微分的概念及运算PPT通用课件

1、二、微分运算法则二、微分运算法则三、微分在近似计算中的应用三、微分在近似计算中的应用一、微分的概念一、微分的概念 2.32.3 微分的概念及运算微分的概念及运算正方形金属薄片受热后面积的改变量正方形金属薄片受热后面积的改变量. .20 xA 0 x0 x,00 xxx 变到变到设边长由设边长由,20 xA 正方形面积正方形面积2020)(xxxA .)(220 xxx )1()2(;,的主要部分的主要部分且为且为的线性函数的线性函数Ax .,很小时可忽略很小时可忽略当当的高阶无穷小的高阶无穷小xx :)1(:)2(x x 2)( x xx 0 xx 0一一.微分的概念微分的概念 1.1.引例：

2、引例：再例如再例如, ,.,03yxxxy 求函数的改变量求函数的改变量时时为为处的改变量处的改变量在点在点设函数设函数3030)(xxxy .)()(3332020 xxxxx )1()2(,很很小小时时当当 x .320 xxy ),()2(xox 的的高高阶阶无无穷穷小小是是既容易计算又是较好的近似值既容易计算又是较好的近似值问题问题: :这个线性函数这个线性函数( (改变量的主要部分改变量的主要部分) )是否是否所有函数的改变量都有所有函数的改变量都有? ?它是什么它是什么? ?如何求如何求? ?的的微分微分,2.2.定义定义: 若函数若函数0 x)(xfy 在点在点 的增量可表示为的

3、增量可表示为0 x)()(00 xfxxfy ( A 为不依赖于为不依赖于x 的常数的常数)则称函数则称函数)(xfy 而而 称为称为xA 在在)(xf0 x点点记作记作yd,df或或即即xAy d定理定理: 函数函数)(xfy 在点在点 可微的可微的充要条件充要条件是是)(xfy , )(0 xfA )( xoxA 即即xxfy )(d0在点在点0 x可微可微, ,在点在点 处可导处可导, ,且且0 x3.3.可微的条件：可微的条件：定理定理 : 函数函数证证: “必要性必要性” 已知已知)(xfy 在点在点 可微可微 ,0 x则则)()(00 xfxxfy )(limlim00 xxoAx

4、yxx A 故故Axf )(0)( xoxA )(xfy 在点在点 可导可导,0 x且且)(xfy 在点在点 可微的可微的充要条件充要条件是是0 x)(xfy 在点在点 处可导处可导,0 x且且, )(0 xfA 即即xxfy )(d0定理定理 : 函数函数)(xfy 在点在点 可微的可微的充要条件充要条件是是0 x)(xfy 在点在点 处可导处可导, ,0 x且且, )(0 xfA 即即xxfy )(d0“充分性充分性”已知已知)(lim00 xfxyx )(xfy )(0 xfxy)0lim(0 xxxxfy )(0故故)()(0 xoxxf 线性主部线性主部 即即xxfy )(d0在点在

5、点 的可导的可导,0 x)0)(0时时 xf则则说明说明: :0)(0 xf时时 , ,xxfy )(d0)()(0 xoxxfy yyxdlim0 xxfyx )(lim00 xyxfx 00lim)(11 所以所以0 x时时y yd很小时很小时, , 有近似公式有近似公式x yyd 与与是等价无穷小是等价无穷小, ,当当故当故当)(的的线线性性主主部部y 二二. .微分的几何意义微分的几何意义xxfy )(d0 xx0 xyo)(xfy 0 xyydx tan当当 很小时很小时, ,xyyd 时，时，当当xy 则有则有xxfyd)(d 从而从而)(ddxfxy 导数也叫作导数也叫作微商微商

6、切线纵坐标的增量切线纵坐标的增量自变量的微分自变量的微分,为为称称 x 记作记作xdxy xd 记记三三. .微分的计算微分的计算dxxfdy)( 求法求法: : 计算函数的导数计算函数的导数, ,乘以自变量的微分乘以自变量的微分. .1.1.基本初等函数的微分公式基本初等函数的微分公式( (P57P57) )xdxxxdxdxxxdxdxxdxdxxdxdxxdxdxxddxxxdCdcotcsc)(csctansec)(seccsc)(cotsec)(tansin)(coscos)(sin)(0)(221 dxxxarcddxxxddxxxddxxxddxxxddxaxxddxeedadx

7、aadaxxxx222211)cot(11)(arctan11)(arccos11)(arcsin1)(lnln1)(log)(ln)( 2 2. .微分运算法则微分运算法则设设 u(x) , v(x) 均可微均可微 , 则则)(d. 1vu )(d. 2uC(C 为常数为常数)(d. 3vu)0()(d. 4 vvu分别可微分别可微 ,)(, )(xuufy )(xfy 的微分为的微分为xyyxdd xxufd)()( uduufyd)(d 微分形式不变性微分形式不变性5. 复合函数的微分复合函数的微分则复合函数则复合函数vudd uCd vuuvdd 2ddvvuuv 例例1 1解解.),

8、ln(2dyexyx求求设设 ,2122xxexxey .2122dxexxedyxx duufdy)( dxxfdy)( 21xexyd )(2xexd )(122xxdedxex )(1222dxedxexxx )2(122dxxedxexxx dxexxexx2221 方法方法二二: :用微分形式的不变性用微分形式的不变性方法方法一一: :用定义用定义例例2 2解解.,cos31dyxeyx求求设设 )(cos)(cos3131xdeedxdyxx dxxexdexxx)sin()31(cos3131 dxxedxxexxsincos33131 .)sincos3(31dxxxex 例例

9、3 3. . 设设,0)cos(sin yxxy求求 .dy解解: 利用一阶微分形式不变性利用一阶微分形式不变性 , , 有有0)d(cos()sin(d yxxyxxyyxdcosdsin )sin(yx 0)d(d yxxyd d )sin(cosyxxy xyxsin)sin( 例例4. 在下列括号中填入适当的函数使等式成立在下列括号中填入适当的函数使等式成立: :xxd) d()1( tt dcos) d()2( 221xt sin1C C说明说明: 上述微分的反问题是不定积分要研究的内容上述微分的反问题是不定积分要研究的内容. .练习练习 P.60 3(1,3,5,7)dxxfdy)

10、( 2)()()()(vudvvduvududvvduuvdCduCuddvduvud duufdy)( 1 1. .计算函数增量的近似值计算函数增量的近似值xxfxfxxf )()()(000)()(0 xoxxfy , 0)()(00很小时很小时且且处的导数处的导数在点在点若若xxfxxfy xxfy )(0dyy 四四. .微分在近似计算中的应用微分在近似计算中的应用2.2.计算函数的近似值计算函数的近似值;)().1(0附近的近似值附近的近似值在点在点求求xxxf )()(00 xfxxfy .)(0 xxf )(很小时很小时x 使用原则使用原则: :很小很小x )2;)(, )()1

11、00好算好算xfxf 180 x29sin的近似值的近似值 .解解:,sin)(xxf 取取,60 x则则6sin 6cos 21 23 )0175. 0( 485. 0 )180( 例例. 求求)130sin(29sin )1806sin( )1806sin( 29sin4848. 029sin .)()()(000 xxfxfxxf xxfcos)( 设设常用近似公式常用近似公式:xn11 nx1)5(xxxx 1 xsin)1( xe)3( xtan)2( )1ln()4(x很小很小)x(,)()()(000 xxfxfxxf ., 00 xxx 令令.)0()0()(xffxf 证明证

12、明(5),1)(nxxf 设设,)1(1)(11 nxnxf.1)0(, 1)0(nff xffxf)0()0()( .1nx 3.3.计算计算 在在 点附近的函数近似值点附近的函数近似值( )0f xx 例例.计计算算下下列列各各数数的的近近似似值值解解.)2(;5 .998)1(03. 03 e 35 .998)1(3)10005 . 11(1000 30015. 0110 )0015. 0311(10 .995. 9 03. 0)2( e.97. 0 xnxn111 xex 103. 01 35 . 11000 例例. 有一批半径为有一批半径为1cm 1cm 的球的球, 为了提高球面的光洁度为了提高球面的光洁度, ,解解: 已知球体体积为已知球体体积为334RV 镀铜体积为镀铜体积为 V V 在在