大学物理：电磁感应讲座

1、磁场磁场变化磁通量变化磁通量磁场能量磁场能量VwVd21HB感应电动势感应电动势t dd感生电动势感生电动势自感电动势自感电动势互感电动势互感电动势自感磁能自感磁能221Li互感磁能互感磁能21IMI动生电动势动生电动势lBvd)(tILddtIMdd本章计算可分为四个方面：动生电动势的计算；本章计算可分为四个方面：动生电动势的计算；感生电动势的计算；自感和互感问题的计算；感生电动势的计算；自感和互感问题的计算；磁场能量的计算磁场能量的计算一、解题指南一、解题指南二、基本概念与基本规律二、基本概念与基本规律(2)法拉第电磁感应基本定律：无论什么原因，使通法拉第电磁感应基本定律：无论什么原因，使

2、通过回路所包围面积的磁通量发生变化时，回路中将过回路所包围面积的磁通量发生变化时，回路中将产生感应电动势，该电动势与通过回路所围面积的产生感应电动势，该电动势与通过回路所围面积的磁通量对时间的变化率的负值成正比数学表达式磁通量对时间的变化率的负值成正比数学表达式为为t dd(1)电源电动势；把单位正电荷从负极经电源内部移电源电动势；把单位正电荷从负极经电源内部移到正极时，非静电力所做的功到正极时，非静电力所做的功ldELK(3)动生电动势：磁场不变，导体做切割磁力线的运动生电动势：磁场不变，导体做切割磁力线的运动而产生的电动势动而产生的电动势ll dBV)(（4）感生电动势：导体回路不动，通过

3、导体回路所）感生电动势：导体回路不动，通过导体回路所围面积的磁通量变化所产生的围面积的磁通量变化所产生的 sLstBlEddddki (5)自感自感L：线圈自身的电流发生变化而引起的感应：线圈自身的电流发生变化而引起的感应电动势的现象通常回路中产生自感电动势的能力电动势的现象通常回路中产生自感电动势的能力不同，自感系数可表示该能力大小不同，自感系数可表示该能力大小IL（6)磁场的能量：磁场本身只有的存在于磁场所磁场的能量：磁场本身只有的存在于磁场所在空间线圈自感磁能在空间线圈自感磁能221LIWm 总能量：总能量： VmBHdVW211动生电动势的计算动生电动势的计算 当动生电动势是一段导体产

4、生的，则动生电动势当动生电动势是一段导体产生的，则动生电动势的计算方法和步骤如下的计算方法和步骤如下(1)由结定的电流分布求出相应的磁场分布；由结定的电流分布求出相应的磁场分布；(2)在运动导线上任取一线元在运动导线上任取一线元dl，判明它的线速度的大，判明它的线速度的大小和方向；小和方向；(3)计算线元上产生的动生电动势计算线元上产生的动生电动势d(4)求整段导线上的动生电动势求整段导线上的动生电动势(5)确定方向，可由有于定则或确定方向，可由有于定则或(V B)来确立来确立结论：结论：平动：平动：Blv转动：转动：221LB1、一导线被弯成如图所示形状，、一导线被弯成如图所示形状，acb为

5、半径为为半径为R的四的四分之三圆弧，直线段分之三圆弧，直线段Oa长为长为R若此导线放在匀强磁若此导线放在匀强磁场中，的方向垂直图面向内导线以角速度场中，的方向垂直图面向内导线以角速度w在图面在图面内绕内绕O点匀速转动，则此导线中的动生电动势为点匀速转动，则此导线中的动生电动势为_ ，电势最高的点是，电势最高的点是_ a b c O B 225RBO点点 2、如图所示，一直角三角形、如图所示，一直角三角形abc回路放在一磁感强度为回路放在一磁感强度为B的均匀磁场中，磁场的方向与直角边的均匀磁场中，磁场的方向与直角边ab平行平行 ，回路绕，回路绕ab边以匀角速度边以匀角速度w旋转旋转 ，则，则ac

6、边中的动生电动势为边中的动生电动势为_ _，整个回路产生的动生电动势为，整个回路产生的动生电动势为_ a b c l 30 B 8/2Bl0 3、无限长直导线载有电流、无限长直导线载有电流I，其旁放置一段长度为，其旁放置一段长度为l与载流导线在同一平面内且成与载流导线在同一平面内且成60度度的导线。计算当的导线。计算当该导线在平面上以垂直于载流导线的速度该导线在平面上以垂直于载流导线的速度v平移到该平移到该导线的中点距载流导线为导线的中点距载流导线为a时，其上的动生电动势，时，其上的动生电动势，并说明其方向。并说明其方向。)2/(0rIB60cosdd)(dlvBlBv30cos/ddrlrv

7、Bd30tgd21d30tgrrrvB4/32lar4/31lar，4/34/3ln320lalaIvr0Lo IB4、一无限长竖直导线上通有稳定电流、一无限长竖直导线上通有稳定电流I，电流方向向上。，电流方向向上。导线旁有一与导线共面、长为导线旁有一与导线共面、长为L的金属棒，绕其一端的金属棒，绕其一端O在该在该平面内顺时针匀速转动，如图。转动角速度为平面内顺时针匀速转动，如图。转动角速度为 ，O点到导点到导线的垂直距离为线的垂直距离为r0 (r0L)。试求金属棒转到与水平面成。试求金属棒转到与水平面成 角角时，棒内感应电动势的大小和方向。时，棒内感应电动势的大小和方向。coscos:0dl

8、dxlrx其中dlxIlldBvLrraocos0002)(解：解：020000cos0coslncos2cos2cos)cos(200rLrrILIdxrxxIoLrrr0dlo IBx5.如图所示，在纸面所在的平面内有一载有电流如图所示，在纸面所在的平面内有一载有电流I的无限长直的无限长直导线，其旁另有一边长为导线，其旁另有一边长为l的等边三角形线圈的等边三角形线圈ACD该线圈的该线圈的AC边与长直导线距离最近且相互平行今使线圈边与长直导线距离最近且相互平行今使线圈ACD在纸面在纸面内以匀速内以匀速 远离长直导线运动，且与长直导线相垂直求当远离长直导线运动，且与长直导线相垂直求当线圈线圈A

9、C边与长直导线相距边与长直导线相距a时，线圈时，线圈ACD内的动生电动势内的动生电动势 （2009.1） vaIACDvACDAl dBv)(CAl dBv)(1DCl dBv)(2ADl dBv)(3321解：解：aIvlvlB201aIACDv方向：方向：A指向指向ClvBlBvd60cosd)(d260sind60cos2d02xxIv30cos0260sind60cos2laaxxIv23022/3ln63同理alaIv23ln33222021alaalIv其方向为顺时针其方向为顺时针6、 一半径一半径r=10cm的圆形闭合导线回路置于均匀磁场的圆形闭合导线回路置于均匀磁场B ( B=

10、0.80T)中，中，B与回路平面正交。若圆形回路的半与回路平面正交。若圆形回路的半径从径从t=0开始以恒定的速率开始以恒定的速率(dr/dt=-80cm/s)收缩，则在收缩，则在t=0时刻闭合回路的感应电动势的大小是多少？如要求时刻闭合回路的感应电动势的大小是多少？如要求感应电动势保持这一数值，则闭合回路面积应以怎样的感应电动势保持这一数值，则闭合回路面积应以怎样的恒定速率收缩？恒定速率收缩？7、有一很长的长方形、有一很长的长方形U形导轨，与水平面成形导轨，与水平面成 角，裸导角，裸导线线ab可在导轨上无摩擦地下滑，导轨位于磁感应强度可在导轨上无摩擦地下滑，导轨位于磁感应强度B垂直向上的均匀磁

11、场中，如图所示。设导线垂直向上的均匀磁场中，如图所示。设导线ab的质量为的质量为m，电阻为，电阻为R，长度为，长度为l，导轨的电阻略去不计，导轨的电阻略去不计，abcd形形成电路，成电路，t=0时，时，v=0，试求：导线，试求：导线ab下滑的速度下滑的速度v与时与时间间t的函数关系。的函数关系。 2感生电动势的计算感生电动势的计算 感生电动势问题的计算，直接使用法拉第电磁感应定律，感生电动势问题的计算，直接使用法拉第电磁感应定律，是通常采用的方法除此法之外，也可用感生电动是通常采用的方法除此法之外，也可用感生电动势的定义来直接计算用法拉弟电磁感应定律求解问题势的定义来直接计算用法拉弟电磁感应定

12、律求解问题时常用的基本方法及步骤如下。时常用的基本方法及步骤如下。 (1)选取回路绕行正方向，并规定回路平面法向方向，选取回路绕行正方向，并规定回路平面法向方向，使绕行方向与平面法向矢量成右手螺旋系统；使绕行方向与平面法向矢量成右手螺旋系统； (2)计算通过回路平面的磁通量，此处计算时一定要分计算通过回路平面的磁通量，此处计算时一定要分清磁场的分布情况，再根据分析情况使用相应的公式清磁场的分布情况，再根据分析情况使用相应的公式作计算；作计算；(3)计算感应电动势，在求导要注意分清哪个物理量是计算感应电动势，在求导要注意分清哪个物理量是时间的函数；时间的函数； (4)根据根据的正负判断的正负判断

13、的方向的方向例、一半径为例、一半径为R的长直螺线管，的长直螺线管，dB/dt0，且为常数。在且为常数。在其内放一导线其内放一导线ab，长为长为l.求：求：1）管内外的涡旋电场；）管内外的涡旋电场；2）ab上的感应电动势；上的感应电动势；3）当当ab=bc=R时，时，ac上的感应电动势。上的感应电动势。abO c解：解： （1）如图，因）如图，因dB/dt0，所以涡旋电场的方所以涡旋电场的方 向为逆时针。向为逆时针。SddtBdldE 由由在管内取半径为在管内取半径为r的同心环路，管内则有的同心环路，管内则有dtdBrErdtdBEr222 管外则有管外则有dtdBrRERdtdBEr222 方

14、向沿逆时针。方向沿逆时针。（2）如图，选闭合回路）如图，选闭合回路 oab 三角形，三角形，oabababboaboaSdtdBldEldEldEldESddtBdldE 得得由由dtdBlhSdtdBoabab21 即即：另解：另解：dtdBlhdxrhdtdBrdxEldEbababaab212cosOabcBhEdxxOabcBd(3) (3) 同理同理)1243()(22RRdtdBSSdtdBldEldEobdoabcaac1、在半径为、在半径为R的圆柱形空间内，存在磁感强度为的圆柱形空间内，存在磁感强度为B的的均匀磁场，均匀磁场，B的方向与圆柱的轴线平行有一无限长的方向与圆柱的轴线

15、平行有一无限长直导线在垂直圆柱中心轴线的平面内，两线相距为直导线在垂直圆柱中心轴线的平面内，两线相距为a，a R，如图所示已知磁感强度随时间的变化率为，如图所示已知磁感强度随时间的变化率为dB /dt，求长直导线中的感应电动势，求长直导线中的感应电动势 ，并说明其方向，并说明其方向tKxBcos 2、如图所示，有一弯成、如图所示，有一弯成q 角的金属架角的金属架COD放在磁放在磁场中，磁感强度场中，磁感强度B的方向垂直于金属架的方向垂直于金属架COD所在平面所在平面一导体杆一导体杆MN垂直于垂直于OD边，并在金属架上以恒定速度边，并在金属架上以恒定速度V向右滑动，与向右滑动，与MN垂直设垂直设

16、t =0时，时，x = 0求下列两情形，框架内的感应电动势求下列两情形，框架内的感应电动势Ei (1) 磁场分布均匀，且不随时间改变磁场分布均匀，且不随时间改变.(2) 非均匀的时变磁场非均匀的时变磁场 C D O x M N B v xyxyBtg21txv)tg21(dd/dd2xBtti C D O x M N B v d解：解：(1) 由法拉第电磁感应定律：由法拉第电磁感应定律： tBtxxB2tg/dd2tg21v在导体在导体MN内内Ei方向由方向由M向向N tKxBcosdddBSBtgdtgcosdtgd2tKB(2) 对于非均匀时变磁场 取回路绕行的正向为ONMO，则 dtgc

17、osd02tKxtgcos313tKxtiddtgcostgsin3123tKxtxKv)cossin31(tg233ttttKv Ei 0，则，则Ei方向与所设绕行正向一致，方向与所设绕行正向一致，Ei a)的绝缘薄的绝缘薄壁长圆筒表面上，圆筒以角速度壁长圆筒表面上，圆筒以角速度w绕中心轴线旋转一半绕中心轴线旋转一半径为径为2a、电阻为、电阻为R的单匝圆形线圈套在圆筒上的单匝圆形线圈套在圆筒上(如图所示如图所示)若圆筒转速按照若圆筒转速按照)/1 (00tt的规律的规律(w 0和和t0是已知常数是已知常数)随时间线性地减小，求圆形线随时间线性地减小，求圆形线圈中感应电流的大小和流向圈中感应电

18、流的大小和流向 2LQ解：旋转时，相当于表面单位长度上有环形电流解：旋转时，相当于表面单位长度上有环形电流按长螺线管产生磁场的公式，筒内均匀磁场磁感强度为按长螺线管产生磁场的公式，筒内均匀磁场磁感强度为 LQB20LaQBa2202方向沿筒的轴向方向沿筒的轴向0020202dd2ddLtQatLQat在单匝线圈中产生感生电动势为在单匝线圈中产生感生电动势为感应电流感应电流00202RLtQaRi其流向与圆筒转向一致其流向与圆筒转向一致4、两根平行无限长直导线相距为、两根平行无限长直导线相距为d，载有大小相等方向相反，载有大小相等方向相反的电流的电流 I，电流变化率，电流变化率 dI /dt =

19、 0一个边长为一个边长为d 的正方形线的正方形线圈位于导线平面内与一根导线相距圈位于导线平面内与一根导线相距d，如图所示求线圈中的，如图所示求线圈中的感应电动势感应电动势 ，并说明线圈中的感应电流的方向，并说明线圈中的感应电流的方向 ddII解：解：1.1.规定回路的正方向规定回路的正方向2.2.计算任意时刻的磁通量计算任意时刻的磁通量)(dxIxIB2200BddxdSBddddddxdxIxI3200)(22oxdxddII4320lnId3.3.计算回路中的电动势计算回路中的电动势34234200lndd)(lndddtIdt方向：顺时针方向：顺时针 3关于自感和互感问题的计算关于自感和

20、互感问题的计算 关于自感和互感的计算问题，是本章要求掌握的关于自感和互感的计算问题，是本章要求掌握的计算问题之一自感相互感的计算方法大致相似，计算问题之一自感相互感的计算方法大致相似，仅略有不同，通常在线圈周围无铁磁性物质且周仅略有不同，通常在线圈周围无铁磁性物质且周围磁介质的磁导率不变时，求线圈自感的基本方法围磁介质的磁导率不变时，求线圈自感的基本方法步骤如下：步骤如下：(1)设线圈中有电流设线圈中有电流I通过；通过；(2)求由求由I产生的磁感应强度产生的磁感应强度B(3)计算线圈的磁链；计算线圈的磁链；(4)出出LI计算计算L1、一无限长直导线通有电流、一无限长直导线通有电流teII30一

21、矩形线圈与长直导线共面放置，其长边与导线平行，一矩形线圈与长直导线共面放置，其长边与导线平行，如图所示。求：（如图所示。求：（1）矩形线圈中感应电动势的大小及）矩形线圈中感应电动势的大小及方向；（方向；（2）导线与线圈的互感系数。）导线与线圈的互感系数。 2、 一矩形截面的螺绕环（一矩形截面的螺绕环（r=1），由细导线均匀密绕而），由细导线均匀密绕而成，内半径为成，内半径为R1，外半径为，外半径为R2，高为，高为b，共，共N匝。在螺绕匝。在螺绕环的轴线上，另有一无限长直导线，如图所示。在螺绕环环的轴线上，另有一无限长直导线，如图所示。在螺绕环内通以交变电流内通以交变电流tIicos00i时电流

22、方向如图时电流方向如图求当求当 时时, 在无限长直导线中的感应电动在无限长直导线中的感应电动势的大小和方向。势的大小和方向。 4t 4磁场能量的计算磁场能量的计算 磁场本身是具有能量的，因此计算磁场的能量时，磁场本身是具有能量的，因此计算磁场的能量时，一是要清楚磁场的分布情况，二是要清楚计算的是全一是要清楚磁场的分布情况，二是要清楚计算的是全部能量还是磁场中的某一部分能量，明确了上面两个部能量还是磁场中的某一部分能量，明确了上面两个问题后，用下面的基本步骤来解磁场能量问题问题后，用下面的基本步骤来解磁场能量问题（1）计算磁场的能量密度）计算磁场的能量密度（2）确立体积元）确立体积元dv根据场分

23、布的特征取不同形状体积根据场分布的特征取不同形状体积元元（3）作能量空间积分）作能量空间积分2221212HBHBVWmm VmBHdVW211、一广播电台的平均辐射功率为、一广播电台的平均辐射功率为20kW，假定辐射，假定辐射的能量均匀分布在以电台为球心的球面上。求：距的能量均匀分布在以电台为球心的球面上。求：距电台电台10km处电磁波的辐射强度。处电磁波的辐射强度。 2、充了电的由半径为、充了电的由半径为r的两块圆板组成的平板电容器，在的两块圆板组成的平板电容器，在放电时两板间的电场强度大小为放电时两板间的电场强度大小为RCteEE/0，式中，式中E0、R、C均为常数，均为常数，:求求:两极板间位移电流的大小。两极板间位移电流的大小。tE510sin7203、如图所示，设平行板电容器内各点的交变电场强度、如图所示，设平行板电容器内各点的交变电场强度正方向规定如图。求正方向规定如图。求:（1）电容器中的位移电流密度；）电容器中的位移电流密度；（2）电容器内距中心联线）电容器内距中心联线r=0.01m的一点的一点P，当，当t=0,t=5*10-6s时的磁场强度的大小及方向。（不考虑传导电时的磁场强度的大小及方向。（不考虑传导电流产生的磁场）流产生的磁场） 1 1无限长直导线旁有一与其共面的矩形线圈，直导线中无限