微积分第一章函数与极限

1、第一章第一章分析基础分析基础 函数函数 极限极限 连续连续 研究对象 研究方法 研究桥梁函数与极限函数与极限第一节第一节 函数回顾函数回顾一、邻域一、邻域二、函数二、函数三、初等函数三、初等函数U( x0 , ) = x | | x x0 | 0 x0+o()x0 x0 xx U( x0 , ) | x x0 | ),( U 00：邻域的点xx一一. 邻邻 域域x0 + o()x0 x0 x ),(U 00：邻域的去心点xxU( x0 , ) = x | 0 | x x0 | 0 0 x U( x0 , ) 0 | x x0 | 0 的值取得多么大，的值取得多么大， 总总,0Ix 使得使得 |

2、 f ( x0 ) | M 成立。成立。如何证明或判断函数无界？如何证明或判断函数无界？易知：易知：例例10 2。：讨论函数函数的有界性xy 。函数的定义域为： ) ,( fD ) ,(1 0 0有，取因为MxM，MMMxf1)1( | )(|20在其在其定义域定义域内是无界的。内是无界的。 故函数故函数2xy 在任何一个有限区间内有界。在任何一个有限区间内有界。2xy (2) 单调性单调性xy设函数设函数( ),yf xxD 且有数集且有数集.ID 且且时时,12,xxI 如如果果12xx 12()(),f xf x 恒恒成成立立称称 ( )f x为为 I 上的上的单调增函数单调增函数 ;且

3、且时时,12,xxI 如如果果12xx 12()(),f xf x 恒恒成成立立称称 ( )f x为为 I 上的上的单调减函数单调减函数 .增函数增函数减函数减函数(3) 奇偶性奇偶性( ),xD f 有有( ),xD f 若若()( ) ,fxf x 则称则称 f (x) 为为偶函数偶函数;若若()( ) ,fxf x 则称则称 f (x) 为为奇函数奇函数. 偶函数偶函数xyxy奇函数奇函数(4) 周期性周期性( ),0,xD fT 使使( ),xTD f ()( ) ,fxTf x 则称则称( )f x为为周期函数周期函数, 称称 T 为为周期周期.是一一对应是一一对应 (即映射即映射

4、f 是一一对应是一一对应), 称称 f 的的 f 的反函数的反函数.只有在一一对应的前提下才能有反函数只有在一一对应的前提下才能有反函数.)(xfy 与与)(1yfx互为反函数互为反函数. 三三. 反函数反函数为逆映射 )( ),( , : 1fDxfRyxyf )( ),( , : fRyfDxyxf设函数反函数的图形反函数的图形 将函数将函数 y = f (x) 的反函数写成的反函数写成 x = f 1(y) 时，时，函数与其反函数的图形相同函数与其反函数的图形相同. 将函数将函数 y = f (x) 的反函数记为的反函数记为 y = f 1(x) 时，时，函数函数 y = f (x) 与

5、其反函数与其反函数 y = f 1(x) 的图形关于的图形关于第第、 象限的角平分线象限的角平分线 y = x 对称。对称。Oxy)(xfy )(1yfx)(1xfyxy 反函数的图形反函数的图形 自己画一下草图例的反函数。求函数 ) ,(, 2xxy存在。在其定义域内反函数不 2xy 为时，它的反函数存在， ) , 0 x ) , 0 , 。yyx为时，它的反函数存在， 0 ,(x 0 ,( , 。yyx , 0, ) yxx 。 , (, 0 yxx 。例例的反函数。求分段函数xxxxy0 , , 0 , 1 21 , 1yyxyyx0 ,0 , 1xxy得由xxy0 ,2由得所求反函数为

6、1,y-1, 0yxyy 1,-1, 0 xxyxx 增加的.定理减少减少 , ),( 是严格单调增加的若函数fDxxf , ),( 1且是严格存在则其反函数fRyyfx四、四、 复合函数复合函数 1( ),yf uuD ( ),ug xxD 1( )Z gD 则则 ( ) ,yfg xxD 设有函数设有函数称为由称为由, 确定的确定的复合函数复合函数 , u 称为称为中间变量中间变量. 例如例如, 函数函数2sin(2),(,).yxx 22,(,),uxx sin ,(,),yu u 确定的确定的复合函数复合函数:以下以下5种函数通称为基本初等函数种函数通称为基本初等函数1. 幂函数幂函数

7、 y = x ( R 为常数为常数 )2. 指数函数指数函数 y = a x ( a 0, a 1 ) 五五. 基本初等函数基本初等函数3. 对数函数对数函数 y = loga x ( a 0, a 1 ) 4. 三角函数三角函数 y = sin x ， y = cos x， y = tan x y = cot x ， y = sec x， y = csc x 5. 反三角函数反三角函数 y = arcsin x ， y = arccos ， y = arctan x y = arccot x ， y = arcsec x ， y = arccsc x1. 幂函数幂函数函数函数 称为幂函称为幂

8、函数数.)( 是是常常数数 xy 无论无论 为何值为何值,函数在函数在(0,+)内总是有定义的内总是有定义的.指数函数的定义域是指数函数的定义域是(,+)图象图象通过点通过点(0, 1), 且总在且总在x 轴上方轴上方.当当a 1时时, 函数是单调增加的；函数是单调增加的；当当0a1时，函数单调增加；时，函数单调增加；当当0a0,a1) 称为对数函数称为对数函数.科学技术中常用以科学技术中常用以 e 为底的对数函数为底的对数函数 y=logex,它被称为自然对数函数，简记作它被称为自然对数函数，简记作 y = lnx4三角函数三角函数常用的三角函数有常用的三角函数有正弦函数正弦函数 y=sin

9、x ; 余弦函数余弦函数 y= cosx ;正切函数正切函数 y=tanx ； 余切函数余切函数 y=cotx ;正割函数正割函数 y=secx ； 余割函数余割函数 y=cscx . （其中自变量以弧度作单位来表示）（其中自变量以弧度作单位来表示） 正弦函数和余弦函数都是以正弦函数和余弦函数都是以2 为周期为周期的周期函数，的周期函数，它们的定义域都为它们的定义域都为(-,+),值域都为值域都为-1,1正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数正切函数正切函数 的定义域为的定义域为xxxycossintan ( ) |,2D fx xR xnn为整数正切函数的值域是

10、正切函数的值域是(,+), 且是以且是以 为周期的为周期的奇函数奇函数.,|)(为为整整数数nnxRxxfD xxxysincoscot 余切函数余切函数 的定义域为的定义域为余切函数的值域是余切函数的值域是(,+), 且是以且是以 为周期的为周期的奇函数奇函数.正割函数正割函数1sec cosyxxxysec 正割函数是以正割函数是以2 为周期的偶函数。为周期的偶函数。- 1cscsinyxx余割函数余割函数xycsc 余割函数是以余割函数是以2 为周期的奇函数。为周期的奇函数。- 5. 反三角函数反三角函数 反三角函数是各三角函数在其特定的单调区间上的反函数反三角函数是各三角函数在其特定的

11、单调区间上的反函数 .(1) 反正弦函数反正弦函数其其定义域为定义域为-1,1, 值域为值域为 是正弦函数是正弦函数arcsinyx在区间在区间sinyx,22上的反函数上的反函数为为单调增函数单调增函数，且，且,2 2 sin arcsin xx(2) 反余弦函数反余弦函数在区间在区间0, 上的反函数上的反函数arccosyx是余弦函数是余弦函数cosyx其定义域为其定义域为 -1,1, 值域为值域为0, . 为单调减函数。且为单调减函数。且cos arccosxx(3) 反正切函数反正切函数arctanyx,2 2 内的反函数内的反函数是正切函数是正切函数,22在区间在区间 tanyx其其

12、定义域为定义域为(, +), 值域为值域为为单调增函数。为单调增函数。 tan arctan xx且(4) 反余切函数反余切函数 y = arc cotx 是余切函数是余切函数 y = cot x 在区间在区间(0, )内的反函数，内的反函数，其其定义域为定义域为 (, +), 值域为值域为 (0, ) . 为单调减函数。为单调减函数。cot arccot xx且由常数和由常数和5 5类基本初等函数经过有限次类基本初等函数经过有限次四则运算，四则运算，和和有限次有限次复合运算，并且用一复合运算，并且用一个式子表达的函数个式子表达的函数, , 称为初等函数，否则称为初等函数，否则称为称为非初等函

13、数非初等函数. . 六六. . 初等函数初等函数例如 都是初等函数. 1523xxy112xxxyxxeey23xyxxxy22sin1 cos1 sin 1. 1. 一般说来一般说来, , 分段函数不是初等函数分段函数不是初等函数. . 但有个别分段函数例外，例如但有个别分段函数例外，例如0 ,0 , xxxxy因为它可以改写为初等函数因为它可以改写为初等函数2xy 的形式的形式. .xxxexyln110,1xxyx幂指函数幂指函数是否为初等函数？是否为初等函数？它是由它是由uey 与与xxuln构成的复合函数构成的复合函数,故该幂指函数是一个初等函数故该幂指函数是一个初等函数.2 2.

14、. 非初等函数举例:符号函数xysgn当 x 0,1当 x = 0,0当 x N 时,总有axn例例 已知,) 1() 1(2nxnn证明.0limnnx证证:0nx0) 1() 1(2nn2) 1(1n11n, ) 1 ,0(欲使,0nx只要,11n即n取, 11N则当Nn 时, 就有,0nx故0) 1() 1(limlim2nxnnnn,0111nnnx故也可取1N也可由2) 1(10nnx. 11N 与 有关, 但不唯一.不一定取最小的 N .说明说明: 取11N例例 设,1q证明等比数列,112nqqq证证:0nx01nq, ) 1 ,0(欲使,0nx只要,1nq即,lnln) 1(q

15、n亦即因此 , 取qNlnln1, 则当 n N 时, 就有01nq故0lim1nnq.lnln1qn的极限为 0 . 1nq若数列若数列 xn 收敛收敛, 则其极限值必唯一则其极限值必唯一. 若数列若数列 xn 收敛收敛, 则则 xn 必有界必有界.0,nMnNxM即使有例例3 ,2 , , 8 , 4 , 2:2nn , 8 , 0 , 4 , 0 :) 1(1(nn无极限发散无界,无极限发散无界,发散的数列不一定都无界发散的数列不一定都无界 . 例如例如, (1) n . 收敛的数列必有界收敛的数列必有界. 有界的数列不一定收敛有界的数列不一定收敛. 无界的数列必发散无界的数列必发散 .

16、 发散的数列不一定无界发散的数列不一定无界. . ) 1( :nnx反例 在数列在数列 xn: x1 , x2 , , xn , 中中, 保持各保持各项原来的先后次序不变项原来的先后次序不变, 自左往右任意选取无穷自左往右任意选取无穷多项所构成的新的数列多项所构成的新的数列, 称为原数列的一个称为原数列的一个子数子数列列, 记为记为 .knx limnnnxaxa定理：的任何子列都收于2211) limlimlimnkknkkxaaaa 推论：lim,nnxalimn knxa则对任何自然数则对任何自然数 k 有有2）若）若 例例4.) 1(lim 1nn求解解 ,) 1(1nnx. ,) 1

17、( , , 1 , 1 , 1 , 1 :1nnx取子数列：取子数列： ,) 1( , 1, 1, 1, :1)1(212nnx ,) 1( , 1, 1, 1, :122nnx , 1) 1(limlim , 11limlim 212nnnnnnxx而 . ) 1(lim 1不存在故nn例例5 . 8sin 的敛散性判别nxn解解利用函数的周期性利用函数的周期性, 在在 xn 中取两个子数列中取两个子数列: ,sin , ,2sin ,sin :sin 8sin kkn . 00limsinlim , , 0sin nnkNkk所以由于),22sin(,25sin : )2sin(2 8si

18、n kkn . 11lim)22sin(lim nnk此时 . )( 8sin :即极限不存在是发散的故由推论可知n lim, 0 (0), 0, nnxaaaN1)若则 ).0( 0 , nnxxNn有时当 0 (0) , nnxx2)若 , lim 存在且axnn . )0( 0 aa则00 () ( 0, ) , nnnnxyxynNNnN3)若或当时则存在且 , lim ,lim byaxnnnn () . abab第三节第三节 函数的极限与性质函数的极限与性质的极限时一 )( , .xfx的极限时二 )( , .0 xfxx 三三. 左、右极限左、右极限. , ( ) xf x 一一

19、时时的的极极限限 由于数列实际上可以看成是定义域为正整数由于数列实际上可以看成是定义域为正整数域的函数域的函数, 所以所以, 可望将数列的极限理论推广到可望将数列的极限理论推广到函数中函数中, 并用极限理论研究函数的变化情形并用极限理论研究函数的变化情形. 1 : nxxnn从数列 ), 0( 1 xxy与函数的图形可以看出的图形可以看出:1100+lim, lim. nxnx Oxy123 n nxn1xy1的极限函数时 )( , . 1xfxlim( ) xf xA一般地一般地, 如果如果当当 且且 x 无限增大无限增大时时, 函数函数f (x)无限地趋近某个常数无限地趋近某个常数 A ,

20、 则称则称函数函数 f (x)0,x 当当 x + 时以时以 A 为极限为极限, 记为记为2+lim arctanxx 例例直线直线 y = A 是曲线是曲线 y = f (x) 的水平渐近线的水平渐近线.几何意义几何意义 :1yx oxy1( ),f xx 例如，例如，有水平渐近线有水平渐近线0 ;y 12( ),xf x 有水平渐近线有水平渐近线1 .y 又如，又如，oxy12xy 10limxx 121lim()xx 1, 1 的极限函数时 )( , . 2xfxlim( ) xf xA一般地一般地, 如果如果当当 且且 无限增大无限增大时时, 函数函数f (x)无限地趋近某个常数无限地

21、趋近某个常数 A , 则称则称函数函数 f (x)0,x x 当当 x - 时以时以 A 为极限为极限, 记为记为0lim exx 例例yx01直线直线 y = A 是曲线是曲线 y = f (x) 的水平渐近线的水平渐近线.几何意义几何意义 : lim.xfxAf (x) 当当 x 时以时以 A 为极限为极限, 记为记为f (x)无限地趋近某个常数无限地趋近某个常数 A, 则称则称函数函数一般地一般地, 如果如果当当 无限增大无限增大时时, 函数函数x时，函数极限的描述性定义：时，函数极限的描述性定义：x axfxfaxfxxx)(lim)(lim)(limxxx 0 x x 0elim x

22、x xxelimlimexx 不存在不存在 xxlnlimyx01xy1 yxo10lim,xx 10limxx 10limxx 例例例例 问问 是否存在？是否存在？limarctanxx lim arctan2xx xxxxarctanlimarctanlim limarctan.xx 不不存存在在当当x+ 时时, arctanx 以直线以直线 为渐近线为渐近线. 而而当当x- 时时, arctanx 以直线以直线 为渐近线为渐近线 2y 2y 解解lim arctan2xx 的极限时二 )( , .0 xfxx x x0 时函数的极限, 是描述当 x 无限接近 x0 时, 函数 f (x)

23、的变化趋势.f (x) 在在 某空心邻域有定义某空心邻域有定义, 如果如果当当 趋近于趋近于 时时, 函数函数0 x0 xx0 xf (x)无限地趋近某个常数无限地趋近某个常数A, 则称则称函数函数 f (x) 当当 x 时以时以 A 为为左左极限极限, 0 x0lim( ) xxf xA0(0). f xA记为记为1. 时函数时函数 的的左极限左极限0 xx fx例例. . 0, 0,1)(2xxxxxf0lim( )xf x 011lim()xx 0 x 10lim( ) xxf xA0(0). f xA记为2. 时函数时函数 的的右极限右极限 fx0 xxf (x) 在在 某空心邻域有定

24、义某空心邻域有定义, 如果如果当当 趋近于趋近于 时时, 函数函数0 x0 xx0 xf (x)无限地趋近某个常数无限地趋近某个常数A, 则称则称函数函数 f (x) 当当 x 时以时以 A 为为右右极限极限, 0 x例例. . 0, 0,1)(2xxxxxf0lim( )xf x 200limxx 0 x 0lim.xxfxA记为记为f (x)在在 某空心邻域有定义某空心邻域有定义, 如果如果当当 趋近趋近于于 时时, 函数函数f (x) 当当 x 时以时以 A 为极限为极限, f (x) 无限地趋近某个常数无限地趋近某个常数A,x0 x0 x则称则称函数函数0 x时，函数时，函数f (x)

25、极限的描述性定义：极限的描述性定义：0 xx000 xxxxxx 0 x)(00 xxxx 右极限右极限)(00 xxxx000lim( )lim( )lim( )xxxxxxf xAf xf xA 定理：定理：左极限左极限).(lim,0, 10,1)(02xfxxxxxfx 求求设设yox1xy 112 xy解解两个单侧极限为两个单侧极限为是函数的分段点是函数的分段点,0 x)1(lim)(lim00 xxfxx , 1 )1(lim)(lim200 xxfxx, 1 左右极限存在且相等左右极限存在且相等,. 1)(lim0 xfx故故例例6 62111211 ( )xxf xxxx )(

26、lim1xfx)(lim1xfxy = f (x)xOy1121在 x = 1 处的极限存在否？1lim21xx0) 1(lim1xx解例例7 71 lim( )xf x不不存存在在。求设 )(lim ,1, 11, 1)( 12xfxxxxxfx2) 1(lim)(lim 211xxfxx2) 1(lim)(lim11xxfxx2)(lim 1xfx解例例8 8问题：问题：11101 21)( ),2)( )101 2xxxxf xf xxx )(lim0 xfx讨论极限讨论极限 是否存在是否存在? ? . |lim 0 xxx求|lim 0 xxx|lim0 xxx)(lim)(lim00

27、 xfxfxx . |lim 0不存在xxxxxx0lim11lim0 xxxx0lim1) 1(lim0 x解例例8 8例例9 9无限只考虑有无定义在必考虑 , )( 0 xxxxf的变化函数时即接近 )( , ) ,(U , 00 xfxxx我们不这类极限过程时在讨论 , 0 xx 211lim1xxx 111lim1xxxx 1lim12xxy21oxxx21( )1xf xx ).(,lim. 10为常数CCCxx.lim. 200 xxxx从函数图形的几何直观我们不难得知：从函数图形的几何直观我们不难得知：3. 如果如果 是基本初等函数定义域内的点，则是基本初等函数定义域内的点，则

28、00limxxfxfx0 x 在某极限过程中在某极限过程中, 以以 0 为极限的量称为极限的量称为该极限过程中的无穷小量为该极限过程中的无穷小量.第四节第四节 无穷小量、无穷大量无穷小量、无穷大量一一. 无穷小量及其运算性质无穷小量及其运算性质二二. 无穷大量无穷大量例1 . , 0 0,lim ) 1 (220是一个无穷小量时 xxxx . sin , 0 0,sinlim )2(0是一个无穷小量时xxxx . 1 , 0,1lim )3(是一个无穷小量时xxxx . cos , 2 0,coslim )4(2是一个无穷小量时xxxx 0,0 lim )5(在任何一个极限过程中在任何一个极限

29、过程中, 常值函数常值函数 y = 0 均为无穷小量均为无穷小量，且是唯一的常数无穷小且是唯一的常数无穷小. 寻找函数极限运算法则可归结为寻找无穷小量的运算法则寻找函数极限运算法则可归结为寻找无穷小量的运算法则. .00lim( )( ),xxf xAf xAxx其中 是时的无穷小。其中 是时的无穷小。( ( 无穷小与函数极限的关系无穷小与函数极限的关系 ) )推论推论. .常数与无穷小的乘积是无穷小。常数与无穷小的乘积是无穷小。 定理定理： 在某一极限过程中在某一极限过程中, ,无穷小量与有界量之积无穷小量与有界量之积仍是一个无穷小量仍是一个无穷小量. .ox求求.sinlimxxx 解解:

30、 1sin x01lim xx利用定理利用定理 可知可知sin1limlim sin0.xxxxxxxxysin 说明说明 : y = 0 是是xxysin 的水平渐近线的水平渐近线 .y例2 定理定理： 有限个无穷小量之和仍是无穷小量有限个无穷小量之和仍是无穷小量. .说明说明: : 无限个无穷小之和不一定是无穷小无限个无穷小之和不一定是无穷小 ! !例例22212limnnnnnnnnnnn2221211lim121111limlim1222nnn nnnlim( ) f x 在自变量的某个变化过程中，如果从某一时刻起 且 无限增大， 则称 为该过程的正无穷大量，记为 f x f x 0f

31、 x lim( ) f x 在自变量的某个变化过程中，如果如果从某一时刻起 且 无限增大， 则称 为该过程的负无穷大量，记为 f x f x 0f x lim( ) f x 在自变量的某个变化过程中，如果从某一时刻起 有定义，且 无限增大， 则称 为该过程的无穷大量，记为 f x f x f x正无穷大、负无穷大都是无穷大，反之未必例例 试从函数图形判断极限试从函数图形判断极限: : xxtanlim2 xxtanlim2 xxtanlim2 xxelim xxlnlim0 xxlnlimyx01例例例33(i) ,yx,ln (iii)xy 3lim.xx ,lnlim0 xx.lnlimx

32、x,tan (iv)xy ,tanlim2xx.tanlim2xx, (ii)3xy .lim3xx(iii), (iv) 自己画画图会更清楚.例4 ? )2( , 是否为无穷大量时当nnxn解有时则当取 , , log 2NnMNMn |)2( | . )2(limlim nnnnx故 , 0M 2 |)2( | | Mxnnn要 , log2Mn 无穷大量是按绝对值定义的.( 无穷大量的倒数为无穷小量,)( 非零无穷小量的倒数为无穷大量, 则例5 . 0 ),( , 1)( xxxxf且设1(1) lim0.limxxxx 001(2) lim.lim0 xxxx 在某一极限过程中 , 0

33、)( )( xfxf是一个无穷大量且若 . )(1 为无穷小量则xf , 0)( )( xfxf是一个无穷小量且若 . )(1 为无穷大量则xf例6无穷大量是否一定是无界量 ?在某极限过程中,无界量是否一定是无穷大量 ? . 2) 1( , , 0 ,2 , 0 , , 4 , 0 , 2 , 0 : ,nnxnxnnn例如 0 , , 的项使总有等于时当取多么大不论NnN |Mxn . , ,不是无穷大量时故当不成立nxn但该数列是无界的. , 0 , , 0 , 0 :nnyx , 8 , 6 , 4 , 2 :nnyx ,) 1( , , 4 , 3 2, , 1 :nxnn ,) 1(

34、 , , 4 , 3 2, , 1 :1nynn此时时显然 . , , ,nnyxn例7两个无穷大量的和是否仍为无穷大量?考察考察例8有界量与无穷大量的乘积是否一定为无穷大量？ 不着急, 看个例题: , )( )(1xxxf 1, 1 | )(| , ) 1 | ( 2xxgxx时不妨设当 . )( 011)()( 21xxxxxgxf而 , )( )(32xxxf . )( 1)()(232xxxxxgxf不一定是无穷大量.xxy1sin1 11,0,sin,.xfxxx不一定。例如 当时是一个无界变量 但不是无穷大1(1)0, ()22kxkk 取()2,2kf xk ( ).f x无界1

35、(2)0 ()2kxkk 取，()2sin20,kf xkk但 fx非无穷大。例9无界量是否一定是无穷大？在某个极限过程中, 无穷大量一定是无界量无穷大量一定是无界量, , 但无界量不一定是无穷大量但无界量不一定是无穷大量. .正正无穷大量之无穷大量之和和为正无穷大量为正无穷大量; ;负负无穷大量之无穷大量之和和为负无为负无穷大量穷大量两个无穷大量的和不一定是无穷大量.无穷大量之无穷大量之积积为无穷大量无穷大量与有界量之积不一定是为无穷大量无穷大量与有界量之积不一定是无穷大量无穷大量. .非非0 0常量常量C C 与无穷大量之积为无穷大量与无穷大量之积为无穷大量 无穷大量与有界变量之和为无穷大

36、量无穷大量与有界变量之和为无穷大量. .特别地特别地, ,无穷大量与常无穷大量与常量量C C 之和为无穷大量之和为无穷大量. .0lim( ),xxf xA 1 1、函数极限的唯一性。、函数极限的唯一性。0lim( )xxf xAA 唯一2、函数极限的局部有界性。、函数极限的局部有界性。如果如果则存在则存在0() ,x ， 0()fxx 在，中有界在，中有界第五节第五节3 3、函数极限的局部保号性、函数极限的局部保号性 0lim( )00,xxf xAA若若,),(0时使当xx( )0 ( ( )0)f xf x有则存在),(0 x推论推论. 若在0 x的某去心邻域内0)(xf)0)(xf 且

37、 ,)(lim0Axfxx则00AA 000lim ( ),nnnxxf xAxxx xx 且lim()nnf xA （海涅定理）说明说明: : 性质4常用于判断函数极限不存在 .法法1 1 找一个数列:nx,0 xxn, )(0nxxn且不存在 .)(limnnxf使法法2 2 找两个趋于0 x的不同数列nx及,nx使)(limnnxf)(limnnxf例例. . 证明xx1sinlim0不存在 . 证证: : 取两个趋于零的数列102nxn及1022nxn 有1limlim sinlim sin 20nnnnnfxnx由性质4 知xx1sinlim0不存在 .21limlim sinlim

38、 sin(2)1nnnnnfxnx 设在某极限过程中, 函数 f (x)、g(x) 的极限 lim f (x)、lim g(x) 存在, 则 6.设f (x)是基本初等函数， 是其定义域内的 点，则 00limxxf xf x0 x.531lim232 xxxx求求解解：)53(lim22 xxx5lim3limlim2222 xxxxx5limlim3)lim(2222 xxxxx52322 , 03 531lim232 xxxx)53(lim1limlim22232 xxxxxx.37 3123 例1322lim321xxxx323 22 22135123lim2232xxxxxx3163

39、25212222322319 解例2求81 lim. 8xx881lim8 =0lim=. 8xxxx，解：解：.321lim221 xxxx求求.,1分母的极限都是零分母的极限都是零分子分子时时x.1后再求极限后再求极限因子因子先约去不为零的无穷小先约去不为零的无穷小 x)1)(3()1)(1(lim321lim1221 xxxxxxxxx31lim1 xxx.21 )00(型型( (消去零因子法消去零因子法) )例3解例4 . 22325lim 2xxx求 . , 0)22(lim 2故不能直接用公式计算由于xx)22)(22)(325()22)(325)(325(lim22325lim2

40、2xxxxxxxxxx)42)(325()22)(42(lim2xxxxx . 32)325(lim)22(lim32522lim222xxxxxxx00解例5. 1)31)(21)(1 (lim 0 xxxxx求xxxxx1)31)(21)(1 (lim 0 xxxxx161161lim320 . 6)6116(lim20 xxx00.lim333axaxax 求求解解：2333()()limxaxaxaxa 原式原式3233232)(limaaxxaxax 3223003 a例6 bababb33223322aaaa bababb33223322aaaa babbbbnnn-1n-2n-3

41、2n-1nnn-1n-2n-32n-1aaaaaaaa babbbbnnnn-1n-2n-32n-1nnn-1n-2n-32n-1aa-aa是奇aa-aa是奇注注：00解例7 . ) 12(lim 3xxx求31 lim21xxx ) 12(lim 3xxx32310lim0112002xxxx () 或) 12(lim3xxx)112(lim323xxxx分子分母同分子分母同除除 , 把无穷把无穷大化成无穷小大化成无穷小3x解例8 . )2( 1lim xxxx求) )( ( )2( 1lim xxxxxxxxxxxx2)2)(2( 1limxxxx2 12lim12 1 lim211xxx

42、 分子分母同分子分母同除除 , 把无穷把无穷大化成无穷小大化成无穷小x2 10 lim1 . 101x 解解例例9 . 1211lim 31xxxx求这是两个无穷大量相减的问题这是两个无穷大量相减的问题. 我们首先进行我们首先进行通分通分运算运算, 设法去掉不定因素设法去掉不定因素, 然后运用四则运算然后运用四则运算法则求其极限法则求其极限. 11lim1211lim32131xxxxxxx . 3211lim21xxxx() 例例1010.147532lim2323 xxxxx求求解解.,分母的极限都是无穷大分母的极限都是无穷大分子分子时时 x)(型型 3,.x先用最高次幂去除分子分母 化成

43、无穷小 再求极限332323147532lim147532limxxxxxxxxxx .72 233315500092922xxxxxlimlimxx 44345152929xxxxlimlimxxx 同理有：同理有：一般地有mnmnbamnbxbxbaxaxannnmmmx , , , 0lim00110110323261161lim57xxxxxxx 74232321lim57xxxxxxx 54286256lim47xxxxxxx 65 0azynnnnlimlim)2(),2, 1() 1 (nzxynnnaxnnlim1. 数列极限夹逼准则数列极限夹逼准则 (准则I)第六节第六节22

44、2111lim12nnnnnn nx22nnn 22nn 22limnnnn nnn 22lim1 证证: : 利用夹逼准则 .由例例1. 证明且命题得证。limn12nnnnmaaa例例2. 若若a1,a2，am为为m个正常数，则个正常数，则=A, 其中 A=maxa1,a2,，am.12nnnnnnnnmAaaam A112nnnnnmAaaamAlim,nAA1lim1nnmAAA 12limnnnnmnaaaA证：因为即而由夹逼定理得.0 U(, ) ( | ) , xxxX 设时设时000()()()1)( )( )( ) lim( )2)lim( )lim( ) xxxxxxxxx

45、g xf xh xf xag xh xa 00()()limlimxxxxxxfxafxa推论3:反之未必 00()()lim0lim0 xxxxxxf xf x推:论2 00()()limlim0推论1:xxxxxxf xaf xa例3 0. sinlim0 xx解 20 ,sin时有当的定义由 xx ,sin0 xx 00 lim0, , lim sin0.xxxx而所以由夹逼定理由夹逼定理求证:=-t00lim sin = limsin0 xxtxt 0. sinlim0 xx所以例4 . 2 lim0 xxx求解 ,2212xxx; 222 , 0 xxxx时故当. 22lim , ,

46、 2)2(lim 00 xxxxx所以而夹逼定理夹逼定理由取整函数定义，得222, xxx 0.exxx11 lim 1111111 nxn1111111111111 nxxxnnnxnn由实数知识, 总可取 n N, 使 n x n+1,故111limnnnnnn111lim , 111111lim1ennnn , 1111limennnn .11limexxx , , , 得故由夹逼定理时而xnexxx11 lim 我们作变量代换, 将它归为 x + 的情形即可.想想, 作一个什么样的代换？. , , txtx时则令第二步：证明, tx令xx11tt111 , 1 tu再令xxx11lim

47、, , tx时则且时则 , , utttt1ttt1111111111ttteuuuu1111limtt11exxx11 lim由exxxxxx11lim11lim exxx11 lim第三步：证明现在证明exxx101 lim . 的情形转化为xexxx10)1 (lim令,1tx t ,则 x 0时, 11lim)(1 lim10etxttxx故exxx10)1 ( lim于是有证综上所述, 得到以下公式ennn11 limexxx11 limexxx10)1 ( lim .)( 0)(的极限为零表示在某极限过程中xx .)( )(的极限为表示在某极限过程中xxxxx31 limxxx31

48、 lim求33)3(11 limxxx333)3(11limexxx例13解xxxx11 lim21()12211lim 111122xxexx( 1 )xxxx11 lim求xxx121 lim例14解xxxx11 limxxxxx1111lim1 1lim 11lim 1xxxxxx21eee解xxx2cot20)tan31(lim231233tan0lim ( 1 3tan)xxxe例15xxx2cot20)tan31 (lim求解xxx21lim010lim (12 )xxx10lim 1 2lim 39xxxxxxx，求例16解21220lim (12 )xxxe xxxx193li

49、m xxxxx111319lim xxxxx 313311lim9990 e1cos 0 xx，时2211 )1(cos1 )(cos xxxx21cos1cos1 )1(cos1 xxxx210 )(coslimxxx求) 1 ( 例17解 , 211coslim , )1(cos1 lim201cos10 xxexxxx又2110 )(cos lim2 exxx故常用的方法.1cos1sinlim xxxx求)1 (xxxx1cos1sinlimexxx22sin1lim221cos1sinlimxxxx例18解例19解下列等式中下列等式中，正确的是（，正确的是（ ）sin0sin( )

50、lim(1)1xxxxAxsinsin( ) lim(1)1xxxxBx sinsin( ) lim(1)xxxxCexsin0sin() lim(1)xxxxDexBA,D错，A=2,D=2sinlim0,limsinxxxxxkxx但不是无穷大（处无定义）C错，例20解0ln(1)lim,xxx求1eln)1ln(lim )1ln(1lim)1ln(lim1000 xxxxxxxxx0e1lim.xxx有有时时当当则则令令,0,0),1ln(, 1e uxuxux1)1ln(11lim)1ln(lim1elim000 uuuuxuuxx例例2121. . 证明: 当0 x时,011lim1

51、1nxxxn证证: lim0 x11nxxn10limx11nnxxn111nnx21nnx11,0时当 x11nxxn1nnba)(ba1(naban 2)1nb,0时xxxxsin,32都是无穷小都是无穷小,第七节第七节 无穷小的比较无穷小的比较引例引例 .xxx3lim20,020sinlimxxx,xxx3sinlim0,31但但 可见无穷小趋于可见无穷小趋于 0 的速度是多样的的速度是多样的 . ,0limCk定义定义. .O( ) ,0lim若若称称 是比是比 高阶高阶的无穷小的无穷小, ,记记)(o,lim若若若若若若, 1lim若若,0limC,设设是自变量同一变化过程中的无穷

52、小是自变量同一变化过程中的无穷小, ,称称 是比是比 低阶低阶的无穷小的无穷小; ;称称 是是 的的同阶同阶无穷小，记无穷小，记称称 是关于是关于 的的k阶阶无穷小无穷小; ;记记称称 是是 的的等价等价无穷小无穷小, ,记作记作O() kx 0 时的几个无穷小量的比较时的几个无穷小量的比较：220(1) lim0 , o( ) (0).xxxxxx00(2) limlim22,2xxxx2O( )(0)xx x例10(3) lim1,sin(0)sinxxxx xx2201 cos1(4)lim,1 cosO()(0)2xxxxxx 211 cos(0)2xx xxycos1 221yx 设

53、在某一极限过程中, ) ( lim 或为若alimlim= limlim. , , 限过程中的第三个变量.z 是该极 设在某极限过程中, limlimzz( 或为 ), 则若, limaz 定理告诉我们:在计算只含有乘、除法的极限时,无穷小量可以用其等价无穷小量替代.设在某极限过程中, , , 则 .传递性xxx53lim053xxx5sin3tanlim0 xxx5sin3tanlim0求例1解二. 计算例子xxx1sinlim2xxx1sinlim2求xxx1lim2xxlim例2解.2sinsintanlim30 xxxx 求求.sin,tan,0 xxxxx时时当当 30)2(limx

54、xxx 原原式式.0 ,0时时当当 x)cos1(tansintanxxxx ,213x,22sinxx330)2(21limxxx 原原式式.161 例3解对于代数和中各无穷小不能分别替换对于代数和中各无穷小不能分别替换. .1000ln(1)1limlimln(1)limln(1)lne1xxxxxxxxx例4证求证当 x 0 时1xexln(1) ,xxe10ln(1)00e11limlimlim1ln(1)ln(1)xxuxxuuuuuxuu111nxxn证证: lim0 x11nxxn10limx11nnxxn111nnx21nnx11,0时当 x11nxxn1nnba)(ba1(n

55、aban 2)1nb例5求证当 x 0 时常用等阶无穷小常用等阶无穷小: : xx sinxx tan2cos12xx1 ,xex1 lnxaxaxx arcsinxx arctan 当 x 0 时xx )1ln( 11xxR一般地一般地: 若在某极限过程中若在某极限过程中, (x)0,则则 )()(sinxx )()(tanxx )(21)(cos12xx )()(1lnxx 1( )1( )xxR)(1e)(xx axaxln)(1)( )()(arcsinxx )()(arctanxx xxxxtansin21lnlim0 xxx21lim0 xxxxtansin21lnlim0求xxx

56、tan)1ln(21lim0 xxxtansin2lim0 xxx2lim0212例6解3221lnlimxxx02limxx3221lnlimxxx求322limxxx例7解 xxxxx323lim1 求例8解xxxxxx3231lim1 xxxxx323111lim11xxxxx2311111lim33 lim2017,1abbnna bnn 求求例8解 limlim1111aabbbnnbnnnnnn 1limlim20171aabnnbnnbnbn 110,2017abb20161,20172017ab xbxaxnmx11lim0 xbxxaxnxmx11lim11lim00nbma

57、xbxnxaxmxx1lim1lim00 xbxaxnmx) 11() 11(lim0 xbxaxnmx11lim0求例9解例例10. 求ln()lnln()ln222000()limlimlimxxxxa xaxa xxaxxxaxaeeeexxxlnln()lnln22001ln()lnlimlimxaxa xxaxaxxeeexaxxaxxln20ln(1)limxaxxexax20()lim0 xxxaxaax解解:ln201limxaxxexaxa 设函数 f (x) 在 U(x0)内有定义, xU(x0) , 则称x = x x0 为自变量 x 在 x0 点处的增量. = f (x

58、0 + x) f (x0 )y = f (x) f (x0 )xyOx0 xxyy = f (x)此时, x = x0 + x , 相应地, 函数在点 x0 点处有增量 yxy00 xx 0 xx y )(xfy 0lim0yx0lim0 xy 0lim0yx)(0 xxx则称 f (x) 在点 x0 处连续.设 f (x) 在 U(x0) 内有定义. 若自变量的增量趋于零时, 函数的增量也趋于零.设 f (x) 在 U(x0) 内有定义, 若)()(lim0 0 xfxfxx则称函数 f (x) 在点 x0 处是连续的.2.函数连续性的定义 (极限形式) 函数的连续性是一个局部性的概念, 是

59、逐点定义的.是整个邻域 00f xxf xx性质:在 处连续在 处也连续 反之未必函数 f (x ) 在点 x0 处连续, 应该满足以下三点：(1) f (x) 在 U(x0) 内有定义；(包括在点 x0 处有定义). )( ) 3(0 xfa (极限值等于函数在点 x0 处的函数值) )(lim )2(0；存在axfxx) )( , ( 0有极限时xfxx 函数 y = x2 在点 x = 0 处是否连续 ? 0lim20 xx 函数 y = x2 在点 x = 0 处连续.又且0020 xxxy y = x 2 在 U(0) 内有定义,例1解 函数的连续性是通过极限定义的, 当然可以 运用

60、 语言描述它.3.连续性的 语言形式设函数 f (x) 在 U(x0) 内有定义. , 若 , 当 | x x0 | 时, 有则称函数 f (x) 在点 x0 处是连续的.| f (x) f (x0) | 0sinx x 00 21x在 x = 0 处的连续性.yxO121)(xfy y = sinxyx+1例4解 21)0(f)(lim 0 xfx)(lim0 xfx)(lim)(lim 00 xfxfxx1) 1(lim0 xx0sinlim0 xx故x = 0 是 f (x) 的第一类间断点. 将左、右极限存在但不相等的间断点, 称为函数的跳跃型间断点跳跃型间断点.讨论. 1 11)(2