1995年全国初中数学联赛试题及解答

1、一、选择题1995 年全国初中数学联赛试题第一试1.已知a = 355 ,b = 444 , c = 533 ,则有()(A) a < b < c ;(B) c < b < a;(C) c < a < b ;(D) a < c < b .xz + yz = 232.方程组xy + yz = 63的正整数解的组数是()(A)1;(B)2;(C)3;(D)4.3.如果方程(x -1)(x2 - 2x + m) = 0 的三根可以作为一个三角形的三边之长,那么实数 m 的取值范围是()(A)0m1;(B)m 34;(C) 34m1;(D) 34m14.

2、如果边长顺次为25，39，52 和60 的四边形内接于一圆，那么此圆的周长为() (A) 62p ;(B) 63p ;(C) 64p ;(D) 65p .5. AB 是圆 O 的一条弦 , CD 是圆 O 的直径 , 且与弦 AB 相交 , 记M = S CAB - S DAB. N = 2SOAB ,则()(A) M > N ;(B) M = N ;(C) M < N ; (D) M , N 的大小关系不确定.6.设实数a , b 满足不等式a - (a + b) < a - a + b,则()(A) a > 0 且b > 0 ;(B) a < 0且b &

3、gt; 0 ;(C) a > 0且b < 0 ;(D) a < 0且b < 0 .二、填空题1.在 12,22,33,952这 95 个数中,十位数字为奇数的数共有 个.2.已知是方程 x 2+ x - 14= 0 的根,则a 2 -1a 5 + a 4 - a 3 - a 2的值等于 .3.设 x 为正实数,则函数 y = x 2 - x + 1 的最小值是.x4.以线段 AB 为直径作一个半圆,圆心为O , C 是半圆周上的点,且OC 2 = AC × BC .则ÐCAB = .第二试一.已知ÐACE = ÐCDE = 90&

4、#176; ,点 B 在 CE 上, CA=CB=CD,过 A, C, D 三点的圆交 AB 于 F(如图),求证:F 为CDE 的内心.二.在坐标平面上,纵坐标与横坐标都是整数的点称为整点,试在二次函数x2y =- x + 9 10105的图像上找出满足 y x 的所有整点(x, y) ,并说明理由.三.试证:每个大于 6 的自然数 n 都可表示为两个大于 1 且互质的自然数之和.1995 年全国初中数学联赛试题答案第一试一、选择题1（C）a = 355 = (35 )11 = 24311 ， b = 444 = (34 )11 = 25611 ， c = 533 = (53 )11 = 1

5、2511 ，c < a < b .2（B）第二个方程可以改写为(x + y)z = 23因为 x+y2,且 23 是质数，故 z=1，x+y=23，由此得 y=23-x，将此代入第一个方程得(23 - x)(x + 1) = 63 ，即x 2 - 22x + 40 = 0 .解之得x1 = 2 , x2 = 20 .因此，原方程组的两组解为：x1 = 2 , y1 = 21 , z1 = 1；x2 = 20 , y2 = 3 , z2 = 1.3（C）1 - m1 - m因为 x 2 - 2x + m = 0 有两根，故 = 4 - 4m 0，得 m1.原方程的三根为x1 = 1

6、，x2 = 1 -， x3 = 1 +.显然， x2 x1 x3.注意到 x1 + x2= 2 -> 1 += x3，由此得m > 3 .41 - m1 - m4（D）设 ABCD 为圆内接四边形，且 AB=25，BC=39，CD=52， DA=60.圆内接四边形对角互补，故ÐC = 180° - ÐA .连接 BD，由余弦定理（如图），BD2 = AB2 + AD2 - 2AB × AD cosÐA = CB2 + CD2 - 2CB × CD cosÐC即252 + 602 - 2 ´ 25

7、80; 60 ´ cosÐA= 392 + 522 + 2 ´ 39 ´ 52 ´ cosÐA解得cosÐA =252 + 602 - 392 - 522252 + 602=2(25 ´ 60 + 39 ´ 52)0故ÐA = 90°BD 为圆的直径.BD = 65 故圆周长为65p .5（B）如图，作 DEAB 于 E， CFAB 于 F，延长 CF 交圆 O 于 G，连接 DG，因CD 是直径，故ÐDGC 是直角，从而 EFGD 是矩形，DE = GF .不妨设CF &g

8、t; FG ， 作OHCG 于 G， OLAB 于 L，则H是 CG 的中点，于是CF - FG = CH + HF - FC = 2HF = 2OL .因此M= S CAB - S DAB= AB × CF - AB × DE = AB × (CF - FG)2226（B）= AB × OL = 2SOAB .22若 a,b 满足题设的不等式.则有 a - (a + b)< a - a + b ，a + b经化简整理得 a (a + b) > a a + b . 由此知a ¹ 0 ， a + b ¹ 0 .从而 a +

9、b> a ，a上式仅当a < 0 ， a + b > 0 时成立，从而 b > -a > 0 。二、填空题19在 12,22,102中，十位数字是奇数的只有42 = 16 ，62 = 36 .两位数的平方可以表示为(10a + b)2 = 100a 2 + 20ab + b2 ，它的十位数的奇偶性与b2十位数字的奇偶性相同.因此，b只能取 4 与 6.即相邻的每 10 个数中有两个数的十位数字是奇数.因此，题目给的 95 个数中，十位数字是奇数的共有 19 个.220a3 -1 = (a -1) = (a -1)(a 2 + a + 1) , a5 + a 4 -

10、 a3 - a 2 = a 2 (a -1)(a + 1)2 .a 满足等式a 2 + a - 1 = 0 ，4a ¹ 1 ， a -1 ¹ 0 .3所以a - 1= a + a + 11 +1= 4= 20312a5 + a 4 - a3 - a 2a 2 (a + 1)2.( 1 )24xy = (x -1)2 + x + 1 -1 = (x -1)2 + (x- 1 )2 + 1.xx当 x=1 时， (x -1)2 与(- 1 )2 同时取最小值 0，因此 y 的最小值为 1.x475°或 15°如图，因 AB 是直径，故ÐACB =

11、90° ，sin ÐCAB = BC .由OC 2 = AC × BC 得ABAC = OC .OCBC在ABC 中，由正弦定理得sin ÐAOC =AC × sin ÐCAB = OC × BC = OC = 1OCBCABAB2ÐAOC = 30° 或150° .在等腰OAC 中，ÐCAB = 180° - ÐAOC = 75° 或15° .2第 二 试一、证明AC = BC ， ÐACB = 90° ， ÐCA

12、B = ÐCBA = 45° .A,C,F,D 四点共圆.ÐCDF = ÐCAF = 45° ，ÐCDE = 90° ，ÐEDF = ÐCDE - ÐCDF = 45° = ÐCDF ，即 DF 平分ÐCDE .CA = CD ， ÐCAD = ÐCDA ，又ÐCFD = 180° - ÐCAD = 180° - ÐCDA = 180° - ÐCFA = ÐCFB&#

13、208;CDF = ÐCBF = 45°ÐDCF = 180° - ÐCFD - ÐCDF = 180° - ÐCFB - ÐCBF = ÐBCF即 CF 平分ÐDCE .所以 F 是CDE 的内心.二、由 y|x|，得x 2 - x + 1810|x|，即x2 - x + 18 10|x|.当 x0 时，（*）式为 x2 - x + 18 10x，即x2 -11x + 18 0，解得2x9.对于上述区间内 x 的整数值，当 x=2,4,7,9 时，相应的 y 为整数值.此时， 满足条

14、件的点有(2,2),(4,3),(7,6),(9,9).当 x < 0 时，（*）式为 x 2 - x = 18 -10x，即 x 2 + 9x + 18 0，解得 -6x-3.对于上述区间内 x 的整数值，当 x=-6,-3 时，相应的 y 为整数值.此时，满足条件的点有(-6,6)(-3,3).故满足条件的整点共有 6 个.三、证明对 n 分情况讨论.（1）当 n 为奇数时，设n = 2k + 1(k>1,k 为整数）.若 n=4k，此时n = k + (k + 1) .由于(k, k + 1) = 1 ，上述表示符合要求.（2）当 n 为偶数时，设n = 4k 或4k + 2 (k>1,k 为整数).若n = 4k ，此时n = (2k -1) + (2k + 1) . 2k -1与2k + 1是互质的，因为若它们有公因数 d2，设2k -1 = nd , 2k + 1 = md (m,n 是自然数)，则(m - n)d = 2 ，可见d 2 ，所以d = 2 ，这与2k -1， 2k + 1均为奇数相矛盾.若 n = 4k + 2 ，此时n = (2k -1) + (2k + 3)2k -1与2k + 3 是互质的.因为若它们有公因数 d2，设2k -1 = nd , 2k + 3 = md (m,n 是自然数