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多元函数的极限与连续习题1. 用极限定义证明:。2. 讨论下列函数在（0,0）处的两个累次极限，并讨论在该点处的二重极限的存在性。（1）；(2)；(3)；(4)。3. 求极限 （1）； （2）； （3）； （4）。4. 试证明函数在其定义域上是连续的。1. 用极限定义证明:。因为，不妨设，有，要使不等式成立取，于是， ，：且 ，有，即证。2. 讨论下列函数在（0,0）处的两个累次极限，并讨论在该点处的二重极限的存在性。（1）；， ，二重极限不存在。或 ， 。(2) ；可以证明 所以 。当，时，极限不存在，因此不存在，同理 不存在。(3) ；，当 P(x,y)沿着趋于（0,0）时有， 所以 不存在；， 。(4) ， 不存在。3. 求极限 （1）；， 又 ，。 （2）；。 （3）；，而 故 。 （4）。 令，时，。4. 试证明函数在其定义域上是连续的。证明：显然f(x,y)的定义域是xy>-1.当时，f(x,y)是连续的， 只需证明其作为二元函数在y轴的每一点上连续。 以下分两种情况讨论。（1） 在原点（0,0）处f(0,0)=0, 当时,由于 不妨设 ， ，从而 ， 取，当时，于是，无论，当时，都有（2） 在处。（当时， 当x=0时, ,注意到，当时 ，于是，无论， 当时，即 f(

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