大学物理：相对论 02

1、 该节将从洛仑兹变换出发该节将从洛仑兹变换出发 ,讨论长度、时间、同时性等概讨论长度、时间、同时性等概念，从所得结果可以清楚认识到狭义相对论对经典的时空观念，从所得结果可以清楚认识到狭义相对论对经典的时空观进行了十分深刻的变革。进行了十分深刻的变革。如图，有一固有长度为如图，有一固有长度为L0 的棒，相对的棒，相对S 系静止，现在系静止，现在S系对系对棒同时测量，即棒同时测量，即 t1= t2uy yx x SS L0L0L0 0OO (1) 沿沿x轴放置：由于棒相对轴放置：由于棒相对S 系静止，所以有系静止，所以有120 xxL设：在设：在S系系测得棒两端的坐标为测得棒两端的坐标为 x1 ，

2、x2 ，则由洛仑，则由洛仑 兹变换得兹变换得:2222222111/1/ )/1/ )cuutxxcuutxx（固有长度：棒相对于静止参照系测出的长度。固有长度：棒相对于静止参照系测出的长度。uy yx x SS L0L0L0 0OO 221212/1/ )(cuxxxx220/1:cuLL即因因 t1=t2，棒在，棒在 S系的长度系的长度L=x2-x1 ，在，在 S L0=x 2-x 1 (2) 沿沿y轴放置：轴放置：01212Lyyyyuy yx x SS L0OO L(3) 斜放时斜放时：可将：可将L0向向x、y轴分解，由上可知，沿轴分解，由上可知，沿x轴方向轴方向 将缩短将缩短220/

3、1:cuLLxx即0yyLL所以，在所以，在S系中同时测量时有：系中同时测量时有：22022/1/11cutgcuLLLLtgoxoyxyO uy yx x SS L0 0O 例例1、有一固有长度为、有一固有长度为L0的棒，在的棒，在S系中沿系中沿x轴放置。另存在轴放置。另存在一一 S 系，以系，以 u 相对相对S系沿系沿x 轴正方向运动。求：当棒在轴正方向运动。求：当棒在S系系 中沿轴以中沿轴以v 运动时，从运动时，从S 系中测得该棒系中测得该棒 的长度为多少？的长度为多少？x x SS uo解：当棒在解：当棒在S系中以运动时，在系中以运动时，在S 系看其速度为系看其速度为22/1/1cuv

4、uvcuvuvvxxx因因L0是相对棒静止的参照系中测得的长度是相对棒静止的参照系中测得的长度22220220)1()(1/1cuvcuvLcvLLx相当于：相当于： x SS v xo例例2、在、在O参考系中，有一个静止的正方形，其面积为参考系中，有一个静止的正方形，其面积为 100 cm2观测者观测者O 以以 0.8c的匀速度沿正方形的对角线运动求的匀速度沿正方形的对角线运动求: O所测得的该图形的面积所测得的该图形的面积 yxaaO 解：令解：令O系中测得正方形边长为系中测得正方形边长为a，沿对角线取，沿对角线取x轴正方向轴正方向 (如图如图)，则边长在坐标轴上投影的大小为，则边长在坐标

5、轴上投影的大小为 aax221aay221面积可表示为：面积可表示为： xyaaS 2在以速度在以速度v相对于相对于O系沿系沿x正方向运动的正方向运动的O系中系中 aaayy2212)/(1caaxxva221 =0.6 在在O系中测得的图形为菱形，其面积亦可表示为系中测得的图形为菱形，其面积亦可表示为: 606 .022aaaSxyCm2yxaaOaxay 设在设在S 系中同一地点系中同一地点x 1=x 2 、两件事发生的时刻为、两件事发生的时刻为t 1 t 2 ，间隔为，间隔为 t = t 2- t 1 ，则在则在S系中观察为系中观察为221212/1cutttt2222222212111

6、1cuxcuttcuxcuttouSSox (x)yy运运 动动 的的 钟钟 走走 得得 慢慢s系同一地点系同一地点 B 发生两事件发生两事件在在 S 系中观测两事件系中观测两事件),(),(2211txtx), (2tx), (1tx发射一光信号发射一光信号接受一光信号接受一光信号cdttt212时间间隔时间间隔)(211cxttv)(222cxttvxyosd12369123691x2x12369 yx xyvoossdB1236912tttt)(2cxttv0 x21tt固有时间固有时间 ：同一地点发生的两事件的时间间隔：同一地点发生的两事件的时间间隔 .时间延缓时间延缓 ：运动的钟走得

7、慢：运动的钟走得慢 .0ttt固有时间固有时间xyosd12369123691x2x12369即：即：22/1cutt 说明：说明：1.一时钟，由一个与它作相对运动的观测者观察时，就一时钟，由一个与它作相对运动的观测者观察时，就 比由与它相对静止的观测者观察时要走的慢，这就是比由与它相对静止的观测者观察时要走的慢，这就是 时间膨胀。这种时间延缓完全来自相对论时间效应，时间膨胀。这种时间延缓完全来自相对论时间效应， 与钟表的具体运转无关。与钟表的具体运转无关。 t 固有时间：相对过程发生的地固有时间：相对过程发生的地点为静止的参照系中测得的时间点为静止的参照系中测得的时间0/1)()(/1/ )

8、/1/ )221212122222222111cuttuxxxxcut uxxcut uxx（2.在在S系中观察两件事不是同一地点发生。系中观察两件事不是同一地点发生。射向地球的宇宙射线中，有一种成分叫射向地球的宇宙射线中，有一种成分叫 子，它是一种不稳子，它是一种不稳定的基本粒子，其平均寿命定的基本粒子，其平均寿命2.15 10-6s , 若用经典理论计算它若用经典理论计算它在消失前能穿过的距离为：在消失前能穿过的距离为： 3 108 2.15 10-6=645m实际上在远离实际上在远离 子产生为子产生为15000m的地面上，能测得的地面上，能测得 子的存在子的存在2262211015.21

9、cucutt如果如果 u=c , 则这个时间很长的，足以穿过则这个时间很长的，足以穿过15000m的距离。的距离。 反过来，若用前面讨论的长度收缩效应来考虑，在地面反过来，若用前面讨论的长度收缩效应来考虑，在地面看是看是15000，但对接近光速的运动系统（，但对接近光速的运动系统（ 子相对该坐标系静子相对该坐标系静止）来说，其距离是：止）来说，其距离是： ，几乎为零。，几乎为零。mcu22115000 因此，以接近光速运动的因此，以接近光速运动的 子在子在2.1510-6s时间内足以穿过时间内足以穿过这一距离。这一距离。 例如、一飞船以例如、一飞船以u=9103m/s的速率相对与地面匀速飞行的

10、速率相对与地面匀速飞行。飞船上的钟走了。飞船上的钟走了5s,地面上的钟经过了多少时间？地面上的钟经过了多少时间？解：解：221cutt 为原时t)(000000002. 5)103109(15283s飞船的时间膨胀效应实际上很难测出飞船的时间膨胀效应实际上很难测出例如、原长为例如、原长为5m的飞船以的飞船以u9103m/s的速率相对于地面匀的速率相对于地面匀 速飞行时，从地面上测量，它的长度是多少？速飞行时，从地面上测量，它的长度是多少？解：解：2201cullm999999998. 4)103/1091583（差别很难测出。差别很难测出。0/1)()(222cucuxxtttttABABAB

11、即：在即：在S 系中不是同时发生的。系中不是同时发生的。（1）在）在S系中两件事同时不同地发生，系中两件事同时不同地发生， 即即 ,则在则在S 系中有系中有BABAxxtt ，（2）在）在S系中两件事同时同地发生，即系中两件事同时同地发生，即tA=tB ， xA=xB , 则在则在S系中有系中有:0/1)()(222cucuxxtttttABABAB即：在即：在S 系中是同时发生的。系中是同时发生的。如图，在如图，在S系中有因果关系的两件事先后发生，即系中有因果关系的两件事先后发生，即 tA tB , 则在则在S 系中系中:0/11)/1)()(222222cuttxxcuttcucuxxtt

12、tttABABABABABAB（AB设有一车库长为设有一车库长为5m，一根杆长一根杆长10m，若想沿车库若想沿车库长度方向将杆放进去并关上车库门是否可能长度方向将杆放进去并关上车库门是否可能?设想设想：（：（1）如图，人持杆以）如图，人持杆以 的速度奔向车库。的速度奔向车库。ccv866.023库中人看库中人看：杆收缩为：杆收缩为mcvLL5/1220结论结论1：杆与车库一样长，杆可以进入车：杆与车库一样长，杆可以进入车 库并关上库门。库并关上库门。v5m5m（2）对持杆人来说，杆长没变，而车库收缩了，长度变为：）对持杆人来说，杆长没变，而车库收缩了，长度变为：mcvLL5 . 2/1220库

13、v10m2.5m结论结论2：杆放不进车库并关上门。：杆放不进车库并关上门。所谓所谓：是指两种说法看来都各自合理但又：是指两种说法看来都各自合理但又 彼此冲突，如果能证明其中一种说彼此冲突，如果能证明其中一种说 法错误，或两种说法都错误，而能法错误，或两种说法都错误，而能 找出第三种说法来，则找出第三种说法来，则“佯谬佯谬”也就也就 解决了。解决了。下面说明（下面说明（2）说法是错误的：）说法是错误的：经典力学的观点：认为杆为一刚体，一端的运动经典力学的观点：认为杆为一刚体，一端的运动 状态变化立刻传到另一端，而状态变化立刻传到另一端，而 不需要时间。不需要时间。相对论的观点：任何信号的传播速度

14、是有限的，相对论的观点：任何信号的传播速度是有限的， 且永远小于光速。且永远小于光速。解释：前端撞墙后停止而发生形变的信号传到末端所需时间解释：前端撞墙后停止而发生形变的信号传到末端所需时间.sec103 . 31031088.sec109 . 2866. 05 . 78c可见：在形变信号到达末端前，末端已进入车库可见：在形变信号到达末端前，末端已进入车库 末端以末端以 v 运动到进入车库所需时间运动到进入车库所需时间例例3、在惯性系、在惯性系K中，有两事件同时发生在中，有两事件同时发生在K轴上相距轴上相距1000m的两点，而在另一惯性系的两点，而在另一惯性系K（ K沿沿X轴正方向相对于轴正方

15、向相对于K系运动）中测得这两事件发生地点相距系运动）中测得这两事件发生地点相距2000m。求：。求：K在在系中测得这两事件的时间间隔。系中测得这两事件的时间间隔。解：由洛仑兹坐标变换得解：由洛仑兹坐标变换得2212221212121)(1)()(cuxxcuttuxxxxccuxxcutttt/310001)()(221221212o uK Kox (x )例例4、火箭相对地面以、火箭相对地面以 v = 0.6c 的匀速度向上飞离地球，在火的匀速度向上飞离地球，在火箭发射箭发射 t= 10s 后（火箭上的钟），该火箭向地面发射一导后（火箭上的钟），该火箭向地面发射一导弹，其相对地面的速度为弹，

16、其相对地面的速度为v1=0.3c.问：火箭发射多长时间后问：火箭发射多长时间后，导弹到达地面？（地面上的钟，计算中假设地面不动），导弹到达地面？（地面上的钟，计算中假设地面不动）解：设静止的地球为解：设静止的地球为S系，运动的火箭为系，运动的火箭为S 系，则系，则 在在S系中导弹发射时间是在火箭发射系中导弹发射时间是在火箭发射 t1之后之后即：即：sec5 .12/1/221cvtt在在 t1时间内，火箭相对地面飞行的距离为时间内，火箭相对地面飞行的距离为ctvS5 . 71所以火箭在离地球所以火箭在离地球S远发射的导弹到达地球所需时间为远发射的导弹到达地球所需时间为sec25/12vSt所以火箭发射到导弹到达地球所需时间为所以火箭发射到导弹到达地球所需时间为sec5.3721ttt例例5、在、在S系中系中x=0处有一静止光源，在处有一静止光源，在t=0时辐射了一个光脉时辐射了一个光脉冲冲P1，在在t=时辐射了第二个光脉冲时辐射了第二个光脉冲P2。S 系以系以 u=vi 相对相对S系系运动运动,S 系的观测者于系的观测者于t=0，x=0处接受到第一个脉冲。求：处接受到第