 2s2 + s + 1 = 0den=1 6 3 2 1 1;root

10、s(den) ans =-5.5171-0.5007 + 0.4636i-0.5007 - 0.4636i0.2593 + 0.5675i0.2593 - 0.5675I有一对共轭复数根位于 s 的右半平面，系统不稳10.50-0.5-1-10-50定。特征根的位置。（d） s4 + 8s3 + 18s2 + 16s + 5 = 0den=1 8 18 16 5 ;roots(den) ans =-5.0000-1.0000-1.0000 + 0.0000i(-1.0000+.71920e-5*i)-1.0000 - 0.0000i(-1.0000-.71920e-5*i)系统的特征根全部位于

11、 s 平面的左半平面，系统是稳定的。特征根的位置解毕。25反馈系统在输入信号为r(t ) = 1(t ) 时，其输出信号c(t ) 的35实验测得响应曲线如题图所示，试确的开环传递函数。c(t)1.31.0t00.1习题 35题解：由图所示，超调量 Mp = 30% ，- z p峰值时间t p = 0.1 秒，由性能指标计算公式=p1-z 2Mp = e´100% ， tpw1- z 2n解出ì z= 0.358= 33.65íwîn得到系统的开环传递函数为w21132.3G(s) =n=s(s + 2zwn )s(s + 24.1)解毕。36题图所示机

12、械系统，当受到 F = 40 N 力的作用时，位移量x(t ) 的阶跃响应，试确定机械系统的参数m， k ， f 的值。kFix(t)1.2541.0mfxt0习题 364题解：图示机械系统的传递函数为1G(s) =由图所示稳态值c(¥) = 1 ，由终值定理ms2 + fs + k140 = 40 = 1c(¥) = lim sC(s) = lim sG(s)R(s) = lim sms2 + fs + k sks®0s®0s ®0得到k = 40 N / m26z-p2pp1-z由超调量： M = e= 25.4% ，峰值时间： t = =

13、 4 s，ppww1- z 2dn解出z = 0.4ìíw= 0.857î n所以fks2 +s += s2 + 2zw s + w= s2 + 0.686s + 0.7342nnmm解出ì m = 54.5kg N/mN.s/mïk = 40= 37.38íï fî解毕。37试判别题图所示系统的稳定性。R(s)+-C(s)R(s)+ -C(s)1010s(s + 2)1+10s（a）（b）习题 37题解：（a）闭环传递函数为10G (s) =cs2 +102s +10闭环特征方程为s2 + 102s +10 =

14、0），所以系统是稳定的。多项式系数全部大于零（b）闭环传递函数为10(s +1)G (s) =cs3 + 21s2 +10s +10闭环特征方程为s3 + 21s2 +10s +10 = 0作表s3 s2 s1 s01219.524101010第一列系数全部大于零，系统是稳定的。解毕。27+ -s(s +1)2ss + 1s38试确定题图所示系统参数K 和z 的稳定域。C(s)R(s)+ -Ks(0.01s2 + 0.2zs + 1)习题 38题解：闭环传递函数为K0.01s3 + 0.2zs2 + s + KG (s) =c闭环特征方程为0.01s3 + 0.2zs2 + s + K = 0

15、由判据，作s3 s2 s1 s0表0.010.2z0.2z-0.01K K1K令第一列系数全部大于零，解出z > 0ìí0 < K < 20zî程序取z0.5，则 K<10，系统是稳定的。取 K=10， den=0.01 0.1 1 10;roots(den) ans =-10.00000.0000 +10.0000i0.0000 -10.0000i40K302010zK=10解毕。0的两个闭环极点为临界稳定值。01239反馈系统如题图所示，如果要求闭环系统的特征根全部位于 s 平面上虚轴的左面，试确定参数K 的取值范围。R(s)+ -KC

16、(s)s(0.1s + 1)(0.2s + 1)习题 39题解：闭环传递函数为KG (s) =c0.02s3 + 0.3s2 + s + K闭环特征方程为0.02s3 + 0.3s2 + s + K = 028由判据，作s3 s2 s1 s0表0.020.30.3-0.02K K1K令第一列系数全部大于零，解出0 < K < 15程序den=0.02 0.3 1 15;pzmap(1,den); roots(den)ans =-15.00000.0000 + 7.0711i0.0000 - 7.0711i10取 K=15闭环极点位置50-5-10当 K=15解毕。的两个闭环极点为临

17、界稳定值。-20-10010310已知系统的闭环特征方程为(s + 1)(s + 1.5)(s + 2) + K = 0试由代数稳定性判据确定使得系统闭环特征根的实部均小于-1的最大K 值。题解：令 s=s+1，则 s=s-1 代入方程(s'-1) +1(s'-1) +1.5)(s'-1) + 2 + K = 0整理s'3 +1.5s'2 +0.5s'+K = 0由判据，作s3s2s1s0表11.50.75-K K0.5K令第一列系数全部大于零，解出0<K<0.75程序den=1 4.5 6.5 3.75;roots(den) ans

18、 =-2.5000-1.0000 + 0.7071i-1.0000 - 0.7071i10.5当 K=0.75所示。当 0<K<0.75满足题目要求。解毕。的两个闭环根的实部为-1 如图的所有闭环根的实部小于-1，29s平面参数K 、a311题图所示系统，如果要求系统作等幅振荡，确荡频率w。的值和振R(s)+ -K(s + 1)C(s)s3 + as2 + 2s + 1习题 311题解：闭环传递函数为K (s +1)s3 + a s2 + (2 + K )s + (1+ K )G (s) =c闭环特征方程为s3 + a s2 + (2 + K )s + (1+ K ) = 0102

19、+K1+K由判据，作s3 s2s1表1aa (2 + K ) - (1 + K )a5s0令a>0，1+K>0 以及0 < a < 1K>-11+Ka(2+K)-(1+K)=0，解出000.51K = 2a -11- a满足上述条件的时间响应为等幅振荡型。其关系曲线。代入特征方程解出振荡频率为w =程序令a=0.8 时，有 K=3，w=2.236 num=3 3;den=1 0.799 5 4;210impulse(num,den); roots(den)ans =0.0000 + 2.2361i0.0000 - 2.2361i-0.8000脉冲响应曲线; 求特征

20、值;等幅振荡频率w=2.236;曲线。系统另外有一个单根分量，在 t>5 秒之后，该分量衰减至零，系统为等幅振荡运动。解毕。3011-aK=(2*a-1)/(1-a)312题图所示系统，开环传递函数中的因子(s - 1) 作严格对消与不严格对消时， 判别系统的稳定性。R(s)+ -s - 1C(s)Ks + 1s(s -1)习题 312题解：严格对消时，闭环传递函数为KG (s) =cs2 + s + K闭环特征方程为s2 + s + K = 0总是稳定的。当增益 K 大于零不严格对消时，设抵消后的余因子为e(s - 1) ，（1）如果余因子在上，则开环传递函数为(s) = Ke (s

21、-1)Gos(s +1)闭环传递函数为Ke (s - 1)s 2 + (1 + Ke )s - KeG (s) =c闭环特征方程为s2 + (1+ Ke )s - Ke = 0由于二次三项式的系数有负值，系统是不稳定的。（2）如果余因子在分母上，则开环传递函数为Ks(s +1)e (s -1)G (s) =o闭环传递函数为Ke s3 - e s + KG (s) =c闭环特征方程为e s3 - e s + K = 0多项式缺项（2 次项系数为零），系统是不稳定的。因此，只要是全抵消，系统就是不稳定的。所以，对象如果在 s 的右半平面有极点时，简单采用抵消法是不解毕。的。313已知某系统如题图所

22、示，内环为正反馈，反馈系数为Ks ，Ks > 0，是不稳定的，在反馈的基础上增加前向通路比例微分可以稳定，试确定（1） 系统稳定时，PD器参数Kc , Tc 的取值条件；（2） 当正反馈系数Ks = 0.8时，要求系统阶跃响应的超调量 Mp = 16.3% 和过渡时间ts = 0.8秒，试确定 PD器参数 Kc , Tc 的取值。31R(s)1C(s)s 2+-+Ks习题 313题解：（1）闭环传递函数为Kc (Tcs +1)G (s) =cs2 + K T s + (K - K )c ccs闭环特征方程为s2 + K T s + (K - K ) = 0c ccs如果系统稳定，应有&g

23、t; 0ìKcTcí K> Kî（2） Ks = 0.8时，闭环传递函数为csKc (Tcs +1)G (s) =cs2 + K T s + (K - 0.8)c cc由 Mp = 16.3% 和ts = 0.8秒，计算出ìz= 0.5íw= 10î n由于s2 + 2zw s + w 2 = s2 +10s +100 = 0nn解出= 100.8比较系数KcTc = 10ììKcíKíT- 0.8 = 100= 0.099î cî c系统的闭环传递函数为10s +10

24、0.8G (s) =cs2 +10s +100程序num=10 100.8;den=1 10 100;step(num,den);结果。由于闭环零点的影响，实际的阶跃响应的超调量稍大。作为比较，作没有闭环零点的阶跃响应曲线如图。解毕。32Kc(Tcs+1)314 温度计的特性可以用一惯性环节1 Ts + 1来描述。将某种温度计置于一恒温水槽内，约在一分钟时，温度计的指示值达实际值的 98%。如果将水槽以10oC / min的速度升温，试计算该温度计的稳态指示误差。题解：由于在一分钟时，温度计的指示值达实际值的 98%，所以ts = 4T = 60 s则有T = 60 / 4 = 15 s温度计

25、特性为11G(s) =T =15Ts +115s +1水槽以10oC / min的速度升温时，相当于加斜坡信号输入，即r(t) = 10oC / min× t = 10 (oC / s) × t60误差为sE(s) = R(s) - C(s) = R(s)1- G(s) =s +s所以稳态误差为e = lim s × E(s) = lim s ×10115s = 2.5oCss60 s2 15s +1s®0s®0解毕。315设反馈系统的开环传递函数如下，分别计算系统的静态位置误差系数Kp ，静态位置误差系数Kv ，静态位置误差系数Ka

26、 ，并分别计算当输入为r(t ) = 2 ×1(t )、r(t ) = 2t 、r(t ) = 2t 2 时的稳态误差。（a）G(s) = (5s + 1)(6s + 1)50K（b）G(s) =s(0.5s + 1( )4s + 1)K（c）G(s) = s(s2 + 4s + 5)(s 0+)4K(2s + 1)(4s + 1)（d）G(s) =题解：s2 (s2 + 2s + 10)50（a）G(s) = (5s + 1)(6s + 1)K p = lim G(s) = 50s-0Kv = lim sG(s) = 0s-0K = lim s2G(s) = 0as-0331251

27、r(t) = 2 ×1(t) 时，e =× 2 =ss1+ Kp1r(t ) = 2t 时，e = ¥ssKv1r(t ) = 2t 2时，e = ¥ssKaK（b）G(s) =s(0.5s + 1)(4s + 1)K p = lim G(s) = ¥s-0Kv = lim sG(s) = Ks -0K = lim s2G(s) = 0as-01r(t) = 2 ×1(t) 时，e = 0ss1+ Kp12Kr(t ) = 2t 时，e =× 2 =ssKv1r(t ) = 2t 2时，e = ¥ssKaK（c）G

28、(s) = s(s2 + 4s + 5)(s + 40)Kp = lim G(s) = ¥s-0K200K = lim sG(s) =vs -0K = lim s2G(s) = 0as-01r(t) = 2 ×1(t) 时，e = 0ss1+ Kp1 × 2 = 400r(t ) = 2t 时，e =ssKKv1r(t ) = 2t 2时，e = ¥ssKaK(2s + 1)(4s + 1)（d）G(s) =s2 (s2 + 2s + 10)K p = lim G(s) = ¥s-0Kv = lim sG(s) = ¥s-0K10K

29、= lim s2G(s) =as -0341r(t) = 2 ×1(t) 时，e = 0ss1+ Kp1r(t ) = 2t 时，e = 0ssKve =× 4 = 401r(t ) = 2t 2时，ssKKa解毕。3 16带有扰动信号输入的系统其结构图如题图所示，输入信号为r(t ) = Rt ，扰动作用为 N) ， R, N 为，N(s)+ +R(s)+ -C(s)K1K2T1s + 1s(T2s + 1)习题 316（1） 试计算系统的稳态误差。（2） 系统的环节增益K1、K2 均为可调参数，但是其约束为 K1K2 £ KM ，为了减的稳态误差， 应如何调整增益K1、K2 的值。题解：（1）应用叠求解输