郭数系的扩充(公开课)

1、郭味纯 2010.4 R 从小学开始，我们学了自然数从小学开始，我们学了自然数集集N、整数集、整数集Z、有理数集、有理数集Q. 实数集实数集R，它们之间有怎样的它们之间有怎样的包含包含关系呢？关系呢？ 有关系有关系 N Z Q R Q ZN一一. . 问题情境问题情境 R 从包含关系从包含关系N Z Q R看，看，它能说明什么问题？它能说明什么问题？ Q 数集在数集在扩充扩充系 ZN+- Z 例如例如N为何要扩充呢？为何要扩充呢？二二. .为何扩充为何扩充是什么原因使得数系要扩充呢？是什么原因使得数系要扩充呢？N中中减法减法运算不运算不能畅通无阻，这能畅通无阻，这是是N中的中的一朵乌一朵乌云！

2、云！数系扩充的效果是数系扩充的效果是应用范围扩大了应用范围扩大了.N+- R Q ZN+- Z,Q数系也有各自的矛盾，类似地用数系也有各自的矛盾，类似地用扩充数系的办法解决了这些矛盾扩充数系的办法解决了这些矛盾. 三三. . 怎样扩充怎样扩充 针对矛盾，针对矛盾， 创造新数创造新数.“添加添加”新数，保持原算律新数，保持原算律.R 实数系实数系R是否完美无缺，抑或也有是否完美无缺，抑或也有一朵一朵乌云乌云？负数不能进行开平方！负数不能进行开平方！- 1不能进行开方！不能进行开方！方程方程 x2+1=0 无解无解要解决这个矛盾，必须允许平方要解决这个矛盾，必须允许平方数也可以是负数！数也可以是负

3、数！?, 12xx四四. . 石破惊天之问石破惊天之问 由它所创造的复变函数理论，成为解决电磁理论，航空理论，原子能及核物理等尖端科学的数学工具. 新数 ?, 12xx我喜欢你，我创造一个你的解，我称呼它为 i我拒绝你，我坚守 02a 严格地，我们把满足如下两条性质的数严格地，我们把满足如下两条性质的数i i叫做叫做虚数单位虚数单位. .（1 1）它的平方等于）它的平方等于-1-1，即，即i i2 2 = -1= -1；（2 2）实数可以与）实数可以与i i一起进行四则运算，进行一起进行四则运算，进行四则运算时，原有的加、乘运算律（即交换四则运算时，原有的加、乘运算律（即交换律、结合律、分配律

4、）仍然成立律、结合律、分配律）仍然成立. .那么那么i i3 3 = = i i4 4 = = 自然数系自然数系N 有运算有运算减法不能畅通无阻减法不能畅通无阻即方程即方程x+1=0无解无解怎样解决矛盾？怎样解决矛盾？创造新数创造新数-1，设它，设它是是x+1=0的解的解添加新数添加新数-1要求新数要求新数-1与与N中的中的数进行原有的运算数进行原有的运算.自然数系自然数系R 有运算有运算an开平方不能畅通无阻开平方不能畅通无阻即方程即方程x2+1=0无解无解怎样解决矛盾？怎样解决矛盾？创造新数创造新数i，设它是，设它是x2+1=0的解的解添加新数添加新数i要求新数要求新数i与与R中的数中的数

5、进行原有的运算，保进行原有的运算，保持运算律持运算律.五五. . 类比思维类比思维六六. . 复数的诞生复数的诞生 虚数虚数i i与实数与实数b b相乘，再与实数相乘，再与实数a a相相加，就会得到形如加，就会得到形如 a+bia+bi（a a、bRbR） 的数，称它为的数，称它为复数复数。 全体复数形成的数集叫全体复数形成的数集叫复数集复数集，记，记作作C C。 C R 对复数z=a+bi（a、bR）z=a a+b b i实部虚部 对复数对复数代数形式代数形式z = a+bi z = a+bi （a、bR）当b=0时， z=a+bi是a，是实数当b0时，z=a+bi叫做虚数；当b0且a=0时

6、，z=a+bi为bi，叫纯虚数对复数系进行分类对复数系进行分类抓住抓住虚部虚部进行进行分类讨论分类讨论七七. . 应应 用用 例1.说出下列复数的实部与虚部.并指出哪些是实数?哪些是虚数?哪些是纯虚数?复数实部虚部实数虚数纯虚数2-3i0-6isini223i2300061000102i例例2. 2. 实数实数m m取何值时，复数取何值时，复数 z=m(m-1)+(m-1)iz=m(m-1)+(m-1)i是是(1)(1)实数？实数？(2)(2)虚数虚数？(3)(3)纯虚数纯虚数？解：解：(1)(1)当当m m1=01=0，即，即m=1m=1时，时，z z是实数；是实数；(2)(2)当当m m1

7、010，即，即m1m1时，时，z z是虚数；是虚数；(3)(3)当当m m（m-1m-1）=0=0，且，且m m1010时，即时，即m=0m=0时，时，z z 是纯虚数是纯虚数. .abcdR,acabicdibd设 、 、 、则 例例3 3、已知、已知(x+y)+(x-2y)i= (2x-5)+(x+y)+(x-2y)i= (2x-5)+(3x+y)i+(3x+y)i，求实数，求实数x x与与y y的值。的值。八八. . 定义复数相等定义复数相等 定义定义 如果两个复数的实部与虚部分别如果两个复数的实部与虚部分别相等，那么我们说这两个复数相等，即相等，那么我们说这两个复数相等，即:y3x2y

8、-x5-x2yx解：解：得得2y3x 1. 1.了解了数系了解了数系扩充扩充的的原因原因和的基本模和的基本模式；体验了从实数系扩充到式；体验了从实数系扩充到复数系复数系的基的基本过程本过程. . 2. 2.懂得了懂得了虚数单位虚数单位i i的两条规定；的两条规定； 3. 3.掌握了复数代数形式掌握了复数代数形式z = a+biz = a+bi判判断断它为实数、虚数、纯虚数的方法；它为实数、虚数、纯虚数的方法； 4. 4.理解了理解了复数相等的定义复数相等的定义. .九九. .小结小结作业：课本P105 练习1-4（做在书上）作业课本P105 练习1-4 习题3.1 1-4 （做在作业本上）1.请设计数集的文氏图，用它来表示实数、虚数、纯虚数等数集与复数集的包含关系.（留给课外做，充分发挥你的想象能力）参考解答：思考题思考题a=0a=0是复数是复数z=a+biz=a+b