多元函数微分学章节复习

1、多元函数微分学章节复习  本章教学要求：1知道二元函数的定义和几何意义，会求二元函数的定义域。2熟练掌握一阶、二阶偏导数的计算方法。3熟练掌握复合函数一阶偏导数的计算方法，会计算隐函数的偏导数。4能熟练地求全微分。5了解二元函数极值的概念，知道极值存在的必要条件，掌握用拉格朗日乘数法求较简单的极值应用问题。  例题讲解：一、填空题1函数的定义域是_。2如果f(xy，xy)xy，则f(x，y)_。3设zln(xy)，则dz_。4二元函数的定义域是_。5设，则dz_。6设z(1xy)x，则_。7设f(x，y)ln(xexy)，则_。8函数的定义域是_。9函数的定义域是_。10设

2、zf(u，v)，uxy，则_。11设ezxyz0，则_。分析与解答：1函数的定义域是_。1要使函数有意义，必须：，即因此，该函数的定义域是D(x，y)；x2y21，|y|x|，x0 2如果f(xy，xy)xy，则f(x，y)_。2令，则，即有，故3设zln(xy)，则dz_。3，故4二元函数的定义域是_。4要使函数有意义，必须：，即因此，该函数的定义域是D(x，y)；2xy2，xy0，xy1 5设，则dz_。5，故6设z(1xy)x，则_。6相对y来说，x是常数，故z可以分解为：zux，u1xy，则7设f(x，y)ln(xexy)，则_。78函数的定义域是_。8要使函数有意义，必须：，即定义域

3、为：(x，y)；y0，xy0 9函数的定义域是_。9要使函数有意义，必须：，即故该函数的定义域为：(x，y)；xy0，x2y2110设zf(u，v)，uxy，则_。1011设ezxyz0，则_。11设，则， 故二、单项选择题1设z(2x1)3y2，则（）。 A. (3y2)(2x1)3y1 B. 2(3y2)(2x1)3y1C. (2x1)3y2ln(2x1) D. 3(2x1)3y2ln(2x1)2设zln(xy)，则（）。 A. dxdy B. dxdy  C. dxdy D. dxdy3设，则（）。 A. B. C. D. 4下列说法正确的是（）。A. 可微函数f(x，y)在点

4、（x0，y0）处达到极值，则必有B. 函数f(x，y)在点（x0，y0）处达到极值，则必有C. 若，则函数f(x，y)在点（x0，y0）处达到极值D. 若或有一个不存在，则函数f(x，y)在点（x0，y0）处一定没有极值5设zuv，xuv，yuv，若把z看作x，y的函数，则（）。 A. B. C. 2x D. x分析与解答：1对y来说，z是y的指数函数，可分解为：z(2x1)u，u3y2，由复合函数求导法则，得，即D正确。2，即B正确。3，即D正确。4函数取得极值的点可能是不可导点，因此B不正确；驻点未必是极值点，因此C也不正确；偏导数是否存在，与函数不取得极值没有必然的关系，故D也不正确。总

5、之，只有A才正确。5由题设，故，即A正确。三、计算题1设zln(uv2)，vxy，求：解法一：，解法二：因为所以，2设函数zf(x，y)由方程所确定，求解法一：设则，故解法二：方程两边对x求偏导数，得：即，故方程两边对y求偏导数，得：即，故3设，求解：设zf(u，v)，ux2y，则4表面积为S 的长方体箱子中（箱子无盖），求体积最大者的边长。解：设长方体的边长分别为x，y，z，于是长方体的体积为 Vxyz已知xy2(xzyz)S 又设 F(x，y，z，)xyz(xy2xz2yzS) 求 F(x，y，z，) 对各变量的偏导数，并令其为零，得方程组：由 (1)×x(2)×y，得由于，z不能为零，故得xy0，xy由 (2)×y(3)×z，得，y2z将xy2z代入（4），得于是由于只有这一个驻点，且已知该问题一定存在最大值，故此驻点即为最大值点，即当边长分别为时，体积最大。 5直角平行六面体的长、宽、高之和为定数a，求其最大体积。解：设平行六面体的长、宽、高分别为x、y、z依题意xyza Vxyz又设F(x，y，z，)xyz(xyza) 令解得唯一