应用举例—③测量角度及三角形面积

1、高二数学 必修5 第一章 1.2 应用举例测量角度及三角形面积（2014/9/6） 学习目标 能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关计算角度和三角形面积的实际问题. 学习过程 一、课前准备复习：三角形面积公式：S=absinC= = 二、新课导学 典型例题例1、如图，一艘海轮从A出发，沿北偏东75的方向航行67.5 n mile后到达海岛B，然后从B出发，沿北偏东32的方向航行54.0 n mile后达到海岛C.如果下次航行直接从A出发到达C，此船应该沿怎样的方向航行，需要航行多少距离?(角度精确到0.1，距离精确到0.01n mile)分析：首先由三角形的内角和定理求出角ABC，

2、然后用余弦定理算出AC边，再根据正弦定理算出AC边和AB边的夹角CAB. 例2、某巡逻艇在A处发现北偏东45相距9海里的C处有一艘走私船，正沿南偏东75的方向以10海里/小时的速度向我海岸行驶，巡逻艇立即以14海里/小时的速度沿着直线方向追去，问巡逻艇应该沿什么方向去追？需要多少时间才追赶上该走私船？例3、在ABC中，根据下列条件，求三角形的面积S：（1）已知a=2cm，c=3cm，B=150；（2）已知B=45，C=60，b=30cm；（3）已知三边的长分别为a=20cm，b=30cm，c=40cm变式：在某市进行城市环境建设中，要把一个三角形的区域改造成室内公园，经过测量得到这个三角形区域

3、的三条边长分别为68m，88m，127m，这个区域的面积是多少？（精确到0.1cm）三、总结提升 学习小结1. 已知量与未知量全部集中在一个三角形中，依次利用正弦定理或余弦定理解之.；2已知量与未知量涉及两个或几个三角形，这时需要选择条件足够的三角形优先研究，再逐步在其余的三角形中求出问题的解. 知识拓展三角形面积，这里，这就是著名的海伦公式 课后作业 一、基础训练题1在ABC中，A60，AB1，AC2，则SABC的值为()A. B. C. D22已知ABC的面积为，且b2，c，则()AA30 BA60 CA30或150 DA60或1203在ABC中，已知a7，b5，c3，则ABC是()三角形

4、A直角三角形 B钝角三角形C锐角三角形 D无法确定4在ABC中，已知b2bc2c20，且a，cos A，则ABC的面积等于()A. B. C2 D35三角形两边长之差为2，其夹角的余弦值为，面积为14，那么这个三角形的两边长分别是()A3和5 B4和6 C6和8 D5和76在ABC中，A30，AB2，BC1，则ABC的面积等于_7在ABC中，A60，AB2，且ABC的面积SABC，则边BC的长为_8甲船在A处观察乙船，乙船在它的北偏东60的方向，两船相距a海里，乙船正向北行驶，若甲船是乙船速度的倍，则甲船应取方向_才能追上乙船；追上时甲船行驶了_海里9在ABC中，已知A60，ABAC85，面积

5、为10，则其周长为_10已知圆内接四边形ABCD的边长AB2，BC6，CDDA4，求圆内接四边形ABCD的面积11如图所示，为了解某海域海底构造，在海平面内一条直线上的A、B、C三点进行测量已知AB50 m，BC120 m，于A处测得水深AD80 m，于B处测得水深BE200 m，于C处测得水深CF110 m，求DEF的余弦值二、提高训练题12在ABC中，a1，B45，SABC2，则此三角形的外接圆的半径R()A. B1 C2 D.13已知等腰三角形的底边长为6，一腰长为12，则它的内切圆面积为_14(2011山东高考)在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知.(1)求的值； (

6、2)若cos B，b2，求ABC的面积必修5 第一章 1.2 应用举例测量角度及三角形面积参考答案1、解析：选B.SABCABACsin Asin 60.2、解析：选D.Sbcsin A，2sin A.sin A.A60或120.3、解析：法一：725232，即a2b2c2，ABC是钝角三角形法二：cos A0，ABC是钝角三角形答案：B4、解析：选A.b2bc2c20，(b2c)(bc)0.b2c.由a2b2c22bccos A，解得c2，b4，cos A，sin A，SABCbcsin A24.5、解析：选D.设ab2，cos C，sin C.又SABCabsin C，ab35.由ab2和

7、ab35，解得a7，b5.6、解析：由余弦定理得BC2AB2AC22ABACcos 30，AC22AC30.AC.SABCABACsin 302.答案：7、解析：由SABC，得ABACsin A，即2AC，AC1，由余弦定理得BC2AB2AC22ABACcos A22122213.BC.答案：8、解析如图所示，设到C点甲船追上乙船，乙到C地用的时间为t，乙船速度为v，则BCtv，ACtv，B120，由正弦定理知，sinCAB，CAB30，ACB30，BCABa，AC2AB2BC22ABBCcos 120a2a22a23a2，ACa.答案：北偏东30a9、解析设AB8k，AC5k，k0，则SAB

8、ACsin A10k210.k1，AB8，AC5，由余弦定理：BC2AB2AC22ABACcos A825228549.BC7，周长为：ABBCCA20. 答案：2010、解：连结BD，则四边形面积SSABDSCBDABADsin ABCCDsin C.AC180，sin Asin C.S(ABADBCCD)sin A16sin A.由余弦定理：在ABD中，BD22242224cos A2016cos A，在CDB中，BD24262246cos C5248cos C，2016cos A5248cos C.又cos Ccos A，cos A.A120.四边形ABCD的面积S16sin A8.11、解作DMAC交BE于N，交CF于M.DF10(m)，DE130(m)，EF150(m)在DEF中，由余弦定理的变形公式，得cosDEF.即DEF的余弦值为.12、解析：选D.SABCacsin Bc2，c4.b2a2c22accos B132825，b5.R.13、解析不妨设三角形三边为a，b，c且a6，bc12，由余弦定理得：cos A，sin A .由(abc)rbcsin A得r.S内切圆r2. 答案：14、 解：(1)由正弦定理得a2Rsin A，b2Rsin B，c2Rsin C， 所以，即sin Bcos A2sin Bcos C2sin Ccos Bsin Acos B